ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eftlub GIF version

Theorem eftlub 11697
Description: An upper bound on the absolute value of the infinite tail of the series expansion of the exponential function on the closed unit disk. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eftl.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
eftl.2 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
eftl.3 ๐ป = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘›)))
eftl.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
eftl.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
eftl.6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) โ‰ค 1)
Assertion
Ref Expression
eftlub (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1) / ((!โ€˜๐‘€) ยท ๐‘€))))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘›,๐ด   ๐‘˜,๐น   ๐‘˜,๐บ   ๐‘˜,๐‘€,๐‘›   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘›)   ๐น(๐‘›)   ๐บ(๐‘›)   ๐ป(๐‘˜,๐‘›)

Proof of Theorem eftlub
Dummy variables ๐‘— ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eftl.5 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 eftl.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
32nnnn0d 9228 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
4 eftl.1 . . . . 5 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
54eftlcl 11695 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
61, 3, 5syl2anc 411 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
76abscld 11189 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
81abscld 11189 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
9 eftl.2 . . . 4 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
109reeftlcl 11696 . . 3 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)(๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
118, 3, 10syl2anc 411 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)(๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
128, 3reexpcld 10670 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
13 peano2nn0 9215 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„•0)
143, 13syl 14 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„•0)
1514nn0red 9229 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„)
163faccld 10715 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•)
1716, 2nnmulcld 8967 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท ๐‘€) โˆˆ โ„•)
1815, 17nndivred 8968 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1) / ((!โ€˜๐‘€) ยท ๐‘€)) โˆˆ โ„)
1912, 18remulcld 7987 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1) / ((!โ€˜๐‘€) ยท ๐‘€))) โˆˆ โ„)
20 eqid 2177 . . 3 (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
212nnzd 9373 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
22 eqidd 2178 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐นโ€˜๐‘˜))
23 eluznn0 9598 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
243, 23sylan 283 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
254eftvalcn 11664 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
261, 25sylan 283 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
27 eftcl 11661 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
281, 27sylan 283 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
2926, 28eqeltrd 2254 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3024, 29syldan 282 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
314eftlcvg 11694 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
321, 3, 31syl2anc 411 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
3320, 21, 22, 30, 32isumclim2 11429 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โ‡ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)(๐นโ€˜๐‘˜))
34 eqidd 2178 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (๐บโ€˜๐‘˜))
358recnd 7985 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
369eftvalcn 11664 . . . . . . . 8 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
3735, 36sylan 283 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
38 reeftcl 11662 . . . . . . . 8 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
398, 38sylan 283 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
4037, 39eqeltrd 2254 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
4124, 40syldan 282 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
4241recnd 7985 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
439eftlcvg 11694 . . . . 5 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ seq๐‘€( + , ๐บ) โˆˆ dom โ‡ )
4435, 3, 43syl2anc 411 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐บ) โˆˆ dom โ‡ )
4520, 21, 34, 42, 44isumclim2 11429 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐บ) โ‡ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)(๐บโ€˜๐‘˜))
46 eftabs 11663 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
471, 46sylan 283 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
4826fveq2d 5519 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) = (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))
4947, 48, 373eqtr4rd 2221 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))
5024, 49syldan 282 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))
5120, 33, 45, 21, 30, 50iserabs 11482 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)(๐บโ€˜๐‘˜))
52 nn0uz 9561 . . . 4 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
53 0zd 9264 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
542nncnd 8932 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
55 nn0cn 9185 . . . . 5 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
56 nn0ex 9181 . . . . . . . 8 โ„•0 โˆˆ V
5756mptex 5742 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›))) โˆˆ V
589, 57eqeltri 2250 . . . . . 6 ๐บ โˆˆ V
5958shftval4 10836 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐บ shift -๐‘€)โ€˜๐‘—) = (๐บโ€˜(๐‘€ + ๐‘—)))
6054, 55, 59syl2an 289 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐บ shift -๐‘€)โ€˜๐‘—) = (๐บโ€˜(๐‘€ + ๐‘—)))
6135adantr 276 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
