Theorem eftlub 12116

Description: An upper bound on the absolute value of the infinite tail of the series expansion of the exponential function on the closed unit disk. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eftl.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
eftl.2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
eftl.3	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)))
eftl.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
eftl.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
eftl.6	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 1)

Assertion

Ref	Expression
eftlub	⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀,𝑛   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem eftlub

Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eftl.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		eftl.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3	2	nnnn0d 9383	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		eftl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
5	4	eftlcl 12114	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
6	1, 3, 5	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
7	6	abscld 11607	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
8	1	abscld 11607	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9		eftl.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
10	9	reeftlcl 12115	. . 3 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
11	8, 3, 10	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
12	8, 3	reexpcld 10872	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ)
13		peano2nn0 9370	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
14	3, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
15	14	nn0red 9384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
16	3	faccld 10918	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
17	16, 2	nnmulcld 9120	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑀) · 𝑀) ∈ ℕ)
18	15, 17	nndivred 9121	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)) ∈ ℝ)
19	12, 18	remulcld 8138	. 2 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) ∈ ℝ)
20		eqid 2207	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
21	2	nnzd 9529	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
22		eqidd 2208	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
23		eluznn0 9755	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24	3, 23	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
25	4	eftvalcn 12083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
26	1, 25	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
27		eftcl 12080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
28	1, 27	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
29	26, 28	eqeltrd 2284	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30	24, 29	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
31	4	eftlcvg 12113	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
32	1, 3, 31	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
33	20, 21, 22, 30, 32	isumclim2 11848	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘))
34		eqidd 2208	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
35	8	recnd 8136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
36	9	eftvalcn 12083	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
37	35, 36	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
38		reeftcl 12081	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
39	8, 38	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
40	37, 39	eqeltrd 2284	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
41	24, 40	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
42	41	recnd 8136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
43	9	eftlcvg 12113	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
44	35, 3, 43	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
45	20, 21, 34, 42, 44	isumclim2 11848	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))
46		eftabs 12082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
47	1, 46	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
48	26	fveq2d 5603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))))
49	47, 48, 37	3eqtr4rd 2251	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
50	24, 49	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
51	20, 33, 45, 21, 30, 50	iserabs 11901	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))
52		nn0uz 9718	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
53		0zd 9419	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
54	2	nncnd 9085	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
55		nn0cn 9340	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℂ)
56		nn0ex 9336	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
57	56	mptex 5833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V
58	9, 57	eqeltri 2280	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 ∈ V
59	58	shftval4 11254	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → ((𝐺 shift -𝑀)‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
60	54, 55, 59	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺 shift -𝑀)‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
61	35	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
62		nn0addcl 9365	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0)
63	3, 62	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0)
64	9	eftvalcn 12083	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))))
65	61, 63, 64	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))))
66	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
67		reeftcl 12081	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ∈ ℝ)
68	66, 63, 67	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ∈ ℝ)
69	65, 68	eqeltrd 2284	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ)
70		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
71	12, 16	nndivred 9121	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℝ)
72	71	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℝ)
73	2	peano2nnd 9086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
74	73	nnrecred 9118	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
75		reexpcl 10738	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ)
76	74, 75	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ)
77	72, 76	remulcld 8138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ)
78		oveq2 5975	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))
79	78	oveq2d 5983	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
80		eftl.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)))
81	79, 80	fvmptg 5678	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
82	70, 77, 81	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
83	66, 63	reexpcld 10872	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ)
84	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ)
85	63	faccld 10918	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℕ)
86	85	nnred 9084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ)
