Theorem nn0ennn 10694

Description: The nonnegative integers are equinumerous to the positive integers. (Contributed by NM, 19-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ennn	⊢ ℕ0 ≈ ℕ

Proof of Theorem nn0ennn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ex 9407	. 2 ⊢ ℕ0 ∈ V
2		nnex 9148	. 2 ⊢ ℕ ∈ V
3		nn0p1nn 9440	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
4		nnm1nn0 9442	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 − 1) ∈ ℕ0)
5		nncn 9150	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
6		nn0cn 9411	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
7		ax-1cn 8124	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		subadd 8381	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 1) = 𝑥 ↔ (1 + 𝑥) = 𝑦))
9	7, 8	mp3an2 1361	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 1) = 𝑥 ↔ (1 + 𝑥) = 𝑦))
10		eqcom 2233	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ (𝑦 − 1) = 𝑥)
11		eqcom 2233	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (1 + 𝑥) ↔ (1 + 𝑥) = 𝑦)
12	9, 10, 11	3bitr4g 223	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ 𝑦 = (1 + 𝑥)))
13		addcom 8315	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + 𝑥) = (𝑥 + 1))
14	7, 13	mpan 424	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 + 𝑥) = (𝑥 + 1))
15	14	eqeq2d 2243	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑦 = (1 + 𝑥) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
16	15	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦 = (1 + 𝑥) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
17	12, 16	bitrd 188	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
18	5, 6, 17	syl2anr 290	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
19	1, 2, 3, 4, 18	en3i 6943	1 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   ≈ cen 6906  ℂcc 8029  1c1 8032   + caddc 8034   − cmin 8349  ℕcn 9142  ℕ₀cn0 9401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-en 6909  df-sub 8351  df-inn 9143  df-n0 9402

This theorem is referenced by:  nnenom  10695  uzennn  10697  xpnnen  13014  znnen  13018  ennnfonelemim  13044