ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  geolim GIF version

Theorem geolim 10901
Description: The partial sums in the infinite series 1 + 𝐴↑1 + 𝐴↑2... converge to (1 / (1 − 𝐴)). (Contributed by NM, 15-May-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
geolim.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
geolim.2 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
geolim.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐴𝑘))
Assertion
Ref Expression
geolim (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geolim
Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 9051 . . 3 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 8760 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 geolim.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4 geolim.2 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
53, 4expcnv 10894 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
6 ax-1cn 7436 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
7 subcl 7679 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
86, 3, 7sylancr 405 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
9 1cnd 7502 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
10 1red 7501 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
113, 10, 4absltap 10899 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 # 1)
12 apsym 8081 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 # 1 ↔ 1 # 𝐴))
133, 6, 12sylancl 404 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 # 1 ↔ 1 # 𝐴))
1411, 13mpbid 145 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 # 𝐴)
159, 3, 14subap0d 8117 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝐴) # 0)
163, 8, 15divclapd 8255 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
17 nn0ex 8677 . . . . . . 7 0 ∈ V
1817mptex 5523 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ∈ V
1918a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ∈ V)
20 simpr 108 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
213adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2221, 20expcld 10082 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
23 oveq2 5660 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑗))
24 eqid 2088 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
2523, 24fvmptg 5380 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗) = (𝐴𝑗))
2620, 22, 25syl2anc 403 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗) = (𝐴𝑗))
27 expcl 9969 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
283, 27sylan 277 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
2926, 28eqeltrd 2164 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
30 expp1 9958 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) = ((𝐴𝑗) · 𝐴))
313, 30sylan 277 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) = ((𝐴𝑗) · 𝐴))
3228, 21mulcomd 7507 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑗) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐴𝑗)))
3331, 32eqtrd 2120 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) = (𝐴 · (𝐴𝑗)))
3433oveq1d 5667 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴 · (𝐴𝑗)) / (1 − 𝐴)))
358adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
3615adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (1 − 𝐴) # 0)
3721, 28, 35, 36div23apd 8293 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · (𝐴𝑗)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · (𝐴𝑗)))
3834, 37eqtrd 2120 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · (𝐴𝑗)))
39 peano2nn0 8711 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
4039adantl 271 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
4121, 40expcld 10082 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
4241, 35, 36divclapd 8255 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
43 oveq1 5659 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 + 1) = (𝑗 + 1))
4443oveq2d 5668 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 → (𝐴↑(𝑛 + 1)) = (𝐴↑(𝑗 + 1)))
4544oveq1d 5667 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 → ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)))
46 eqid 2088 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))
4745, 46fvmptg 5380 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) = ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)))
4820, 42, 47syl2anc 403 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) = ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)))
4926oveq2d 5668 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗)) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · (𝐴𝑗)))
5038, 48, 493eqtr4d 2130 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗)))
511, 2, 5, 16, 19, 29, 50climmulc2 10715 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ⇝ ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · 0))
5216mul01d 7869 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · 0) = 0)
5351, 52breqtrd 3869 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ⇝ 0)
548, 15recclapd 8246 . . 3 (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
55 seqex 9853 . . . 4 seq0( + , 𝐹) ∈ V
5655a1i 9 . . 3 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ V)
57 expcl 9969 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
583, 39, 57syl2an 283 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
5958, 35, 36divclapd 8255 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
6048, 59eqeltrd 2164 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) ∈ ℂ)
61 nn0cn 8681 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℂ)
6261adantl 271 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℂ)
63 pncan 7686 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
6462, 6, 63sylancl 404 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
6564oveq2d 5668 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (0...((𝑗 + 1) − 1)) = (0...𝑗))
6665sumeq1d 10751 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑗 + 1) − 1))(𝐴𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)(𝐴𝑘))
67 1cnd 7502 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
6867, 58, 35, 36divsubdirapd 8295 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 − (𝐴↑(𝑗 + 1))) / (1 − 𝐴)) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴))))
6911adantr 270 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 # 1)
7021, 69, 40geoserap 10897 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑗 + 1) − 1))(𝐴𝑘) = ((1 − (𝐴↑(𝑗 + 1))) / (1 − 𝐴)))
7148oveq2d 5668 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗)) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴))))
7268, 70, 713eqtr4d 2130 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑗 + 1) − 1))(𝐴𝑘) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗)))
73 simpll 496 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝜑)
74 elnn0uz 9054 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘0))
7574biimpri 131 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7675adantl 271 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
77 geolim.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐴𝑘))
7873, 76, 77syl2anc 403 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝐹𝑘) = (𝐴𝑘))
7920, 1syl6eleq 2180 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ (ℤ‘0))
8021adantr 270 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8180, 76expcld 10082 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
8278, 79, 81fsum3ser 10787 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)(𝐴𝑘) = (seq0( + , 𝐹)‘𝑗))
8366, 72, 823eqtr3rd 2129 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐹)‘𝑗) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗)))
841, 2, 53, 54, 56, 60, 83climsubc2 10717 . 2 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ ((1 / (1 − 𝐴)) − 0))
8554subid1d 7780 . 2 (𝜑 → ((1 / (1 − 𝐴)) − 0) = (1 / (1 − 𝐴)))
8684, 85breqtrd 3869 1 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438  Vcvv 2619   class class class wbr 3845  cmpt 3899  cfv 5015  (class class class)co 5652  cc 7346  0cc0 7348  1c1 7349   + caddc 7351   · cmul 7353   < clt 7520  cmin 7651   # cap 8056   / cdiv 8137  0cn0 8671  cuz 9017  ...cfz 9422  seqcseq 9848  cexp 9950  abscabs 10426  cli 10662  Σcsu 10738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461  ax-arch 7462  ax-caucvg 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6290  df-en 6456  df-dom 6457  df-fin 6458  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-3 8480  df-4 8481  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-q 9103  df-rp 9133  df-fz 9423  df-fzo 9550  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951  df-ihash 10180  df-cj 10272  df-re 10273  df-im 10274  df-rsqrt 10427  df-abs 10428  df-clim 10663  df-isum 10739
This theorem is referenced by:  geolim2  10902  georeclim  10903  geoisum  10907  eflegeo  10988
  Copyright terms: Public domain W3C validator