Theorem eftlub 12435

Description: An upper bound on the absolute value of the infinite tail of the series expansion of the exponential function on the closed unit disk. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eftl.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
eftl.2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
eftl.3	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)))
eftl.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
eftl.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
eftl.6	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 1)

Assertion

Ref	Expression
eftlub	⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀,𝑛   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem eftlub

Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eftl.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		eftl.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3	2	nnnn0d 9599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		eftl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
5	4	eftlcl 12433	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
6	1, 3, 5	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
7	6	abscld 11925	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
8	1	abscld 11925	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9		eftl.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
10	9	reeftlcl 12434	. . 3 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
11	8, 3, 10	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
12	8, 3	reexpcld 11106	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ)
13		peano2nn0 9582	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
14	3, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
15	14	nn0red 9600	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
16	3	faccld 11152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
17	16, 2	nnmulcld 9332	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑀) · 𝑀) ∈ ℕ)
18	15, 17	nndivred 9333	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)) ∈ ℝ)
19	12, 18	remulcld 8346	. 2 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) ∈ ℝ)
20		eqid 2238	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
21	2	nnzd 9746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
22		eqidd 2239	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
23		eluznn0 9978	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24	3, 23	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
25	4	eftvalcn 12402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
26	1, 25	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
27		eftcl 12399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
28	1, 27	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
29	26, 28	eqeltrd 2315	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30	24, 29	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
31	4	eftlcvg 12432	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
32	1, 3, 31	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
33	20, 21, 22, 30, 32	isumclim2 12167	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘))
34		eqidd 2239	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
35	8	recnd 8344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
36	9	eftvalcn 12402	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
37	35, 36	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
38		reeftcl 12400	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
39	8, 38	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
40	37, 39	eqeltrd 2315	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
41	24, 40	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
42	41	recnd 8344	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
43	9	eftlcvg 12432	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
44	35, 3, 43	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
45	20, 21, 34, 42, 44	isumclim2 12167	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))
46		eftabs 12401	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
47	1, 46	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
48	26	fveq2d 5694	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))))
49	47, 48, 37	3eqtr4rd 2282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
50	24, 49	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
51	20, 33, 45, 21, 30, 50	iserabs 12220	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))
52		nn0uz 9936	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
53		0zd 9635	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
54	2	nncnd 9297	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
55		nn0cn 9552	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℂ)
56		nn0ex 9548	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
57	56	mptex 5934	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V
58	9, 57	eqeltri 2311	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 ∈ V
59	58	shftval4 11571	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → ((𝐺 shift -𝑀)‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
60	54, 55, 59	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺 shift -𝑀)‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
61	35	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
62		nn0addcl 9577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0)
63	3, 62	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0)
64	9	eftvalcn 12402	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))))
65	61, 63, 64	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))))
66	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
67		reeftcl 12400	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ∈ ℝ)
68	66, 63, 67	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ∈ ℝ)
69	65, 68	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ)
70		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
71	12, 16	nndivred 9333	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℝ)
72	71	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℝ)
73	2	peano2nnd 9298	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
74	73	nnrecred 9330	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
75		reexpcl 10971	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ)
76	74, 75	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ)
77	72, 76	remulcld 8346	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ)
78		oveq2 6083	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))
79	78	oveq2d 6091	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
80		eftl.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)))
81	79, 80	fvmptg 5775	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
82	70, 77, 81	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
83	66, 63	reexpcld 11106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ)
84	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ)
85	63	faccld 11152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℕ)
86	85	nnred 9296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ)
87	86, 77	remulcld 8346	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))) ∈ ℝ)
88	3	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
89		uzid 9915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
90	21, 89	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
91		uzaddcl 9965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
92	90, 91	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
93	1	absge0d 11928	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
94	93	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
95		eftl.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 1)
96	95	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ≤ 1)
97	66, 88, 92, 94, 96	leexp2rd 11119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀))
98	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
99		nnexpcl 10967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℕ)
100	73, 99	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℕ)
101	98, 100	nnmulcld 9332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℕ)
102	101	nnred 9296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℝ)
103	8, 3, 93	expge0d 11107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀))
104	12, 103	jca 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
105	104	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
106		faclbnd6 11160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗)))
107	3, 106	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗)))
108		lemul1a 9178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀))) ∧ ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗))) → (((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
109	102, 86, 105, 107, 108	syl31anc 1281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
110	86, 84	remulcld 8346	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ∈ ℝ)
111	101	nnrpd 10074	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℝ+)
112	84, 110, 111	lemuldiv2d 10127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ↔ ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))))
113	109, 112	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
114	85	nncnd 9297	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℂ)
115	12	recnd 8344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℂ)
116	115	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℂ)
117	101	nncnd 9297	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℂ)
118	101	nnap0d 9329	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) # 0)
119	114, 116, 117, 118	divassapd 9146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))))
120	73	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
122	73	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
