Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eftl.5 |
. . . 4
โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
2 | | eftl.4 |
. . . . 5
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
3 | 2 | nnnn0d 9228 |
. . . 4
โข (๐ โ ๐ โ
โ0) |
4 | | eftl.1 |
. . . . 5
โข ๐น = (๐ โ โ0 โฆ ((๐ดโ๐) / (!โ๐))) |
5 | 4 | eftlcl 11695 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0)
โ ฮฃ๐ โ
(โคโฅโ๐)(๐นโ๐) โ โ) |
6 | 1, 3, 5 | syl2anc 411 |
. . 3
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (โคโฅโ๐)(๐นโ๐) โ โ) |
7 | 6 | abscld 11189 |
. 2
โข (๐ โ (absโฮฃ๐ โ
(โคโฅโ๐)(๐นโ๐)) โ โ) |
8 | 1 | abscld 11189 |
. . 3
โข (๐ โ (absโ๐ด) โ
โ) |
9 | | eftl.2 |
. . . 4
โข ๐บ = (๐ โ โ0 โฆ
(((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐))) |
10 | 9 | reeftlcl 11696 |
. . 3
โข
(((absโ๐ด)
โ โ โง ๐
โ โ0) โ ฮฃ๐ โ (โคโฅโ๐)(๐บโ๐) โ โ) |
11 | 8, 3, 10 | syl2anc 411 |
. 2
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (โคโฅโ๐)(๐บโ๐) โ โ) |
12 | 8, 3 | reexpcld 10670 |
. . 3
โข (๐ โ ((absโ๐ด)โ๐) โ โ) |
13 | | peano2nn0 9215 |
. . . . . 6
โข (๐ โ โ0
โ (๐ + 1) โ
โ0) |
14 | 3, 13 | syl 14 |
. . . . 5
โข (๐ โ (๐ + 1) โ
โ0) |
15 | 14 | nn0red 9229 |
. . . 4
โข (๐ โ (๐ + 1) โ โ) |
16 | 3 | faccld 10715 |
. . . . 5
โข (๐ โ (!โ๐) โ โ) |
17 | 16, 2 | nnmulcld 8967 |
. . . 4
โข (๐ โ ((!โ๐) ยท ๐) โ โ) |
18 | 15, 17 | nndivred 8968 |
. . 3
โข (๐ โ ((๐ + 1) / ((!โ๐) ยท ๐)) โ โ) |
19 | 12, 18 | remulcld 7987 |
. 2
โข (๐ โ (((absโ๐ด)โ๐) ยท ((๐ + 1) / ((!โ๐) ยท ๐))) โ โ) |
20 | | eqid 2177 |
. . 3
โข
(โคโฅโ๐) = (โคโฅโ๐) |
21 | 2 | nnzd 9373 |
. . . 4
โข (๐ โ ๐ โ โค) |
22 | | eqidd 2178 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ (๐นโ๐) = (๐นโ๐)) |
23 | | eluznn0 9598 |
. . . . . 6
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ โ
(โคโฅโ๐)) โ ๐ โ โ0) |
24 | 3, 23 | sylan 283 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ ๐ โ โ0) |
25 | 4 | eftvalcn 11664 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0)
โ (๐นโ๐) = ((๐ดโ๐) / (!โ๐))) |
26 | 1, 25 | sylan 283 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ (๐นโ๐) = ((๐ดโ๐) / (!โ๐))) |
27 | | eftcl 11661 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0)
โ ((๐ดโ๐) / (!โ๐)) โ โ) |
28 | 1, 27 | sylan 283 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ ((๐ดโ๐) / (!โ๐)) โ โ) |
29 | 26, 28 | eqeltrd 2254 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ (๐นโ๐) โ โ) |
30 | 24, 29 | syldan 282 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ (๐นโ๐) โ โ) |
31 | 4 | eftlcvg 11694 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0)
โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ
) |
32 | 1, 3, 31 | syl2anc 411 |
. . . 4
โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ ) |
33 | 20, 21, 22, 30, 32 | isumclim2 11429 |
. . 3
โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ ฮฃ๐ โ (โคโฅโ๐)(๐นโ๐)) |
34 | | eqidd 2178 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ (๐บโ๐) = (๐บโ๐)) |
35 | 8 | recnd 7985 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (absโ๐ด) โ
โ) |
36 | 9 | eftvalcn 11664 |
. . . . . . . 8
โข
(((absโ๐ด)
โ โ โง ๐
โ โ0) โ (๐บโ๐) = (((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐))) |
37 | 35, 36 | sylan 283 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ (๐บโ๐) = (((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐))) |
38 | | reeftcl 11662 |
. . . . . . . 8
โข
(((absโ๐ด)
โ โ โง ๐
