Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eftl.5 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
2 | | eftl.4 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ) |
3 | 2 | nnnn0d 9188 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈
ℕ0) |
4 | | eftl.1 |
. . . . 5
⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) |
5 | 4 | eftlcl 11651 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)
→ Σ𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) |
6 | 1, 3, 5 | syl2anc 409 |
. . 3
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) |
7 | 6 | abscld 11145 |
. 2
⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ) |
8 | 1 | abscld 11145 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈
ℝ) |
9 | | eftl.2 |
. . . 4
⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦
(((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) |
10 | 9 | reeftlcl 11652 |
. . 3
⊢
(((abs‘𝐴)
∈ ℝ ∧ 𝑀
∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ∈ ℝ) |
11 | 8, 3, 10 | syl2anc 409 |
. 2
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ∈ ℝ) |
12 | 8, 3 | reexpcld 10626 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ) |
13 | | peano2nn0 9175 |
. . . . . 6
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ (𝑀 + 1) ∈
ℕ0) |
14 | 3, 13 | syl 14 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈
ℕ0) |
15 | 14 | nn0red 9189 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ) |
16 | 3 | faccld 10670 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℕ) |
17 | 16, 2 | nnmulcld 8927 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((!‘𝑀) · 𝑀) ∈ ℕ) |
18 | 15, 17 | nndivred 8928 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)) ∈ ℝ) |
19 | 12, 18 | remulcld 7950 |
. 2
⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) ∈ ℝ) |
20 | | eqid 2170 |
. . 3
⊢
(ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀) |
21 | 2 | nnzd 9333 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ) |
22 | | eqidd 2171 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘)) |
23 | | eluznn0 9558 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0) |
24 | 3, 23 | sylan 281 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0) |
25 | 4 | eftvalcn 11620 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) |
26 | 1, 25 | sylan 281 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) |
27 | | eftcl 11617 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ) |
28 | 1, 27 | sylan 281 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ) |
29 | 26, 28 | eqeltrd 2247 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) |
30 | 24, 29 | syldan 280 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) |
31 | 4 | eftlcvg 11650 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)
→ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝
) |
32 | 1, 3, 31 | syl2anc 409 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) |
33 | 20, 21, 22, 30, 32 | isumclim2 11385 |
. . 3
⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) |
34 | | eqidd 2171 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)) |
35 | 8 | recnd 7948 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈
ℂ) |
36 | 9 | eftvalcn 11620 |
. . . . . . . 8
⊢
(((abs‘𝐴)
∈ ℂ ∧ 𝑘
∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘))) |
37 | 35, 36 | sylan 281 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘))) |
38 | | reeftcl 11618 |
. . . . . . . 8
⊢
(((abs‘𝐴)
∈ ℝ ∧ 𝑘
∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ) |
39 | 8, 38 | sylan 281 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) →
(((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ) |
40 | 37, 39 | eqeltrd 2247 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ) |
41 | 24, 40 | syldan 280 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ) |
42 | 41 | recnd 7948 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) |
43 | 9 | eftlcvg 11650 |
. . . . 5
⊢
(((abs‘𝐴)
∈ ℂ ∧ 𝑀
∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) |
44 | 35, 3, 43 | syl2anc 409 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) |
45 | 20, 21, 34, 42, 44 | isumclim2 11385 |
. . 3
⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘)) |
46 | | eftabs 11619 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘))) |
47 | 1, 46 | sylan 281 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) →
(abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘))) |
48 | 26 | fveq2d 5500 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) →
(abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))) |
49 | 47, 48, 37 | 3eqtr4rd 2214 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘))) |
50 | 24, 49 | syldan 280 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘))) |
51 | 20, 33, 45, 21, 30, 50 | iserabs 11438 |
. 2
⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘)) |
52 | | nn0uz 9521 |
. . . 4
⊢
ℕ0 = (ℤ≥‘0) |