87	86, 77	remulcld 8138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))) ∈ ℝ)
88	3	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
89		uzid 9697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
90	21, 89	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
91		uzaddcl 9742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
92	90, 91	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
93	1	absge0d 11610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
94	93	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
95		eftl.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 1)
96	95	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ≤ 1)
97	66, 88, 92, 94, 96	leexp2rd 10885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀))
98	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
99		nnexpcl 10734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℕ)
100	73, 99	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℕ)
101	98, 100	nnmulcld 9120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℕ)
102	101	nnred 9084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℝ)
103	8, 3, 93	expge0d 10873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀))
104	12, 103	jca 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
105	104	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
106		faclbnd6 10926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗)))
107	3, 106	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗)))
108		lemul1a 8966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀))) ∧ ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗))) → (((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
109	102, 86, 105, 107, 108	syl31anc 1253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
110	86, 84	remulcld 8138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ∈ ℝ)
111	101	nnrpd 9851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℝ+)
112	84, 110, 111	lemuldiv2d 9904	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ↔ ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))))
113	109, 112	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
114	85	nncnd 9085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℂ)
115	12	recnd 8136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℂ)
116	115	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℂ)
117	101	nncnd 9085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℂ)
118	101	nnap0d 9117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) # 0)
119	114, 116, 117, 118	divassapd 8934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))))
120	73	nncnd 9085	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
122	73	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
123	122	nnap0d 9117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) # 0)
124		nn0z 9427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℤ)
125	124	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℤ)
126	121, 123, 125	exprecapd 10863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) = (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗)))
127	126	oveq2d 5983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
128	71	recnd 8136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
129	128	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
130	100	nncnd 9085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℂ)
131	100	nnap0d 9117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) # 0)
132	129, 130, 131	divrecapd 8901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) / ((𝑀 + 1)↑𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
133	16	nncnd 9085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
134	133	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
135	98	nnap0d 9117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) # 0)
136	116, 134, 130, 135, 131	divdivap1d 8930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) / ((𝑀 + 1)↑𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
137	127, 132, 136	3eqtr2rd 2247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
138	137	oveq2d 5983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
139	119, 138	eqtrd 2240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
140	113, 139	breqtrd 4085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
141	83, 84, 87, 97, 140	letrd 8231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
142	85	nngt0d 9115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘(𝑀 + 𝑗)))
143		ledivmul 8985	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘(𝑀 + 𝑗)))) → ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ↔ ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))))
144	83, 77, 86, 142, 143	syl112anc 1254	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ↔ ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))))
145	141, 144	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
146	65, 145	eqbrtrd 4081	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
147	58	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
148	21	znegcld 9532	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝑀 ∈ ℤ)
149		0cn 8099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
150		subneg 8356	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (0 − -𝑀) = (0 + 𝑀))
151	149, 150	mpan 424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (0 − -𝑀) = (0 + 𝑀))
152		addlid 8246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (0 + 𝑀) = 𝑀)
153	151, 152	eqtrd 2240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (0 − -𝑀) = 𝑀)
154	54, 153	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 − -𝑀) = 𝑀)
155	154	fveq2d 5603	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(0 − -𝑀)) = (ℤ≥‘𝑀))
156	155	eleq2d 2277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 − -𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
157	156	pm5.32i 454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 − -𝑀))) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
158	157, 41	sylbi 121	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 − -𝑀))) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
159		readdcl 8086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
160	159	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
161	147, 53, 148, 158, 160	seq3shft 11264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺 shift -𝑀)) = (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀))
162		seqex 10631	. . . . . . 7 ⊢ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V
163	54	negcld 8405	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝑀 ∈ ℂ)
164		ovshftex 11245	. . . . . . 7 ⊢ ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V ∧ -𝑀 ∈ ℂ) → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ V)
165	162, 163, 164	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ V)
166	20, 21, 34, 41, 44	isumrecl 11855	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
167	154	seqeq1d 10635	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) = seq𝑀( + , 𝐺))