62 nn0addcl 9210 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘—) โˆˆ โ„•0)
633, 62sylan 283 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘—) โˆˆ โ„•0)
649eftvalcn 11664 . . . . . 6 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€ + ๐‘—) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บโ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘€ + ๐‘—)) / (!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—))))
6561, 63, 64syl2anc 411 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บโ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘€ + ๐‘—)) / (!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—))))
668adantr 276 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
67 reeftcl 11662 . . . . . 6 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘€ + ๐‘—) โˆˆ โ„•0) โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘€ + ๐‘—)) / (!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—))) โˆˆ โ„)
6866, 63, 67syl2anc 411 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘€ + ๐‘—)) / (!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—))) โˆˆ โ„)
6965, 68eqeltrd 2254 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บโ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) โˆˆ โ„)
70 simpr 110 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
7112, 16nndivred 8968 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) โˆˆ โ„)
7271adantr 276 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) โˆˆ โ„)
732peano2nnd 8933 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„•)
7473nnrecred 8965 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 / (๐‘€ + 1)) โˆˆ โ„)
75 reexpcl 10536 . . . . . . 7 (((1 / (๐‘€ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„)
7674, 75sylan 283 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„)
7772, 76remulcld 7987 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—)) โˆˆ โ„)
78 oveq2 5882 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘— โ†’ ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘›) = ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—))
7978oveq2d 5890 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘— โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘›)) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—)))
80 eftl.3 . . . . . 6 ๐ป = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘›)))
8179, 80fvmptg 5592 . . . . 5 ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โˆง ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—)) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—)))
8270, 77, 81syl2anc 411 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—)))
8366, 63reexpcld 10670 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘€ + ๐‘—)) โˆˆ โ„)
8412adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
8563faccld 10715 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) โˆˆ โ„•)
8685nnred 8931 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) โˆˆ โ„)
8786, 77remulcld 7987 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) ยท ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—))) โˆˆ โ„)
883adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
89 uzid 9541 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
9021, 89syl 14 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
91 uzaddcl 9585 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘—) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
9290, 91sylan 283 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘—) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
931absge0d 11192 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด))
9493adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด))
95 eftl.6 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) โ‰ค 1)
9695adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โ‰ค 1)
9766, 88, 92, 94, 96leexp2rd 10683 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘€ + ๐‘—)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€))
9816adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•)
99 nnexpcl 10532 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„•)
10073, 99sylan 283 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„•)
10198, 100nnmulcld 8967 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—)) โˆˆ โ„•)
102101nnred 8931 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—)) โˆˆ โ„)
1038, 3, 93expge0d 10671 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€))
10412, 103jca 306 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€)))
105104adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€)))
106 faclbnd6 10723 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—)))
1073, 106sylan 283 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—)))
108 lemul1a 8814 . . . . . . . . . 10 (((((!โ€˜๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—)) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) โˆˆ โ„ โˆง (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€))) โˆง ((!โ€˜๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—))) โ†’ (((!โ€˜๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—)) ยท ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€)) โ‰ค ((!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) ยท ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€)))
109102, 86, 105, 107, 108syl31anc 1241 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—)) ยท ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€)) โ‰ค ((!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) ยท ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€)))
11086, 84remulcld 7987 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) ยท ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€)) โˆˆ โ„)
111101nnrpd 9693 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—)) โˆˆ โ„+)