53 | | 0zd 9224 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℤ) |
54 | 2 | nncnd 8892 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ) |
55 | | nn0cn 9145 |
. . . . 5
⊢ (𝑗 ∈ ℕ0
→ 𝑗 ∈
ℂ) |
56 | | nn0ex 9141 |
. . . . . . . 8
⊢
ℕ0 ∈ V |
57 | 56 | mptex 5722 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑛 ∈ ℕ0
↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V |
58 | 9, 57 | eqeltri 2243 |
. . . . . 6
⊢ 𝐺 ∈ V |
59 | 58 | shftval4 10792 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → ((𝐺 shift -𝑀)‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗))) |
60 | 54, 55, 59 | syl2an 287 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺 shift -𝑀)‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗))) |
61 | 35 | adantr 274 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(abs‘𝐴) ∈
ℂ) |
62 | | nn0addcl 9170 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑗 ∈
ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈
ℕ0) |
63 | 3, 62 | sylan 281 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈
ℕ0) |
64 | 9 | eftvalcn 11620 |
. . . . . 6
⊢
(((abs‘𝐴)
∈ ℂ ∧ (𝑀 +
𝑗) ∈
ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗)))) |
65 | 61, 63, 64 | syl2anc 409 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗)))) |
66 | 8 | adantr 274 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(abs‘𝐴) ∈
ℝ) |
67 | | reeftcl 11618 |
. . . . . 6
⊢
(((abs‘𝐴)
∈ ℝ ∧ (𝑀 +
𝑗) ∈
ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ∈ ℝ) |
68 | 66, 63, 67 | syl2anc 409 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ∈ ℝ) |
69 | 65, 68 | eqeltrd 2247 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ) |
70 | | simpr 109 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈
ℕ0) |
71 | 12, 16 | nndivred 8928 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℝ) |
72 | 71 | adantr 274 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℝ) |
73 | 2 | peano2nnd 8893 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ) |
74 | 73 | nnrecred 8925 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ) |
75 | | reexpcl 10493 |
. . . . . . 7
⊢ (((1 /
(𝑀 + 1)) ∈ ℝ
∧ 𝑗 ∈
ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ) |
76 | 74, 75 | sylan 281 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 /
(𝑀 + 1))↑𝑗) ∈
ℝ) |
77 | 72, 76 | remulcld 7950 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ) |
78 | | oveq2 5861 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) |
79 | 78 | oveq2d 5869 |
. . . . . 6
⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))) |
80 | | eftl.3 |
. . . . . 6
⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦
((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))) |
81 | 79, 80 | fvmptg 5572 |
. . . . 5
⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0
∧ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))) |
82 | 70, 77, 81 | syl2anc 409 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))) |
83 | 66, 63 | reexpcld 10626 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ) |
84 | 12 | adantr 274 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈
ℝ) |
85 | 63 | faccld 10670 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈
ℕ) |
86 | 85 | nnred 8891 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈
ℝ) |
87 | 86, 77 | remulcld 7950 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))) ∈ ℝ) |
88 | 3 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈
ℕ0) |
89 | | uzid 9501 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈
(ℤ≥‘𝑀)) |
90 | 21, 89 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) |
91 | | uzaddcl 9545 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑀 ∈
(ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) |
92 | 90, 91 | sylan 281 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) |
93 | 1 | absge0d 11148 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴)) |
94 | 93 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤
(abs‘𝐴)) |
95 | | eftl.6 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 1) |
96 | 95 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(abs‘𝐴) ≤
1) |
97 | 66, 88, 92, 94, 96 | leexp2rd 10639 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀)) |
98 | 16 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(!‘𝑀) ∈
ℕ) |
99 | | nnexpcl 10489 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0)
→ ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈
ℕ) |
100 | 73, 99 | sylan 281 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℕ) |
101 | 98, 100 | nnmulcld 8927 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((!‘𝑀) ·
((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈
ℕ) |
102 | 101 | nnred 8891 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((!‘𝑀) ·
((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈
ℝ) |
103 | 8, 3, 93 | expge0d 10627 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀)) |
104 | 12, 103 | jca 304 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