โ โ0) โ (((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) โ โ) |
39 | 8, 38 | sylan 283 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
(((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) โ โ) |
40 | 37, 39 | eqeltrd 2254 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ (๐บโ๐) โ โ) |
41 | 24, 40 | syldan 282 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ (๐บโ๐) โ โ) |
42 | 41 | recnd 7985 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ (๐บโ๐) โ โ) |
43 | 9 | eftlcvg 11694 |
. . . . 5
โข
(((absโ๐ด)
โ โ โง ๐
โ โ0) โ seq๐( + , ๐บ) โ dom โ ) |
44 | 35, 3, 43 | syl2anc 411 |
. . . 4
โข (๐ โ seq๐( + , ๐บ) โ dom โ ) |
45 | 20, 21, 34, 42, 44 | isumclim2 11429 |
. . 3
โข (๐ โ seq๐( + , ๐บ) โ ฮฃ๐ โ (โคโฅโ๐)(๐บโ๐)) |
46 | | eftabs 11663 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0)
โ (absโ((๐ดโ๐) / (!โ๐))) = (((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐))) |
47 | 1, 46 | sylan 283 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
(absโ((๐ดโ๐) / (!โ๐))) = (((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐))) |
48 | 26 | fveq2d 5519 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
(absโ(๐นโ๐)) = (absโ((๐ดโ๐) / (!โ๐)))) |
49 | 47, 48, 37 | 3eqtr4rd 2221 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ (๐บโ๐) = (absโ(๐นโ๐))) |
50 | 24, 49 | syldan 282 |
. . 3
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ (๐บโ๐) = (absโ(๐นโ๐))) |
51 | 20, 33, 45, 21, 30, 50 | iserabs 11482 |
. 2
โข (๐ โ (absโฮฃ๐ โ
(โคโฅโ๐)(๐นโ๐)) โค ฮฃ๐ โ (โคโฅโ๐)(๐บโ๐)) |
52 | | nn0uz 9561 |
. . . 4
โข
โ0 = (โคโฅโ0) |
53 | | 0zd 9264 |
. . . 4
โข (๐ โ 0 โ
โค) |
54 | 2 | nncnd 8932 |
. . . . 5
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
55 | | nn0cn 9185 |
. . . . 5
โข (๐ โ โ0
โ ๐ โ
โ) |
56 | | nn0ex 9181 |
. . . . . . . 8
โข
โ0 โ V |
57 | 56 | mptex 5742 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ โ0
โฆ (((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐))) โ V |
58 | 9, 57 | eqeltri 2250 |
. . . . . 6
โข ๐บ โ V |
59 | 58 | shftval4 10836 |
. . . . 5
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ ((๐บ shift -๐)โ๐) = (๐บโ(๐ + ๐))) |
60 | 54, 55, 59 | syl2an 289 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ ((๐บ shift -๐)โ๐) = (๐บโ(๐ + ๐))) |
61 | 35 | adantr 276 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
(absโ๐ด) โ
โ) |
62 | | nn0addcl 9210 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ โ
โ0) โ (๐ + ๐) โ
โ0) |
63 | 3, 62 | sylan 283 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ (๐ + ๐) โ
โ0) |
64 | 9 | eftvalcn 11664 |
. . . . . 6
โข
(((absโ๐ด)
โ โ โง (๐ +
๐) โ
โ0) โ (๐บโ(๐ + ๐)) = (((absโ๐ด)โ(๐ + ๐)) / (!โ(๐ + ๐)))) |
65 | 61, 63, 64 | syl2anc 411 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ (๐บโ(๐ + ๐)) = (((absโ๐ด)โ(๐ + ๐)) / (!โ(๐ + ๐)))) |
66 | 8 | adantr 276 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
(absโ๐ด) โ
โ) |
67 | | reeftcl 11662 |
. . . . . 6
โข
(((absโ๐ด)
โ โ โง (๐ +
๐) โ
โ0) โ (((absโ๐ด)โ(๐ + ๐)) / (!โ(๐ + ๐))) โ โ) |
68 | 66, 63, 67 | syl2anc 411 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
(((absโ๐ด)โ(๐ + ๐)) / (!โ(๐ + ๐))) โ โ) |
69 | 65, 68 | eqeltrd 2254 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ (๐บโ(๐ + ๐)) โ โ) |
70 | | simpr 110 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ ๐ โ
โ0) |
71 | 12, 16 | nndivred 8968 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) โ โ) |
