Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0ennn GIF version

Theorem nn0ennn 10213
 Description: The nonnegative integers are equinumerous to the positive integers. (Contributed by NM, 19-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
nn0ennn 0 ≈ ℕ

Proof of Theorem nn0ennn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0ex 8990 . 2 0 ∈ V
2 nnex 8733 . 2 ℕ ∈ V
3 nn0p1nn 9023 . 2 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
4 nnm1nn0 9025 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 − 1) ∈ ℕ0)
5 nncn 8735 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
6 nn0cn 8994 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℂ)
7 ax-1cn 7720 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
8 subadd 7972 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 1) = 𝑥 ↔ (1 + 𝑥) = 𝑦))
97, 8mp3an2 1303 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 1) = 𝑥 ↔ (1 + 𝑥) = 𝑦))
10 eqcom 2141 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ (𝑦 − 1) = 𝑥)
11 eqcom 2141 . . . . 5 (𝑦 = (1 + 𝑥) ↔ (1 + 𝑥) = 𝑦)
129, 10, 113bitr4g 222 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ 𝑦 = (1 + 𝑥)))
13 addcom 7906 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + 𝑥) = (𝑥 + 1))
147, 13mpan 420 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (1 + 𝑥) = (𝑥 + 1))
1514eqeq2d 2151 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑦 = (1 + 𝑥) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
1615adantl 275 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦 = (1 + 𝑥) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
1712, 16bitrd 187 . . 3 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
185, 6, 17syl2anr 288 . 2 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
191, 2, 3, 4, 18en3i 6665 1 0 ≈ ℕ
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   ≈ cen 6632  ℂcc 7625  1c1 7628   + caddc 7630   − cmin 7940  ℕcn 8727  ℕ0cn0 8984 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-en 6635  df-sub 7942  df-inn 8728  df-n0 8985 This theorem is referenced by:  nnenom  10214  uzennn  10216  xpnnen  11914  znnen  11918  ennnfonelemim  11944
 Copyright terms: Public domain W3C validator