((abs‘𝐴)↑𝑀))) |
105 | 104 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
((abs‘𝐴)↑𝑀))) |
106 | | faclbnd6 10678 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑗 ∈
ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗))) |
107 | 3, 106 | sylan 281 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((!‘𝑀) ·
((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗))) |
108 | | lemul1a 8774 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((!‘𝑀)
· ((𝑀 +
1)↑𝑗)) ∈ ℝ
∧ (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧
(((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
((abs‘𝐴)↑𝑀))) ∧ ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗))) → (((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀))) |
109 | 102, 86, 105, 107, 108 | syl31anc 1236 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(((!‘𝑀) ·
((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀))) |
110 | 86, 84 | remulcld 7950 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ∈ ℝ) |
111 | 101 | nnrpd 9651 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((!‘𝑀) ·
((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈
ℝ+) |
112 | 84, 110, 111 | lemuldiv2d 9704 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((((!‘𝑀) ·
((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ↔ ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))))) |
113 | 109, 112 | mpbid 146 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))) |
114 | 85 | nncnd 8892 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈
ℂ) |
115 | 12 | recnd 7948 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℂ) |
116 | 115 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈
ℂ) |
117 | 101 | nncnd 8892 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((!‘𝑀) ·
((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈
ℂ) |
118 | 101 | nnap0d 8924 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((!‘𝑀) ·
((𝑀 + 1)↑𝑗)) # 0) |
119 | 114, 116,
117, 118 | divassapd 8743 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))))) |
120 | 73 | nncnd 8892 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ) |
121 | 120 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈
ℂ) |
122 | 73 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈
ℕ) |
123 | 122 | nnap0d 8924 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) # 0) |
124 | | nn0z 9232 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑗 ∈ ℕ0
→ 𝑗 ∈
ℤ) |
125 | 124 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈
ℤ) |
126 | 121, 123,
125 | exprecapd 10617 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 /
(𝑀 + 1))↑𝑗) = (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗))) |
127 | 126 | oveq2d 5869 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗)))) |
128 | 71 | recnd 7948 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ) |
129 | 128 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ) |
130 | 100 | nncnd 8892 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℂ) |
131 | 100 | nnap0d 8924 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) # 0) |
132 | 129, 130,
131 | divrecapd 8710 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) / ((𝑀 + 1)↑𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗)))) |
133 | 16 | nncnd 8892 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℂ) |
134 | 133 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(!‘𝑀) ∈
ℂ) |
135 | 98 | nnap0d 8924 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(!‘𝑀) #
0) |
136 | 116, 134,
130, 135, 131 | divdivap1d 8739 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) / ((𝑀 + 1)↑𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))) |
137 | 127, 132,
136 | 3eqtr2rd 2210 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))) |
138 | 137 | oveq2d 5869 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((!‘(𝑀 + 𝑗)) · (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))) |
139 | 119, 138 | eqtrd 2203 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))) |
140 | 113, 139 | breqtrd 4015 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))) |
141 | 83, 84, 87, 97, 140 | letrd 8043 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))) |
142 | 85 | nngt0d 8922 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 <
(!‘(𝑀 + 𝑗))) |
143 | | ledivmul 8793 |
. . . . . . 7
⊢
((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ 0 <
(!‘(𝑀 + 𝑗)))) → ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ↔ ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))) |
144 | 83, 77, 86, 142, 143 | syl112anc 1237 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ↔ ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))) |
145 | 141, 144 | mpbird 166 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))) |
146 | 65, 145 | eqbrtrd 4011 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))) |
147 | 58 | a1i 9 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V) |