72 | 71 | adantr 276 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
(((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) โ โ) |
73 | 2 | peano2nnd 8933 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (๐ + 1) โ โ) |
74 | 73 | nnrecred 8965 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (1 / (๐ + 1)) โ โ) |
75 | | reexpcl 10536 |
. . . . . . 7
โข (((1 /
(๐ + 1)) โ โ
โง ๐ โ
โ0) โ ((1 / (๐ + 1))โ๐) โ โ) |
76 | 74, 75 | sylan 283 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ ((1 /
(๐ + 1))โ๐) โ
โ) |
77 | 72, 76 | remulcld 7987 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((1 / (๐ + 1))โ๐)) โ โ) |
78 | | oveq2 5882 |
. . . . . . 7
โข (๐ = ๐ โ ((1 / (๐ + 1))โ๐) = ((1 / (๐ + 1))โ๐)) |
79 | 78 | oveq2d 5890 |
. . . . . 6
โข (๐ = ๐ โ ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((1 / (๐ + 1))โ๐)) = ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((1 / (๐ + 1))โ๐))) |
80 | | eftl.3 |
. . . . . 6
โข ๐ป = (๐ โ โ0 โฆ
((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((1 / (๐ + 1))โ๐))) |
81 | 79, 80 | fvmptg 5592 |
. . . . 5
โข ((๐ โ โ0
โง ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((1 / (๐ + 1))โ๐)) โ โ) โ (๐ปโ๐) = ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((1 / (๐ + 1))โ๐))) |
82 | 70, 77, 81 | syl2anc 411 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ (๐ปโ๐) = ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((1 / (๐ + 1))โ๐))) |
83 | 66, 63 | reexpcld 10670 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
((absโ๐ด)โ(๐ + ๐)) โ โ) |
84 | 12 | adantr 276 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
((absโ๐ด)โ๐) โ
โ) |
85 | 63 | faccld 10715 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
(!โ(๐ + ๐)) โ
โ) |
86 | 85 | nnred 8931 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
(!โ(๐ + ๐)) โ
โ) |
87 | 86, 77 | remulcld 7987 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
((!โ(๐ + ๐)) ยท ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((1 / (๐ + 1))โ๐))) โ โ) |
88 | 3 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ ๐ โ
โ0) |
89 | | uzid 9541 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โค โ ๐ โ
(โคโฅโ๐)) |
90 | 21, 89 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) |
91 | | uzaddcl 9585 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โ
(โคโฅโ๐) โง ๐ โ โ0) โ (๐ + ๐) โ (โคโฅโ๐)) |
92 | 90, 91 | sylan 283 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ (๐ + ๐) โ (โคโฅโ๐)) |
93 | 1 | absge0d 11192 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ 0 โค (absโ๐ด)) |
94 | 93 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ 0 โค
(absโ๐ด)) |
95 | | eftl.6 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (absโ๐ด) โค 1) |
96 | 95 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
(absโ๐ด) โค
1) |
97 | 66, 88, 92, 94, 96 | leexp2rd 10683 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
((absโ๐ด)โ(๐ + ๐)) โค ((absโ๐ด)โ๐)) |
98 | 16 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
(!โ๐) โ
โ) |
99 | | nnexpcl 10532 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ + 1) โ โ โง ๐ โ โ0)
โ ((๐ + 1)โ๐) โ
โ) |
100 | 73, 99 | sylan 283 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ ((๐ + 1)โ๐) โ โ) |
101 | 98, 100 | nnmulcld 8967 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
((!โ๐) ยท
((๐ + 1)โ๐)) โ
โ) |
102 | 101 | nnred 8931 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
