Theorem nnenom 10579

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of natural numbers as ordinals). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4641	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 9301	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2205	. . . 4 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
4	3	frechashgf1o 10573	. . 3 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 6846	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1350	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 10578	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 6879	1 ⊢ ℕ ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2176  Vcvv 2772   class class class wbr 4044   ↦ cmpt 4105  ωcom 4638  –1-1-onto→wf1o 5270  (class class class)co 5944  freccfrec 6476   ≈ cen 6825  0cc0 7925  1c1 7926   + caddc 7928  ℕcn 9036  ℕ₀cn0 9295  ℤcz 9372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-recs 6391  df-frec 6477  df-er 6620  df-en 6828  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649

This theorem is referenced by:  nnct  10580  nninfct  12362  xpomen  12766  ennnfonelemen  12792  exmidunben  12797  ctinfom  12799  ctinf  12801  qnnen  12802  nninfdc  12824  nnnninfen  15958  trilpo  15982  redcwlpo  15994  nconstwlpo  16005  neapmkv  16007