148 | 21 | znegcld 9336 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → -𝑀 ∈ ℤ) |
149 | | 0cn 7912 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 0 ∈
ℂ |
150 | | subneg 8168 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((0
∈ ℂ ∧ 𝑀
∈ ℂ) → (0 − -𝑀) = (0 + 𝑀)) |
151 | 149, 150 | mpan 422 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (0
− -𝑀) = (0 + 𝑀)) |
152 | | addid2 8058 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (0 +
𝑀) = 𝑀) |
153 | 151, 152 | eqtrd 2203 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (0
− -𝑀) = 𝑀) |
154 | 54, 153 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (0 − -𝑀) = 𝑀) |
155 | 154 | fveq2d 5500 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 →
(ℤ≥‘(0 − -𝑀)) = (ℤ≥‘𝑀)) |
156 | 155 | eleq2d 2240 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0
− -𝑀)) ↔ 𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑀))) |
157 | 156 | pm5.32i 451 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0
− -𝑀))) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))) |
158 | 157, 41 | sylbi 120 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0
− -𝑀))) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ) |
159 | | readdcl 7900 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ) |
160 | 159 | adantl 275 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ) |
161 | 147, 53, 148, 158, 160 | seq3shft 10802 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺 shift -𝑀)) = (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀)) |
162 | | seqex 10403 |
. . . . . . 7
⊢ seq(0
− -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V |
163 | 54 | negcld 8217 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → -𝑀 ∈ ℂ) |
164 | | ovshftex 10783 |
. . . . . . 7
⊢ ((seq(0
− -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V ∧ -𝑀 ∈ ℂ) → (seq(0
− -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ V) |
165 | 162, 163,
164 | sylancr 412 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ V) |
166 | 20, 21, 34, 41, 44 | isumrecl 11392 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ∈ ℝ) |
167 | 154 | seqeq1d 10407 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) = seq𝑀( + , 𝐺)) |
168 | 167, 45 | eqbrtrd 4011 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘)) |
169 | | climshft 11267 |
. . . . . . . 8
⊢ ((-𝑀 ∈ ℤ ∧ seq(0
− -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V) → ((seq(0
− -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ↔ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))) |
170 | 148, 162,
169 | sylancl 411 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ↔ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))) |
171 | 168, 170 | mpbird 166 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘)) |
172 | | breldmg 4817 |
. . . . . 6
⊢ (((seq(0
− -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ V ∧ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘)) → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ dom ⇝ ) |
173 | 165, 166,
171, 172 | syl3anc 1233 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ dom ⇝ ) |
174 | 161, 173 | eqeltrd 2247 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺 shift -𝑀)) ∈ dom ⇝ ) |
175 | | seqex 10403 |
. . . . . 6
⊢ seq0( + ,
𝐻) ∈
V |
176 | 175 | a1i 9 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ V) |
177 | 2 | nnge1d 8921 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑀) |
178 | | 1nn 8889 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 1 ∈
ℕ |
179 | | nnleltp1 9271 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((1
∈ ℕ ∧ 𝑀
∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1))) |
180 | 178, 2, 179 | sylancr 412 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1))) |
181 | 177, 180 | mpbid 146 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 1 < (𝑀 + 1)) |
182 | 14 | nn0ge0d 9191 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 + 1)) |
183 | 15, 182 | absidd 11131 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑀 + 1)) = (𝑀 + 1)) |
184 | 181, 183 | breqtrrd 4017 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 1 < (abs‘(𝑀 + 1))) |
185 | 74 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (1 /
(𝑀 + 1)) ∈
ℝ) |
186 | 185, 70 | reexpcld 10626 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 /
(𝑀 + 1))↑𝑗) ∈
ℝ) |
187 | | eqid 2170 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑛 ∈ ℕ0
↦ ((1 / (𝑀 +
1))↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0
↦ ((1 / (𝑀 +
1))↑𝑛)) |
188 | 78, 187 | fvmptg 5572 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0
∧ ((1 / (𝑀 +
1))↑𝑗) ∈ ℝ)
→ ((𝑛 ∈
ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) |
189 | 70, 186, 188 | syl2anc 409 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0
↦ ((1 / (𝑀 +
1))↑𝑛))‘𝑗) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) |
190 | 120, 184,
189 | georeclim 11476 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0