((!โ๐) ยท
((๐ + 1)โ๐)) โ
โ) |
103 | 8, 3, 93 | expge0d 10671 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ 0 โค ((absโ๐ด)โ๐)) |
104 | 12, 103 | jca 306 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ (((absโ๐ด)โ๐) โ โ โง 0 โค
((absโ๐ด)โ๐))) |
105 | 104 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
(((absโ๐ด)โ๐) โ โ โง 0 โค
((absโ๐ด)โ๐))) |
106 | | faclbnd6 10723 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ โ
โ0) โ ((!โ๐) ยท ((๐ + 1)โ๐)) โค (!โ(๐ + ๐))) |
107 | 3, 106 | sylan 283 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
((!โ๐) ยท
((๐ + 1)โ๐)) โค (!โ(๐ + ๐))) |
108 | | lemul1a 8814 |
. . . . . . . . . 10
โข
(((((!โ๐)
ยท ((๐ +
1)โ๐)) โ โ
โง (!โ(๐ + ๐)) โ โ โง
(((absโ๐ด)โ๐) โ โ โง 0 โค
((absโ๐ด)โ๐))) โง ((!โ๐) ยท ((๐ + 1)โ๐)) โค (!โ(๐ + ๐))) โ (((!โ๐) ยท ((๐ + 1)โ๐)) ยท ((absโ๐ด)โ๐)) โค ((!โ(๐ + ๐)) ยท ((absโ๐ด)โ๐))) |
109 | 102, 86, 105, 107, 108 | syl31anc 1241 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
(((!โ๐) ยท
((๐ + 1)โ๐)) ยท ((absโ๐ด)โ๐)) โค ((!โ(๐ + ๐)) ยท ((absโ๐ด)โ๐))) |
110 | 86, 84 | remulcld 7987 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
((!โ(๐ + ๐)) ยท ((absโ๐ด)โ๐)) โ โ) |
111 | 101 | nnrpd 9693 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
((!โ๐) ยท
((๐ + 1)โ๐)) โ
โ+) |
112 | 84, 110, 111 | lemuldiv2d 9746 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
((((!โ๐) ยท
((๐ + 1)โ๐)) ยท ((absโ๐ด)โ๐)) โค ((!โ(๐ + ๐)) ยท ((absโ๐ด)โ๐)) โ ((absโ๐ด)โ๐) โค (((!โ(๐ + ๐)) ยท ((absโ๐ด)โ๐)) / ((!โ๐) ยท ((๐ + 1)โ๐))))) |
113 | 109, 112 | mpbid 147 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
((absโ๐ด)โ๐) โค (((!โ(๐ + ๐)) ยท ((absโ๐ด)โ๐)) / ((!โ๐) ยท ((๐ + 1)โ๐)))) |
114 | 85 | nncnd 8932 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
(!โ(๐ + ๐)) โ
โ) |
115 | 12 | recnd 7985 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ((absโ๐ด)โ๐) โ โ) |
116 | 115 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
((absโ๐ด)โ๐) โ
โ) |
117 | 101 | nncnd 8932 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
((!โ๐) ยท
((๐ + 1)โ๐)) โ
โ) |
118 | 101 | nnap0d 8964 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
((!โ๐) ยท
((๐ + 1)โ๐)) # 0) |
119 | 114, 116,
117, 118 | divassapd 8782 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
(((!โ(๐ + ๐)) ยท ((absโ๐ด)โ๐)) / ((!โ๐) ยท ((๐ + 1)โ๐))) = ((!โ(๐ + ๐)) ยท (((absโ๐ด)โ๐) / ((!โ๐) ยท ((๐ + 1)โ๐))))) |
120 | 73 | nncnd 8932 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (๐ + 1) โ โ) |
121 | 120 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ (๐ + 1) โ
โ) |
122 | 73 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ (๐ + 1) โ
โ) |
123 | 122 | nnap0d 8964 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ (๐ + 1) # 0) |
124 | | nn0z 9272 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ โ0
โ ๐ โ
โค) |
125 | 124 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ ๐ โ
โค) |
126 | 121, 123,
125 | exprecapd 10661 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ ((1 /
(๐ + 1))โ๐) = (1 / ((๐ + 1)โ๐))) |
127 | 126 | oveq2d 5890 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((1 / (๐ + 1))โ๐)) = ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท (1 / ((๐ + 1)โ๐)))) |
128 | 71 | recnd 7985 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) โ โ) |
129 | 128 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
