ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  geolim GIF version

Theorem geolim 11503
Description: The partial sums in the infinite series 1 + 𝐴↑1 + 𝐴↑2... converge to (1 / (1 − 𝐴)). (Contributed by NM, 15-May-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
geolim.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
geolim.2 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
geolim.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐴𝑘))
Assertion
Ref Expression
geolim (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geolim
Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 9551 . . 3 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 9254 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 geolim.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4 geolim.2 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
53, 4expcnv 11496 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
6 ax-1cn 7895 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
7 subcl 8146 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
86, 3, 7sylancr 414 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
9 1cnd 7964 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
10 1red 7963 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
113, 10, 4absltap 11501 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 # 1)
12 apsym 8553 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 # 1 ↔ 1 # 𝐴))
133, 6, 12sylancl 413 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 # 1 ↔ 1 # 𝐴))
1411, 13mpbid 147 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 # 𝐴)
159, 3, 14subap0d 8591 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝐴) # 0)
163, 8, 15divclapd 8736 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
17 nn0ex 9171 . . . . . . 7 0 ∈ V
1817mptex 5738 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ∈ V
1918a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ∈ V)
20 simpr 110 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
213adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2221, 20expcld 10639 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
23 oveq2 5877 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑗))
24 eqid 2177 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
2523, 24fvmptg 5588 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗) = (𝐴𝑗))
2620, 22, 25syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗) = (𝐴𝑗))
27 expcl 10524 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
283, 27sylan 283 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
2926, 28eqeltrd 2254 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
30 expp1 10513 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) = ((𝐴𝑗) · 𝐴))
313, 30sylan 283 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) = ((𝐴𝑗) · 𝐴))
3228, 21mulcomd 7969 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑗) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐴𝑗)))
3331, 32eqtrd 2210 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) = (𝐴 · (𝐴𝑗)))
3433oveq1d 5884 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴 · (𝐴𝑗)) / (1 − 𝐴)))
358adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
3615adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (1 − 𝐴) # 0)
3721, 28, 35, 36div23apd 8774 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · (𝐴𝑗)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · (𝐴𝑗)))
3834, 37eqtrd 2210 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · (𝐴𝑗)))
39 peano2nn0 9205 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
4039adantl 277 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
4121, 40expcld 10639 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
4241, 35, 36divclapd 8736 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
43 oveq1 5876 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 + 1) = (𝑗 + 1))
4443oveq2d 5885 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 → (𝐴↑(𝑛 + 1)) = (𝐴↑(𝑗 + 1)))
4544oveq1d 5884 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 → ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)))
46 eqid 2177 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))
4745, 46fvmptg 5588 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) = ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)))
4820, 42, 47syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) = ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)))
4926oveq2d 5885 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗)) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · (𝐴𝑗)))
5038, 48, 493eqtr4d 2220 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗)))
511, 2, 5, 16, 19, 29, 50climmulc2 11323 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ⇝ ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · 0))
5216mul01d 8340 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · 0) = 0)
5351, 52breqtrd 4026 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ⇝ 0)
548, 15recclapd 8727 . . 3 (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
55 seqex 10433 . . . 4 seq0( + , 𝐹) ∈ V
5655a1i 9 . . 3 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ V)
57 expcl 10524 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
583, 39, 57syl2an 289 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
5958, 35, 36divclapd 8736 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
6048, 59eqeltrd 2254 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) ∈ ℂ)
61 nn0cn 9175 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℂ)
6261adantl 277 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℂ)
63 pncan 8153 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
6462, 6, 63sylancl 413 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
6564oveq2d 5885 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (0...((𝑗 + 1) − 1)) = (0...𝑗))
6665sumeq1d 11358 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑗 + 1) − 1))(𝐴𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)(𝐴𝑘))
67 1cnd 7964 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
6867, 58, 35, 36divsubdirapd 8776 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 − (𝐴↑(𝑗 + 1))) / (1 − 𝐴)) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴))))
6911adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 # 1)
7021, 69, 40geoserap 11499 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑗 + 1) − 1))(𝐴𝑘) = ((1 − (𝐴↑(𝑗 + 1))) / (1 − 𝐴)))
7148oveq2d 5885 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗)) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴))))
7268, 70, 713eqtr4d 2220 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑗 + 1) − 1))(𝐴𝑘) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗)))
73 simpll 527 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝜑)
74 elnn0uz 9554 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘0))
7574biimpri 133 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7675adantl 277 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
77 geolim.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐴𝑘))
7873, 76, 77syl2anc 411 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝐹𝑘) = (𝐴𝑘))
7920, 1eleqtrdi 2270 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ (ℤ‘0))
8021adantr 276 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8180, 76expcld 10639 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
8278, 79, 81fsum3ser 11389 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)(𝐴𝑘) = (seq0( + , 𝐹)‘𝑗))
8366, 72, 823eqtr3rd 2219 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐹)‘𝑗) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗)))
841, 2, 53, 54, 56, 60, 83climsubc2 11325 . 2 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ ((1 / (1 − 𝐴)) − 0))
8554subid1d 8247 . 2 (𝜑 → ((1 / (1 − 𝐴)) − 0) = (1 / (1 − 𝐴)))
8684, 85breqtrd 4026 1 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737   class class class wbr 4000  cmpt 4061  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982  cmin 8118   # cap 8528   / cdiv 8618  0cn0 9165  cuz 9517  ...cfz 9995  seqcseq 10431  cexp 10505  abscabs 10990  cli 11270  Σcsu 11345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346
This theorem is referenced by:  geolim2  11504  georeclim  11505  geoisum  11509  eflegeo  11693
  Copyright terms: Public domain W3C validator