11284, 110, 111lemuldiv2d 9746 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((((!โ€˜๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—)) ยท ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€)) โ‰ค ((!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) ยท ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€)) โ†” ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) โ‰ค (((!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) ยท ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€)) / ((!โ€˜๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—)))))
113109, 112mpbid 147 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) โ‰ค (((!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) ยท ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€)) / ((!โ€˜๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—))))
11485nncnd 8932 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
11512recnd 7985 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
116115adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
117101nncnd 8932 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
118101nnap0d 8964 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—)) # 0)
119114, 116, 117, 118divassapd 8782 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) ยท ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€)) / ((!โ€˜๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—))) = ((!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) ยท (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / ((!โ€˜๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—)))))
12073nncnd 8932 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„‚)
121120adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„‚)
12273adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„•)
123122nnap0d 8964 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + 1) # 0)
124 nn0z 9272 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
125124adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
126121, 123, 125exprecapd 10661 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—) = (1 / ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—)))
127126oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—)) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท (1 / ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—))))
12871recnd 7985 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
129128adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
130100nncnd 8932 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
131100nnap0d 8964 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—) # 0)
132129, 130, 131divrecapd 8749 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) / ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—)) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท (1 / ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—))))
13316nncnd 8932 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„‚)
134133adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„‚)
13598nnap0d 8964 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘€) # 0)
136116, 134, 130, 135, 131divdivap1d 8778 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) / ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—)) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / ((!โ€˜๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—))))
137127, 132, 1363eqtr2rd 2217 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / ((!โ€˜๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—)))
138137oveq2d 5890 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) ยท (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / ((!โ€˜๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—)))) = ((!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) ยท ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—))))
139119, 138eqtrd 2210 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) ยท ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€)) / ((!โ€˜๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1)โ†‘๐‘—))) = ((!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) ยท ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—))))
140113, 139breqtrd 4029 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) โ‰ค ((!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) ยท ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—))))
14183, 84, 87, 97, 140letrd 8080 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘€ + ๐‘—)) โ‰ค ((!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) ยท ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—))))
14285nngt0d 8962 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 < (!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—)))
143 ledivmul 8833 . . . . . . 7 ((((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘€ + ๐‘—)) โˆˆ โ„ โˆง ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—)) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—)))) โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘€ + ๐‘—)) / (!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—))) โ‰ค ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—)) โ†” ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘€ + ๐‘—)) โ‰ค ((!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) ยท ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—)))))
14483, 77, 86, 142, 143syl112anc 1242 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘€ + ๐‘—)) / (!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—))) โ‰ค ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—)) โ†” ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘€ + ๐‘—)) โ‰ค ((!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) ยท ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—)))))
145141, 144mpbird 167 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘€ + ๐‘—)) / (!โ€˜(๐‘€ + ๐‘—))) โ‰ค ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—)))
14665, 145eqbrtrd 4025 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บโ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) โ‰ค ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—)))
14758a1i 9 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ V)