↦ ((1 / (𝑀 +
1))↑𝑛))) ⇝
((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) −
1))) |
191 | 76 | recnd 7948 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 /
(𝑀 + 1))↑𝑗) ∈
ℂ) |
192 | 189, 191 | eqeltrd 2247 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0
↦ ((1 / (𝑀 +
1))↑𝑛))‘𝑗) ∈
ℂ) |
193 | 189 | oveq2d 5869 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 /
(𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))) |
194 | 82, 193 | eqtr4d 2206 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 /
(𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗))) |
195 | 52, 53, 128, 190, 192, 194 | isermulc2 11303 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1)))) |
196 | | ax-1cn 7867 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 1 ∈
ℂ |
197 | | pncan 8125 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ) → ((𝑀 + 1)
− 1) = 𝑀) |
198 | 54, 196, 197 | sylancl 411 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀) |
199 | 198 | oveq2d 5869 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1)) = ((𝑀 + 1) / 𝑀)) |
200 | 199 | oveq2d 5869 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / 𝑀))) |
201 | 15, 2 | nndivred 8928 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / 𝑀) ∈ ℝ) |
202 | 201 | recnd 7948 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / 𝑀) ∈ ℂ) |
203 | 16 | nnap0d 8924 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) # 0) |
204 | 115, 202,
133, 203 | div23apd 8745 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / 𝑀))) |
205 | 200, 204 | eqtr4d 2206 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀))) |
206 | 115, 202,
133, 203 | divassapd 8743 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀)))) |
207 | 2 | nnap0d 8924 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑀 # 0) |
208 | 120, 54, 133, 207, 203 | divdivap1d 8739 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀)) = ((𝑀 + 1) / (𝑀 · (!‘𝑀)))) |
209 | 54, 133 | mulcomd 7941 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑀 · (!‘𝑀)) = ((!‘𝑀) · 𝑀)) |
210 | 209 | oveq2d 5869 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / (𝑀 · (!‘𝑀))) = ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) |
211 | 208, 210 | eqtrd 2203 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀)) = ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) |
212 | 211 | oveq2d 5869 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) · (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀))) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))) |
213 | 205, 206,
212 | 3eqtrd 2207 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))) |
214 | 195, 213 | breqtrd 4015 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))) |
215 | | breldmg 4817 |
. . . . 5
⊢ ((seq0( +
, 𝐻) ∈ V ∧
(((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) ∈ ℝ ∧ seq0( + , 𝐻) ⇝ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))) → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ) |
216 | 176, 19, 214, 215 | syl3anc 1233 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝
) |
217 | 52, 53, 60, 69, 82, 77, 146, 174, 216 | isumle 11458 |
. . 3
⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0
((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))) |
218 | | eqid 2170 |
. . . . 5
⊢
(ℤ≥‘(0 + 𝑀)) = (ℤ≥‘(0 +
𝑀)) |
219 | | fveq2 5496 |
. . . . 5
⊢ (𝑘 = (𝑀 + 𝑗) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗))) |
220 | 54 | addid2d 8069 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (0 + 𝑀) = 𝑀) |
221 | 220 | fveq2d 5500 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 →
(ℤ≥‘(0 + 𝑀)) = (ℤ≥‘𝑀)) |
222 | 221 | eleq2d 2240 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 +
𝑀)) ↔ 𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑀))) |
223 | 222 | biimpa 294 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 +
𝑀))) → 𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑀)) |
224 | 223, 42 | syldan 280 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 +
𝑀))) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) |
225 | 52, 218, 219, 21, 53, 224 | isumshft 11453 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 +
𝑀))(𝐺‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗))) |
226 | 221 | sumeq1d 11329 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 +
𝑀))(𝐺‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘)) |
227 | 225, 226 | eqtr3d 2205 |
. . 3
⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘)) |
228 | 77 | recnd 7948 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℂ) |
229 | 52, 53, 82, 228, 214 | isumclim 11384 |
. . 3
⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0
((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))) |
230 | 217, 227,
229 | 3brtr3d 4020 |
. 2
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))) |
231 | 7, 11, 19, 51, 230 | letrd 8043 |
1
⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))) |