ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  geolim GIF version

Theorem geolim 11521
Description: The partial sums in the infinite series 1 + ๐ดโ†‘1 + ๐ดโ†‘2... converge to (1 / (1 โˆ’ ๐ด)). (Contributed by NM, 15-May-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
geolim.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
geolim.2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)
geolim.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
Assertion
Ref Expression
geolim (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐น) โ‡ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐น   ๐œ‘,๐‘˜

Proof of Theorem geolim
Dummy variables ๐‘— ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 9564 . . 3 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
2 0zd 9267 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
3 geolim.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4 geolim.2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)
53, 4expcnv 11514 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โ‡ 0)
6 ax-1cn 7906 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
7 subcl 8158 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
86, 3, 7sylancr 414 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
9 1cnd 7975 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
10 1red 7974 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
113, 10, 4absltap 11519 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 1)
12 apsym 8565 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด # 1 โ†” 1 # ๐ด))
133, 6, 12sylancl 413 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด # 1 โ†” 1 # ๐ด))
1411, 13mpbid 147 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 # ๐ด)
159, 3, 14subap0d 8603 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) # 0)
163, 8, 15divclapd 8749 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
17 nn0ex 9184 . . . . . . 7 โ„•0 โˆˆ V
1817mptex 5744 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด))) โˆˆ V
1918a1i 9 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด))) โˆˆ V)
20 simpr 110 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
213adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2221, 20expcld 10656 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
23 oveq2 5885 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘— โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) = (๐ดโ†‘๐‘—))
24 eqid 2177 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))
2523, 24fvmptg 5594 . . . . . . 7 ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ดโ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘—))
2620, 22, 25syl2anc 411 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘—))
27 expcl 10540 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
283, 27sylan 283 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
2926, 28eqeltrd 2254 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
30 expp1 10529 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท ๐ด))
313, 30sylan 283 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท ๐ด))
3228, 21mulcomd 7981 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท ๐ด) = (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘—)))
3331, 32eqtrd 2210 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) = (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘—)))
3433oveq1d 5892 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)) = ((๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘—)) / (1 โˆ’ ๐ด)))
358adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
3615adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) # 0)
3721, 28, 35, 36div23apd 8787 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘—)) / (1 โˆ’ ๐ด)) = ((๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ดโ†‘๐‘—)))
3834, 37eqtrd 2210 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)) = ((๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ดโ†‘๐‘—)))
39 peano2nn0 9218 . . . . . . . . . 10 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„•0)
4039adantl 277 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„•0)
4121, 40expcld 10656 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) โˆˆ โ„‚)
4241, 35, 36divclapd 8749 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
43 oveq1 5884 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘— โ†’ (๐‘› + 1) = (๐‘— + 1))
4443oveq2d 5893 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘— โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) = (๐ดโ†‘(๐‘— + 1)))
4544oveq1d 5892 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘— โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)) = ((๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)))
46 eqid 2177 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)))
4745, 46fvmptg 5594 . . . . . . 7 ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘—) = ((๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)))
4820, 42, 47syl2anc 411 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘—) = ((๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)))
4926oveq2d 5893 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) ยท ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘—)) = ((๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ดโ†‘๐‘—)))
5038, 48, 493eqtr4d 2220 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘—) = ((๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) ยท ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘—)))
511, 2, 5, 16, 19, 29, 50climmulc2 11341 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‡ ((๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) ยท 0))
5216mul01d 8352 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) ยท 0) = 0)
5351, 52breqtrd 4031 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‡ 0)
548, 15recclapd 8740 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
55 seqex 10449 . . . 4 seq0( + , ๐น) โˆˆ V
5655a1i 9 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐น) โˆˆ V)
57 expcl 10540 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) โˆˆ โ„‚)
583, 39, 57syl2an 289 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) โˆˆ โ„‚)
5958, 35, 36divclapd 8749 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
6048, 59eqeltrd 2254 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
61 nn0cn 9188 . . . . . . . 8 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
6261adantl 277 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
63 pncan 8165 . . . . . . 7 ((๐‘— โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘— + 1) โˆ’ 1) = ๐‘—)
6462, 6, 63sylancl 413 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘— + 1) โˆ’ 1) = ๐‘—)
6564oveq2d 5893 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (0...((๐‘— + 1) โˆ’ 1)) = (0...๐‘—))
6665sumeq1d 11376 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘— + 1) โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘—)(๐ดโ†‘๐‘˜))
67 1cnd 7975 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
6867, 58, 35, 36divsubdirapd 8789 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(๐‘— + 1))) / (1 โˆ’ ๐ด)) = ((1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆ’ ((๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด))))
6911adantr 276 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด # 1)
7021, 69, 40geoserap 11517 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘— + 1) โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜) = ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(๐‘— + 1))) / (1 โˆ’ ๐ด)))
7148oveq2d 5893 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆ’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘—)) = ((1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆ’ ((๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด))))
7268, 70, 713eqtr4d 2220 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘— + 1) โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜) = ((1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆ’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘—)))
73 simpll 527 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)) โ†’ ๐œ‘)
74 elnn0uz 9567 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†” ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
7574biimpri 133 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
7675adantl 277 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
77 geolim.3 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
7873, 76, 77syl2anc 411 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
7920, 1eleqtrdi 2270 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
8021adantr 276 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8180, 76expcld 10656 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
8278, 79, 81fsum3ser 11407 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘—)(๐ดโ†‘๐‘˜) = (seq0( + , ๐น)โ€˜๐‘—))
8366, 72, 823eqtr3rd 2219 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (seq0( + , ๐น)โ€˜๐‘—) = ((1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆ’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘—)))
841, 2, 53, 54, 56, 60, 83climsubc2 11343 . 2 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐น) โ‡ ((1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆ’ 0))
8554subid1d 8259 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆ’ 0) = (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))
8684, 85breqtrd 4031 1 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐น) โ‡ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  Vcvv 2739   class class class wbr 4005   โ†ฆ cmpt 4066  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   ยท cmul 7818   < clt 7994   โˆ’ cmin 8130   # cap 8540   / cdiv 8631  โ„•0cn0 9178  โ„คโ‰ฅcuz 9530  ...cfz 10010  seqcseq 10447  โ†‘cexp 10521  abscabs 11008   โ‡ cli 11288  ฮฃcsu 11363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-sumdc 11364
This theorem is referenced by:  geolim2  11522  georeclim  11523  geoisum  11527  eflegeo  11711
  Copyright terms: Public domain W3C validator