(((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) โ โ) |
130 | 100 | nncnd 8932 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ ((๐ + 1)โ๐) โ โ) |
131 | 100 | nnap0d 8964 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ ((๐ + 1)โ๐) # 0) |
132 | 129, 130,
131 | divrecapd 8749 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) / ((๐ + 1)โ๐)) = ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท (1 / ((๐ + 1)โ๐)))) |
133 | 16 | nncnd 8932 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (!โ๐) โ โ) |
134 | 133 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
(!โ๐) โ
โ) |
135 | 98 | nnap0d 8964 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
(!โ๐) #
0) |
136 | 116, 134,
130, 135, 131 | divdivap1d 8778 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) / ((๐ + 1)โ๐)) = (((absโ๐ด)โ๐) / ((!โ๐) ยท ((๐ + 1)โ๐)))) |
137 | 127, 132,
136 | 3eqtr2rd 2217 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
(((absโ๐ด)โ๐) / ((!โ๐) ยท ((๐ + 1)โ๐))) = ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((1 / (๐ + 1))โ๐))) |
138 | 137 | oveq2d 5890 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
((!โ(๐ + ๐)) ยท (((absโ๐ด)โ๐) / ((!โ๐) ยท ((๐ + 1)โ๐)))) = ((!โ(๐ + ๐)) ยท ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((1 / (๐ + 1))โ๐)))) |
139 | 119, 138 | eqtrd 2210 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
(((!โ(๐ + ๐)) ยท ((absโ๐ด)โ๐)) / ((!โ๐) ยท ((๐ + 1)โ๐))) = ((!โ(๐ + ๐)) ยท ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((1 / (๐ + 1))โ๐)))) |
140 | 113, 139 | breqtrd 4029 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
((absโ๐ด)โ๐) โค ((!โ(๐ + ๐)) ยท ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((1 / (๐ + 1))โ๐)))) |
141 | 83, 84, 87, 97, 140 | letrd 8080 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
((absโ๐ด)โ(๐ + ๐)) โค ((!โ(๐ + ๐)) ยท ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((1 / (๐ + 1))โ๐)))) |
142 | 85 | nngt0d 8962 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ 0 <
(!โ(๐ + ๐))) |
143 | | ledivmul 8833 |
. . . . . . 7
โข
((((absโ๐ด)โ(๐ + ๐)) โ โ โง ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((1 / (๐ + 1))โ๐)) โ โ โง ((!โ(๐ + ๐)) โ โ โง 0 <
(!โ(๐ + ๐)))) โ ((((absโ๐ด)โ(๐ + ๐)) / (!โ(๐ + ๐))) โค ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((1 / (๐ + 1))โ๐)) โ ((absโ๐ด)โ(๐ + ๐)) โค ((!โ(๐ + ๐)) ยท ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((1 / (๐ + 1))โ๐))))) |
144 | 83, 77, 86, 142, 143 | syl112anc 1242 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
((((absโ๐ด)โ(๐ + ๐)) / (!โ(๐ + ๐))) โค ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((1 / (๐ + 1))โ๐)) โ ((absโ๐ด)โ(๐ + ๐)) โค ((!โ(๐ + ๐)) ยท ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((1 / (๐ + 1))โ๐))))) |
145 | 141, 144 | mpbird 167 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
(((absโ๐ด)โ(๐ + ๐)) / (!โ(๐ + ๐))) โค ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((1 / (๐ + 1))โ๐))) |
146 | 65, 145 | eqbrtrd 4025 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ (๐บโ(๐ + ๐)) โค ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((1 / (๐ + 1))โ๐))) |
147 | 58 | a1i 9 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ๐บ โ V) |
148 | 21 | znegcld 9376 |
. . . . . 6
โข (๐ โ -๐ โ โค) |
149 | | 0cn 7948 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข 0 โ
โ |
150 | | subneg 8205 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((0
