Theorem nn0ennn 10525

Description: The nonnegative integers are equinumerous to the positive integers. (Contributed by NM, 19-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ennn	⊢ ℕ0 ≈ ℕ

Proof of Theorem nn0ennn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ex 9255	. 2 ⊢ ℕ0 ∈ V
2		nnex 8996	. 2 ⊢ ℕ ∈ V
3		nn0p1nn 9288	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
4		nnm1nn0 9290	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 − 1) ∈ ℕ0)
5		nncn 8998	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
6		nn0cn 9259	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
7		ax-1cn 7972	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		subadd 8229	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 1) = 𝑥 ↔ (1 + 𝑥) = 𝑦))
9	7, 8	mp3an2 1336	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 1) = 𝑥 ↔ (1 + 𝑥) = 𝑦))
10		eqcom 2198	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ (𝑦 − 1) = 𝑥)
11		eqcom 2198	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (1 + 𝑥) ↔ (1 + 𝑥) = 𝑦)
12	9, 10, 11	3bitr4g 223	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ 𝑦 = (1 + 𝑥)))
13		addcom 8163	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + 𝑥) = (𝑥 + 1))
14	7, 13	mpan 424	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 + 𝑥) = (𝑥 + 1))
15	14	eqeq2d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑦 = (1 + 𝑥) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
16	15	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦 = (1 + 𝑥) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
17	12, 16	bitrd 188	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
18	5, 6, 17	syl2anr 290	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
19	1, 2, 3, 4, 18	en3i 6830	1 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   ≈ cen 6797  ℂcc 7877  1c1 7880   + caddc 7882   − cmin 8197  ℕcn 8990  ℕ₀cn0 9249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-en 6800  df-sub 8199  df-inn 8991  df-n0 9250

This theorem is referenced by:  nnenom  10526  uzennn  10528  xpnnen  12611  znnen  12615  ennnfonelemim  12641