14821znegcld 9376 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„ค)
149 0cn 7948 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„‚
150 subneg 8205 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 โˆ’ -๐‘€) = (0 + ๐‘€))
151149, 150mpan 424 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 โˆ’ -๐‘€) = (0 + ๐‘€))
152 addlid 8095 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + ๐‘€) = ๐‘€)
153151, 152eqtrd 2210 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 โˆ’ -๐‘€) = ๐‘€)
15454, 153syl 14 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (0 โˆ’ -๐‘€) = ๐‘€)
155154fveq2d 5519 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜(0 โˆ’ -๐‘€)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
156155eleq2d 2247 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(0 โˆ’ -๐‘€)) โ†” ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)))
157156pm5.32i 454 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(0 โˆ’ -๐‘€))) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)))
158157, 41sylbi 121 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(0 โˆ’ -๐‘€))) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
159 readdcl 7936 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘˜ + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
160159adantl 277 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘˜ + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
161147, 53, 148, 158, 160seq3shft 10846 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , (๐บ shift -๐‘€)) = (seq(0 โˆ’ -๐‘€)( + , ๐บ) shift -๐‘€))
162 seqex 10446 . . . . . . 7 seq(0 โˆ’ -๐‘€)( + , ๐บ) โˆˆ V
16354negcld 8254 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„‚)
164 ovshftex 10827 . . . . . . 7 ((seq(0 โˆ’ -๐‘€)( + , ๐บ) โˆˆ V โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (seq(0 โˆ’ -๐‘€)( + , ๐บ) shift -๐‘€) โˆˆ V)
165162, 163, 164sylancr 414 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (seq(0 โˆ’ -๐‘€)( + , ๐บ) shift -๐‘€) โˆˆ V)
16620, 21, 34, 41, 44isumrecl 11436 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)(๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
167154seqeq1d 10450 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ seq(0 โˆ’ -๐‘€)( + , ๐บ) = seq๐‘€( + , ๐บ))
168167, 45eqbrtrd 4025 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ seq(0 โˆ’ -๐‘€)( + , ๐บ) โ‡ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)(๐บโ€˜๐‘˜))
169 climshft 11311 . . . . . . . 8 ((-๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง seq(0 โˆ’ -๐‘€)( + , ๐บ) โˆˆ V) โ†’ ((seq(0 โˆ’ -๐‘€)( + , ๐บ) shift -๐‘€) โ‡ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)(๐บโ€˜๐‘˜) โ†” seq(0 โˆ’ -๐‘€)( + , ๐บ) โ‡ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)(๐บโ€˜๐‘˜)))
170148, 162, 169sylancl 413 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((seq(0 โˆ’ -๐‘€)( + , ๐บ) shift -๐‘€) โ‡ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)(๐บโ€˜๐‘˜) โ†” seq(0 โˆ’ -๐‘€)( + , ๐บ) โ‡ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)(๐บโ€˜๐‘˜)))
171168, 170mpbird 167 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (seq(0 โˆ’ -๐‘€)( + , ๐บ) shift -๐‘€) โ‡ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)(๐บโ€˜๐‘˜))
172 breldmg 4833 . . . . . 6 (((seq(0 โˆ’ -๐‘€)( + , ๐บ) shift -๐‘€) โˆˆ V โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)(๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง (seq(0 โˆ’ -๐‘€)( + , ๐บ) shift -๐‘€) โ‡ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)(๐บโ€˜๐‘˜)) โ†’ (seq(0 โˆ’ -๐‘€)( + , ๐บ) shift -๐‘€) โˆˆ dom โ‡ )
173165, 166, 171, 172syl3anc 1238 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (seq(0 โˆ’ -๐‘€)( + , ๐บ) shift -๐‘€) โˆˆ dom โ‡ )
174161, 173eqeltrd 2254 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , (๐บ shift -๐‘€)) โˆˆ dom โ‡ )
175 seqex 10446 . . . . . 6 seq0( + , ๐ป) โˆˆ V
176175a1i 9 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐ป) โˆˆ V)
1772nnge1d 8961 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐‘€)
178 1nn 8929 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„•
179 nnleltp1 9311 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘€ โ†” 1 < (๐‘€ + 1)))
180178, 2, 179sylancr 414 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 โ‰ค ๐‘€ โ†” 1 < (๐‘€ + 1)))
181177, 180mpbid 147 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 < (๐‘€ + 1))
18214nn0ge0d 9231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘€ + 1))
18315, 182absidd 11175 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘€ + 1)) = (๐‘€ + 1))
184181, 183breqtrrd 4031 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 < (absโ€˜(๐‘€ + 1)))
18574adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 / (๐‘€ + 1)) โˆˆ โ„)
186185, 70reexpcld 10670 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„)
187 eqid 2177 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘›))
18878, 187fvmptg 5592 . . . . . . . . 9 ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โˆง ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘—) = ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—))
18970, 186, 188syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘—) = ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—))
190120, 184, 189georeclim 11520 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘›))) โ‡ ((๐‘€ + 1) / ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)))
19176recnd 7985 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
192189, 191eqeltrd 2254 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
193189oveq2d 5890 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘—)) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—)))
19482, 193eqtr4d 2213 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘—)))
19552, 53, 128, 190, 192, 194isermulc2 11347 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐ป) โ‡ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((๐‘€ + 1) / ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1))))