โ โ โง ๐
โ โ) โ (0 โ -๐) = (0 + ๐)) |
151 | 149, 150 | mpan 424 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ โ โ (0
โ -๐) = (0 + ๐)) |
152 | | addlid 8095 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ โ โ (0 +
๐) = ๐) |
153 | 151, 152 | eqtrd 2210 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โ โ (0
โ -๐) = ๐) |
154 | 54, 153 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (0 โ -๐) = ๐) |
155 | 154 | fveq2d 5519 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ
(โคโฅโ(0 โ -๐)) = (โคโฅโ๐)) |
156 | 155 | eleq2d 2247 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (๐ โ (โคโฅโ(0
โ -๐)) โ ๐ โ
(โคโฅโ๐))) |
157 | 156 | pm5.32i 454 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ(0
โ -๐))) โ (๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐))) |
158 | 157, 41 | sylbi 121 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ(0
โ -๐))) โ (๐บโ๐) โ โ) |
159 | | readdcl 7936 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (๐ + ๐ฆ) โ โ) |
160 | 159 | adantl 277 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง (๐ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โ (๐ + ๐ฆ) โ โ) |
161 | 147, 53, 148, 158, 160 | seq3shft 10846 |
. . . . 5
โข (๐ โ seq0( + , (๐บ shift -๐)) = (seq(0 โ -๐)( + , ๐บ) shift -๐)) |
162 | | seqex 10446 |
. . . . . . 7
โข seq(0
โ -๐)( + , ๐บ) โ V |
163 | 54 | negcld 8254 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ -๐ โ โ) |
164 | | ovshftex 10827 |
. . . . . . 7
โข ((seq(0
โ -๐)( + , ๐บ) โ V โง -๐ โ โ) โ (seq(0
โ -๐)( + , ๐บ) shift -๐) โ V) |
165 | 162, 163,
164 | sylancr 414 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (seq(0 โ -๐)( + , ๐บ) shift -๐) โ V) |
166 | 20, 21, 34, 41, 44 | isumrecl 11436 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (โคโฅโ๐)(๐บโ๐) โ โ) |
167 | 154 | seqeq1d 10450 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ seq(0 โ -๐)( + , ๐บ) = seq๐( + , ๐บ)) |
168 | 167, 45 | eqbrtrd 4025 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ seq(0 โ -๐)( + , ๐บ) โ ฮฃ๐ โ (โคโฅโ๐)(๐บโ๐)) |
169 | | climshft 11311 |
. . . . . . . 8
โข ((-๐ โ โค โง seq(0
โ -๐)( + , ๐บ) โ V) โ ((seq(0
โ -๐)( + , ๐บ) shift -๐) โ ฮฃ๐ โ (โคโฅโ๐)(๐บโ๐) โ seq(0 โ -๐)( + , ๐บ) โ ฮฃ๐ โ (โคโฅโ๐)(๐บโ๐))) |
170 | 148, 162,
169 | sylancl 413 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ((seq(0 โ -๐)( + , ๐บ) shift -๐) โ ฮฃ๐ โ (โคโฅโ๐)(๐บโ๐) โ seq(0 โ -๐)( + , ๐บ) โ ฮฃ๐ โ (โคโฅโ๐)(๐บโ๐))) |
171 | 168, 170 | mpbird 167 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (seq(0 โ -๐)( + , ๐บ) shift -๐) โ ฮฃ๐ โ (โคโฅโ๐)(๐บโ๐)) |
172 | | breldmg 4833 |
. . . . . 6
โข (((seq(0
โ -๐)( + , ๐บ) shift -๐) โ V โง ฮฃ๐ โ (โคโฅโ๐)(๐บโ๐) โ โ โง (seq(0 โ -๐)( + , ๐บ) shift -๐) โ ฮฃ๐ โ (โคโฅโ๐)(๐บโ๐)) โ (seq(0 โ -๐)( + , ๐บ) shift -๐) โ dom โ ) |
173 | 165, 166,
171, 172 | syl3anc 1238 |
. . . . 5
โข (๐ โ (seq(0 โ -๐)( + , ๐บ) shift -๐) โ dom โ ) |
174 | 161, 173 | eqeltrd 2254 |
. . . 4
โข (๐ โ seq0( + , (๐บ shift -๐)) โ dom โ ) |
175 | | seqex 10446 |
. . . . . 6
โข seq0( + ,
๐ป) โ
V |
176 | 175 | a1i 9 |
. . . . 5
โข (๐ โ seq0( + , ๐ป) โ V) |
177 | 2 | nnge1d 8961 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ 1 โค ๐) |
178 | | 1nn 8929 |
. . . . . . . . . . 11
โข 1 โ
โ |
179 | | nnleltp1 9311 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((1
โ โ โง ๐
โ โ) โ (1 โค ๐ โ 1 < (๐ + 1))) |