168	167, 45	eqbrtrd 4081	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))
169		climshft 11730	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝑀 ∈ ℤ ∧ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V) → ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ↔ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘)))
170	148, 162, 169	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ↔ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘)))
171	168, 170	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))
172		breldmg 4903	. . . . . 6 ⊢ (((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ V ∧ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘)) → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ dom ⇝ )
173	165, 166, 171, 172	syl3anc 1250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ dom ⇝ )
174	161, 173	eqeltrd 2284	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺 shift -𝑀)) ∈ dom ⇝ )
175		seqex 10631	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , 𝐻) ∈ V
176	175	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ V)
177	2	nnge1d 9114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
178		1nn 9082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ
179		nnleltp1 9467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
180	178, 2, 179	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
181	177, 180	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑀 + 1))
182	14	nn0ge0d 9386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 + 1))
183	15, 182	absidd 11593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑀 + 1)) = (𝑀 + 1))
184	181, 183	breqtrrd 4087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 < (abs‘(𝑀 + 1)))
185	74	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
186	185, 70	reexpcld 10872	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ)
187		eqid 2207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))
188	78, 187	fvmptg 5678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))
189	70, 186, 188	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))
190	120, 184, 189	georeclim 11939	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))) ⇝ ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1)))
191	76	recnd 8136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℂ)
192	189, 191	eqeltrd 2284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
193	189	oveq2d 5983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
194	82, 193	eqtr4d 2243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗)))
195	52, 53, 128, 190, 192, 194	isermulc2 11766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))))
196		ax-1cn 8053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
197		pncan 8313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
198	54, 196, 197	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
199	198	oveq2d 5983	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1)) = ((𝑀 + 1) / 𝑀))
200	199	oveq2d 5983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)))
201	15, 2	nndivred 9121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / 𝑀) ∈ ℝ)
202	201	recnd 8136	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / 𝑀) ∈ ℂ)
203	16	nnap0d 9117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) # 0)
204	115, 202, 133, 203	div23apd 8936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)))
205	200, 204	eqtr4d 2243	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)))
206	115, 202, 133, 203	divassapd 8934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀))))
207	2	nnap0d 9117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 # 0)
208	120, 54, 133, 207, 203	divdivap1d 8930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀)) = ((𝑀 + 1) / (𝑀 · (!‘𝑀))))
209	54, 133	mulcomd 8129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (!‘𝑀)) = ((!‘𝑀) · 𝑀))
210	209	oveq2d 5983	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / (𝑀 · (!‘𝑀))) = ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))
211	208, 210	eqtrd 2240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀)) = ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))
212	211	oveq2d 5983	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) · (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀))) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
213	205, 206, 212	3eqtrd 2244	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
214	195, 213	breqtrd 4085	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
215		breldmg 4903	. . . . 5 ⊢ ((seq0( + , 𝐻) ∈ V ∧ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) ∈ ℝ ∧ seq0( + , 𝐻) ⇝ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))) → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
216	176, 19, 214, 215	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
217	52, 53, 60, 69, 82, 77, 146, 174, 216	isumle 11921	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
218		eqid 2207	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 𝑀)) = (ℤ≥‘(0 + 𝑀))
219		fveq2 5599	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑀 + 𝑗) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
220	54	addlidd 8257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝑀) = 𝑀)
221	220	fveq2d 5603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(0 + 𝑀)) = (ℤ≥‘𝑀))
222	221	eleq2d 2277	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
223	222	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝑀))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
224	223, 42	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝑀))) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
225	52, 218, 219, 21, 53, 224	isumshft 11916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝑀))(𝐺‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
226	221	sumeq1d 11792	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝑀))(𝐺‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))
227	225, 226	eqtr3d 2242	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))
228	77	recnd 8136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℂ)
229	52, 53, 82, 228, 214	isumclim 11847	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
230	217, 227, 229	3brtr3d 4090	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
231	7, 11, 19, 51, 230	letrd 8231	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  Vcvv 2776   class class class wbr 4059   ↦ cmpt 4121  dom cdm 4693  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  ℂcc 7958  ℝcr 7959  0cc0 7960  1c1 7961   + caddc 7963   · cmul 7965   < clt 8142   ≤ cle 8143   − cmin 8278  -cneg 8279   / cdiv 8780  ℕcn 9071  ℕ₀cn0 9330  ℤcz 9407  ℤ_≥cuz 9683  seqcseq 10629  ↑cexp 10720  !cfa 10907   shift cshi 11240  abscabs 11423   ⇝ cli 11704  Σcsu 11779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-ico 10051  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-fac 10908  df-ihash 10958  df-shft 11241  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-sumdc 11780

This theorem is referenced by:  ef01bndlem  12182  eirraplem  12203  dveflem  15313