Theorem geolim 12190

Description: The partial sums in the infinite series 1 + 𝐴↑1 + 𝐴↑2... converge to (1 / (1 − 𝐴)). (Contributed by NM, 15-May-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
geolim.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
geolim.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
geolim.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))

Assertion

Ref	Expression
geolim	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geolim

Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9885	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 9585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		geolim.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		geolim.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
5	3, 4	expcnv 12183	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)
6		ax-1cn 8216	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
7		subcl 8468	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
8	6, 3, 7	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
9		1cnd 8286	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
10		1red 8285	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
11	3, 10, 4	absltap 12188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 1)
12		apsym 8876	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 # 1 ↔ 1 # 𝐴))
13	3, 6, 12	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 1 ↔ 1 # 𝐴))
14	11, 13	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 # 𝐴)
15	9, 3, 14	subap0d 8914	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) # 0)
16	3, 8, 15	divclapd 9060	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
17		nn0ex 9498	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
18	17	mptex 5911	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ∈ V
19	18	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ∈ V)
20		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
21	3	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
22	21, 20	expcld 11031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
23		oveq2 6057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑗))
24		eqid 2232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
25	23, 24	fvmptg 5752	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗) = (𝐴↑𝑗))
26	20, 22, 25	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗) = (𝐴↑𝑗))
27		expcl 10915	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
28	3, 27	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
29	26, 28	eqeltrd 2309	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
30		expp1 10904	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) = ((𝐴↑𝑗) · 𝐴))
31	3, 30	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) = ((𝐴↑𝑗) · 𝐴))
32	28, 21	mulcomd 8291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑗) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐴↑𝑗)))
33	31, 32	eqtrd 2265	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) = (𝐴 · (𝐴↑𝑗)))
34	33	oveq1d 6064	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴 · (𝐴↑𝑗)) / (1 − 𝐴)))
35	8	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
36	15	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (1 − 𝐴) # 0)
37	21, 28, 35, 36	div23apd 9098	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · (𝐴↑𝑗)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · (𝐴↑𝑗)))
38	34, 37	eqtrd 2265	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · (𝐴↑𝑗)))
39		peano2nn0 9532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
40	39	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
41	21, 40	expcld 11031	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
42	41, 35, 36	divclapd 9060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
43		oveq1 6056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 + 1) = (𝑗 + 1))
44	43	oveq2d 6065	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐴↑(𝑛 + 1)) = (𝐴↑(𝑗 + 1)))
45	44	oveq1d 6064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)))
46		eqid 2232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))
47	45, 46	fvmptg 5752	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) = ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)))
48	20, 42, 47	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) = ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)))
49	26	oveq2d 6065	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗)) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · (𝐴↑𝑗)))
50	38, 48, 49	3eqtr4d 2275	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗)))
51	1, 2, 5, 16, 19, 29, 50	climmulc2 12009	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ⇝ ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · 0))
52	16	mul01d 8662	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · 0) = 0)
53	51, 52	breqtrd 4134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ⇝ 0)
54	8, 15	recclapd 9051	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
55		seqex 10807	. . . 4 ⊢ seq0( + , 𝐹) ∈ V
56	55	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ V)
57		expcl 10915	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
58	3, 39, 57	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
59	58, 35, 36	divclapd 9060	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
60	48, 59	eqeltrd 2309	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) ∈ ℂ)
61		nn0cn 9502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℂ)
62	61	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℂ)
63		pncan 8475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
64	62, 6, 63	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
65	64	oveq2d 6065	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (0...((𝑗 + 1) − 1)) = (0...𝑗))
66	65	sumeq1d 12044	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑗 + 1) − 1))(𝐴↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)(𝐴↑𝑘))
67		1cnd 8286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
68	67, 58, 35, 36	divsubdirapd 9100	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 − (𝐴↑(𝑗 + 1))) / (1 − 𝐴)) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴))))
69	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 # 1)
70	21, 69, 40	geoserap 12186	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑗 + 1) − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 − (𝐴↑(𝑗 + 1))) / (1 − 𝐴)))
71	48	oveq2d 6065	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗)) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴))))
72	68, 70, 71	3eqtr4d 2275	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑗 + 1) − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗)))
73		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝜑)
74		elnn0uz 9888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
75	74	biimpri 133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
76	75	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
77		geolim.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
78	73, 76, 77	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
79	20, 1	eleqtrdi 2325	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘0))
80	21	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
81	80, 76	expcld 11031	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
82	78, 79, 81	fsum3ser 12076	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)(𝐴↑𝑘) = (seq0( + , 𝐹)‘𝑗))
83	66, 72, 82	3eqtr3rd 2274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐹)‘𝑗) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗)))
84	1, 2, 53, 54, 56, 60, 83	climsubc2 12011	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ ((1 / (1 − 𝐴)) − 0))
85	54	subid1d 8569	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / (1 − 𝐴)) − 0) = (1 / (1 − 𝐴)))
86	84, 85	breqtrd 4134	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812   class class class wbr 4108   ↦ cmpt 4170  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℂcc 8121  0cc0 8123  1c1 8124   + caddc 8126   · cmul 8128   < clt 8304   − cmin 8440   # cap 8851   / cdiv 8942  ℕ₀cn0 9492  ℤ_≥cuz 9849  ...cfz 10338  seqcseq 10805  ↑cexp 10896  abscabs 11675   ⇝ cli 11956  Σcsu 12031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241  ax-arch 8242  ax-caucvg 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-frec 6621  df-1o 6646  df-oadd 6650  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-q 9948  df-rp 9983  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-seqfrec 10806  df-exp 10897  df-ihash 11134  df-cj 11520  df-re 11521  df-im 11522  df-rsqrt 11676  df-abs 11677  df-clim 11957  df-sumdc 12032

This theorem is referenced by:  geolim2  12191  georeclim  12192  geoisum  12196  eflegeo  12380