180 | 178, 2, 179 | sylancr 414 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (1 โค ๐ โ 1 < (๐ + 1))) |
181 | 177, 180 | mpbid 147 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ 1 < (๐ + 1)) |
182 | 14 | nn0ge0d 9231 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ 0 โค (๐ + 1)) |
183 | 15, 182 | absidd 11175 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (absโ(๐ + 1)) = (๐ + 1)) |
184 | 181, 183 | breqtrrd 4031 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ 1 < (absโ(๐ + 1))) |
185 | 74 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ (1 /
(๐ + 1)) โ
โ) |
186 | 185, 70 | reexpcld 10670 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ ((1 /
(๐ + 1))โ๐) โ
โ) |
187 | | eqid 2177 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ0
โฆ ((1 / (๐ +
1))โ๐)) = (๐ โ โ0
โฆ ((1 / (๐ +
1))โ๐)) |
188 | 78, 187 | fvmptg 5592 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โ โ0
โง ((1 / (๐ +
1))โ๐) โ โ)
โ ((๐ โ
โ0 โฆ ((1 / (๐ + 1))โ๐))โ๐) = ((1 / (๐ + 1))โ๐)) |
189 | 70, 186, 188 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ ((๐ โ โ0
โฆ ((1 / (๐ +
1))โ๐))โ๐) = ((1 / (๐ + 1))โ๐)) |
190 | 120, 184,
189 | georeclim 11520 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ seq0( + , (๐ โ โ0
โฆ ((1 / (๐ +
1))โ๐))) โ
((๐ + 1) / ((๐ + 1) โ
1))) |
191 | 76 | recnd 7985 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ ((1 /
(๐ + 1))โ๐) โ
โ) |
192 | 189, 191 | eqeltrd 2254 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ ((๐ โ โ0
โฆ ((1 / (๐ +
1))โ๐))โ๐) โ
โ) |
193 | 189 | oveq2d 5890 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((๐ โ โ0 โฆ ((1 /
(๐ + 1))โ๐))โ๐)) = ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((1 / (๐ + 1))โ๐))) |
194 | 82, 193 | eqtr4d 2213 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ (๐ปโ๐) = ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((๐ โ โ0 โฆ ((1 /
(๐ + 1))โ๐))โ๐))) |
195 | 52, 53, 128, 190, 192, 194 | isermulc2 11347 |
. . . . . 6
โข (๐ โ seq0( + , ๐ป) โ ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((๐ + 1) / ((๐ + 1) โ 1)))) |
196 | | ax-1cn 7903 |
. . . . . . . . . . 11
โข 1 โ
โ |
197 | | pncan 8162 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โ โ โง 1 โ
โ) โ ((๐ + 1)
โ 1) = ๐) |
198 | 54, 196, 197 | sylancl 413 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ((๐ + 1) โ 1) = ๐) |
199 | 198 | oveq2d 5890 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ((๐ + 1) / ((๐ + 1) โ 1)) = ((๐ + 1) / ๐)) |
200 | 199 | oveq2d 5890 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((๐ + 1) / ((๐ + 1) โ 1))) = ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((๐ + 1) / ๐))) |
201 | 15, 2 | nndivred 8968 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ((๐ + 1) / ๐) โ โ) |
202 | 201 | recnd 7985 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ((๐ + 1) / ๐) โ โ) |
203 | 16 | nnap0d 8964 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (!โ๐) # 0) |
204 | 115, 202,
133, 203 | div23apd 8784 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ((((absโ๐ด)โ๐) ยท ((๐ + 1) / ๐)) / (!โ๐)) = ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((๐ + 1) / ๐))) |
205 | 200, 204 | eqtr4d 2213 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((๐ + 1) / ((๐ + 1) โ 1))) = ((((absโ๐ด)โ๐) ยท ((๐ + 1) / ๐)) / (!โ๐))) |
206 | 115, 202,
133, 203 | divassapd 8782 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ((((absโ๐ด)โ๐) ยท ((๐ + 1) / ๐)) / (!โ๐)) = (((absโ๐ด)โ๐) ยท (((๐ + 1) / ๐) / (!โ๐)))) |