196 ax-1cn 7903 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„‚
197 pncan 8162 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘€)
19854, 196, 197sylancl 413 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘€)
199198oveq2d 5890 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1) / ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) = ((๐‘€ + 1) / ๐‘€))
200199oveq2d 5890 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((๐‘€ + 1) / ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((๐‘€ + 1) / ๐‘€)))
20115, 2nndivred 8968 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1) / ๐‘€) โˆˆ โ„)
202201recnd 7985 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1) / ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
20316nnap0d 8964 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐‘€) # 0)
204115, 202, 133, 203div23apd 8784 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1) / ๐‘€)) / (!โ€˜๐‘€)) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((๐‘€ + 1) / ๐‘€)))
205200, 204eqtr4d 2213 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((๐‘€ + 1) / ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1) / ๐‘€)) / (!โ€˜๐‘€)))
206115, 202, 133, 203divassapd 8782 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1) / ๐‘€)) / (!โ€˜๐‘€)) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) ยท (((๐‘€ + 1) / ๐‘€) / (!โ€˜๐‘€))))
2072nnap0d 8964 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ # 0)
208120, 54, 133, 207, 203divdivap1d 8778 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + 1) / ๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) = ((๐‘€ + 1) / (๐‘€ ยท (!โ€˜๐‘€))))
20954, 133mulcomd 7978 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท (!โ€˜๐‘€)) = ((!โ€˜๐‘€) ยท ๐‘€))
210209oveq2d 5890 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1) / (๐‘€ ยท (!โ€˜๐‘€))) = ((๐‘€ + 1) / ((!โ€˜๐‘€) ยท ๐‘€)))
211208, 210eqtrd 2210 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + 1) / ๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) = ((๐‘€ + 1) / ((!โ€˜๐‘€) ยท ๐‘€)))
212211oveq2d 5890 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) ยท (((๐‘€ + 1) / ๐‘€) / (!โ€˜๐‘€))) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1) / ((!โ€˜๐‘€) ยท ๐‘€))))
213205, 206, 2123eqtrd 2214 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((๐‘€ + 1) / ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1))) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1) / ((!โ€˜๐‘€) ยท ๐‘€))))
214195, 213breqtrd 4029 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐ป) โ‡ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1) / ((!โ€˜๐‘€) ยท ๐‘€))))
215 breldmg 4833 . . . . 5 ((seq0( + , ๐ป) โˆˆ V โˆง (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1) / ((!โ€˜๐‘€) ยท ๐‘€))) โˆˆ โ„ โˆง seq0( + , ๐ป) โ‡ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1) / ((!โ€˜๐‘€) ยท ๐‘€)))) โ†’ seq0( + , ๐ป) โˆˆ dom โ‡ )
216176, 19, 214, 215syl3anc 1238 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐ป) โˆˆ dom โ‡ )
21752, 53, 60, 69, 82, 77, 146, 174, 216isumle 11502 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ โ„•0 (๐บโ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) โ‰ค ฮฃ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—)))
218 eqid 2177 . . . . 5 (โ„คโ‰ฅโ€˜(0 + ๐‘€)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(0 + ๐‘€))
219 fveq2 5515 . . . . 5 (๐‘˜ = (๐‘€ + ๐‘—) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (๐บโ€˜(๐‘€ + ๐‘—)))
22054addid2d 8106 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (0 + ๐‘€) = ๐‘€)
221220fveq2d 5519 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜(0 + ๐‘€)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
222221eleq2d 2247 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(0 + ๐‘€)) โ†” ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)))
223222biimpa 296 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(0 + ๐‘€))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
224223, 42syldan 282 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(0 + ๐‘€))) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
22552, 218, 219, 21, 53, 224isumshft 11497 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(0 + ๐‘€))(๐บโ€˜๐‘˜) = ฮฃ๐‘— โˆˆ โ„•0 (๐บโ€˜(๐‘€ + ๐‘—)))
226221sumeq1d 11373 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(0 + ๐‘€))(๐บโ€˜๐‘˜) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)(๐บโ€˜๐‘˜))
227225, 226eqtr3d 2212 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ โ„•0 (๐บโ€˜(๐‘€ + ๐‘—)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)(๐บโ€˜๐‘˜))
22877recnd 7985 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
22952, 53, 82, 228, 214isumclim 11428 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) / (!โ€˜๐‘€)) ยท ((1 / (๐‘€ + 1))โ†‘๐‘—)) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1) / ((!โ€˜๐‘€) ยท ๐‘€))))
230217, 227, 2293brtr3d 4034 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)(๐บโ€˜๐‘˜) โ‰ค (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1) / ((!โ€˜๐‘€) ยท ๐‘€))))
2317, 11, 19, 51, 230letrd 8080 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘€) ยท ((๐‘€ + 1) / ((!โ€˜๐‘€) ยท ๐‘€))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  Vcvv 2737   class class class wbr 4003   โ†ฆ cmpt 4064  dom cdm 4626  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  โ„‚cc 7808  โ„cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   ยท cmul 7815   < clt 7991   โ‰ค cle 7992   โˆ’ cmin 8127  -cneg 8128   / cdiv 8628  โ„•cn 8918  โ„•0cn0 9175  โ„คcz 9252  โ„คโ‰ฅcuz 9527  seqcseq 10444  โ†‘cexp 10518  !cfa 10704   shift cshi 10822  abscabs 11005   โ‡ cli 11285  ฮฃcsu 11360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-ico 9893  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-fac 10705  df-ihash 10755  df-shft 10823  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-sumdc 11361
This theorem is referenced by:  ef01bndlem  11763  eirraplem  11783  dveflem  14157
  Copyright terms: Public domain W3C validator