ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0ennn GIF version

Theorem nn0ennn 9729
Description: The nonnegative integers are equinumerous to the positive integers. (Contributed by NM, 19-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
nn0ennn 0 ≈ ℕ

Proof of Theorem nn0ennn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0ex 8571 . 2 0 ∈ V
2 nnex 8322 . 2 ℕ ∈ V
3 nn0p1nn 8604 . 2 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
4 nnm1nn0 8606 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 − 1) ∈ ℕ0)
5 nncn 8324 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
6 nn0cn 8575 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℂ)
7 ax-1cn 7341 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
8 subadd 7588 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 1) = 𝑥 ↔ (1 + 𝑥) = 𝑦))
97, 8mp3an2 1257 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 1) = 𝑥 ↔ (1 + 𝑥) = 𝑦))
10 eqcom 2085 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ (𝑦 − 1) = 𝑥)
11 eqcom 2085 . . . . 5 (𝑦 = (1 + 𝑥) ↔ (1 + 𝑥) = 𝑦)
129, 10, 113bitr4g 221 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ 𝑦 = (1 + 𝑥)))
13 addcom 7522 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + 𝑥) = (𝑥 + 1))
147, 13mpan 415 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (1 + 𝑥) = (𝑥 + 1))
1514eqeq2d 2094 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑦 = (1 + 𝑥) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
1615adantl 271 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦 = (1 + 𝑥) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
1712, 16bitrd 186 . . 3 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
185, 6, 17syl2anr 284 . 2 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
191, 2, 3, 4, 18en3i 6418 1 0 ≈ ℕ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434   class class class wbr 3811  (class class class)co 5591  cen 6385  cc 7251  1c1 7254   + caddc 7256  cmin 7556  cn 8316  0cn0 8565
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-en 6388  df-sub 7558  df-inn 8317  df-n0 8566
This theorem is referenced by:  nnenom  9730  xpnnen  10987  znnen  10991
  Copyright terms: Public domain W3C validator