207 | 2 | nnap0d 8964 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ๐ # 0) |
208 | 120, 54, 133, 207, 203 | divdivap1d 8778 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (((๐ + 1) / ๐) / (!โ๐)) = ((๐ + 1) / (๐ ยท (!โ๐)))) |
209 | 54, 133 | mulcomd 7978 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (๐ ยท (!โ๐)) = ((!โ๐) ยท ๐)) |
210 | 209 | oveq2d 5890 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ((๐ + 1) / (๐ ยท (!โ๐))) = ((๐ + 1) / ((!โ๐) ยท ๐))) |
211 | 208, 210 | eqtrd 2210 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (((๐ + 1) / ๐) / (!โ๐)) = ((๐ + 1) / ((!โ๐) ยท ๐))) |
212 | 211 | oveq2d 5890 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (((absโ๐ด)โ๐) ยท (((๐ + 1) / ๐) / (!โ๐))) = (((absโ๐ด)โ๐) ยท ((๐ + 1) / ((!โ๐) ยท ๐)))) |
213 | 205, 206,
212 | 3eqtrd 2214 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((๐ + 1) / ((๐ + 1) โ 1))) = (((absโ๐ด)โ๐) ยท ((๐ + 1) / ((!โ๐) ยท ๐)))) |
214 | 195, 213 | breqtrd 4029 |
. . . . 5
โข (๐ โ seq0( + , ๐ป) โ (((absโ๐ด)โ๐) ยท ((๐ + 1) / ((!โ๐) ยท ๐)))) |
215 | | breldmg 4833 |
. . . . 5
โข ((seq0( +
, ๐ป) โ V โง
(((absโ๐ด)โ๐) ยท ((๐ + 1) / ((!โ๐) ยท ๐))) โ โ โง seq0( + , ๐ป) โ (((absโ๐ด)โ๐) ยท ((๐ + 1) / ((!โ๐) ยท ๐)))) โ seq0( + , ๐ป) โ dom โ ) |
216 | 176, 19, 214, 215 | syl3anc 1238 |
. . . 4
โข (๐ โ seq0( + , ๐ป) โ dom โ
) |
217 | 52, 53, 60, 69, 82, 77, 146, 174, 216 | isumle 11502 |
. . 3
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ โ0 (๐บโ(๐ + ๐)) โค ฮฃ๐ โ โ0
((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((1 / (๐ + 1))โ๐))) |
218 | | eqid 2177 |
. . . . 5
โข
(โคโฅโ(0 + ๐)) = (โคโฅโ(0 +
๐)) |
219 | | fveq2 5515 |
. . . . 5
โข (๐ = (๐ + ๐) โ (๐บโ๐) = (๐บโ(๐ + ๐))) |
220 | 54 | addid2d 8106 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (0 + ๐) = ๐) |
221 | 220 | fveq2d 5519 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ
(โคโฅโ(0 + ๐)) = (โคโฅโ๐)) |
222 | 221 | eleq2d 2247 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (๐ โ (โคโฅโ(0 +
๐)) โ ๐ โ
(โคโฅโ๐))) |
223 | 222 | biimpa 296 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ(0 +
๐))) โ ๐ โ
(โคโฅโ๐)) |
224 | 223, 42 | syldan 282 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ(0 +
๐))) โ (๐บโ๐) โ โ) |
225 | 52, 218, 219, 21, 53, 224 | isumshft 11497 |
. . . 4
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (โคโฅโ(0 +
๐))(๐บโ๐) = ฮฃ๐ โ โ0 (๐บโ(๐ + ๐))) |
226 | 221 | sumeq1d 11373 |
. . . 4
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (โคโฅโ(0 +
๐))(๐บโ๐) = ฮฃ๐ โ (โคโฅโ๐)(๐บโ๐)) |
227 | 225, 226 | eqtr3d 2212 |
. . 3
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ โ0 (๐บโ(๐ + ๐)) = ฮฃ๐ โ (โคโฅโ๐)(๐บโ๐)) |
228 | 77 | recnd 7985 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ
((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((1 / (๐ + 1))โ๐)) โ โ) |
229 | 52, 53, 82, 228, 214 | isumclim 11428 |
. . 3
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ โ0
((((absโ๐ด)โ๐) / (!โ๐)) ยท ((1 / (๐ + 1))โ๐)) = (((absโ๐ด)โ๐) ยท ((๐ + 1) / ((!โ๐) ยท ๐)))) |
230 | 217, 227,
229 | 3brtr3d 4034 |
. 2
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (โคโฅโ๐)(๐บโ๐) โค (((absโ๐ด)โ๐) ยท ((๐ + 1) / ((!โ๐) ยท ๐)))) |
231 | 7, 11, 19, 51, 230 | letrd 8080 |
1
โข (๐ โ (absโฮฃ๐ โ
(โคโฅโ๐)(๐นโ๐)) โค (((absโ๐ด)โ๐) ยท ((๐ + 1) / ((!โ๐) ยท ๐)))) |