123	122	nnap0d 9329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) # 0)
124		nn0z 9643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℤ)
125	124	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℤ)
126	121, 123, 125	exprecapd 11097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) = (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗)))
127	126	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
128	71	recnd 8344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
129	128	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
130	100	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℂ)
131	100	nnap0d 9329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) # 0)
132	129, 130, 131	divrecapd 9113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) / ((𝑀 + 1)↑𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
133	16	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
134	133	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
135	98	nnap0d 9329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) # 0)
136	116, 134, 130, 135, 131	divdivap1d 9142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) / ((𝑀 + 1)↑𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
137	127, 132, 136	3eqtr2rd 2278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
138	137	oveq2d 6091	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
139	119, 138	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
140	113, 139	breqtrd 4151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
141	83, 84, 87, 97, 140	letrd 8440	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
142	85	nngt0d 9327	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘(𝑀 + 𝑗)))
143		ledivmul 9197	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘(𝑀 + 𝑗)))) → ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ↔ ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))))
144	83, 77, 86, 142, 143	syl112anc 1282	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ↔ ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))))
145	141, 144	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
146	65, 145	eqbrtrd 4147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
147	58	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
148	21	znegcld 9749	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝑀 ∈ ℤ)
149		0cn 8308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
150		subneg 8565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (0 − -𝑀) = (0 + 𝑀))
151	149, 150	mpan 428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (0 − -𝑀) = (0 + 𝑀))
152		addlid 8455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (0 + 𝑀) = 𝑀)
153	151, 152	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (0 − -𝑀) = 𝑀)
154	54, 153	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 − -𝑀) = 𝑀)
155	154	fveq2d 5694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(0 − -𝑀)) = (ℤ≥‘𝑀))
156	155	eleq2d 2308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 − -𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
157	156	pm5.32i 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 − -𝑀))) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
158	157, 41	sylbi 121	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 − -𝑀))) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
159		readdcl 8295	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
160	159	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
161	147, 53, 148, 158, 160	seq3shft 11581	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺 shift -𝑀)) = (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀))
162		seqex 10864	. . . . . . 7 ⊢ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V
163	54	negcld 8614	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝑀 ∈ ℂ)
164		ovshftex 11562	. . . . . . 7 ⊢ ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V ∧ -𝑀 ∈ ℂ) → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ V)
165	162, 163, 164	sylancr 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ V)
166	20, 21, 34, 41, 44	isumrecl 12174	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
167	154	seqeq1d 10868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) = seq𝑀( + , 𝐺))
168	167, 45	eqbrtrd 4147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))
169		climshft 12048	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝑀 ∈ ℤ ∧ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V) → ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ↔ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘)))
170	148, 162, 169	sylancl 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ↔ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘)))
171	168, 170	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))
172		breldmg 4982	. . . . . 6 ⊢ (((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ V ∧ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘)) → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ dom ⇝ )
173	165, 166, 171, 172	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ dom ⇝ )
174	161, 173	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺 shift -𝑀)) ∈ dom ⇝ )
175		seqex 10864	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , 𝐻) ∈ V
176	175	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ V)
177	2	nnge1d 9326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
178		1nn 9294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ
179		nnleltp1 9683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
180	178, 2, 179	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
181	177, 180	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑀 + 1))
182	14	nn0ge0d 9602	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 + 1))
183	15, 182	absidd 11911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑀 + 1)) = (𝑀 + 1))
184	181, 183	breqtrrd 4153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 < (abs‘(𝑀 + 1)))
185	74	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
186	185, 70	reexpcld 11106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ)
187		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))
188	78, 187	fvmptg 5775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))
189	70, 186, 188	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))
190	120, 184, 189	georeclim 12258	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))) ⇝ ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1)))
191	76	recnd 8344	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℂ)
192	189, 191	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
193	189	oveq2d 6091	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
194	82, 193	eqtr4d 2274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗)))
195	52, 53, 128, 190, 192, 194	isermulc2 12084	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))))
196		ax-1cn 8262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
197		pncan 8522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
198	54, 196, 197	sylancl 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
199	198	oveq2d 6091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1)) = ((𝑀 + 1) / 𝑀))
200	199	oveq2d 6091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)))
201	15, 2	nndivred 9333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / 𝑀) ∈ ℝ)
202	201	recnd 8344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / 𝑀) ∈ ℂ)
203	16	nnap0d 9329	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) # 0)
204	115, 202, 133, 203	div23apd 9148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)))
205	200, 204	eqtr4d 2274	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)))
206	115, 202, 133, 203	divassapd 9146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀))))
207	2	nnap0d 9329	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 # 0)
208	120, 54, 133, 207, 203	divdivap1d 9142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀)) = ((𝑀 + 1) / (𝑀 · (!‘𝑀))))
209	54, 133	mulcomd 8337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (!‘𝑀)) = ((!‘𝑀) · 𝑀))
210	209	oveq2d 6091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / (𝑀 · (!‘𝑀))) = ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))
211	208, 210	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀)) = ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))
212	211	oveq2d 6091	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) · (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀))) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
213	205, 206, 212	3eqtrd 2275	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
214	195, 213	breqtrd 4151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
215		breldmg 4982	. . . . 5 ⊢ ((seq0( + , 𝐻) ∈ V ∧ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) ∈ ℝ ∧ seq0( + , 𝐻) ⇝ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))) → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
216	176, 19, 214, 215	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
217	52, 53, 60, 69, 82, 77, 146, 174, 216	isumle 12240	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
218		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 𝑀)) = (ℤ≥‘(0 + 𝑀))
219		fveq2 5690	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑀 + 𝑗) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
220	54	addlidd 8466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝑀) = 𝑀)
221	220	fveq2d 5694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(0 + 𝑀)) = (ℤ≥‘𝑀))
222	221	eleq2d 2308	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
223	222	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝑀))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
224	223, 42	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝑀))) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
225	52, 218, 219, 21, 53, 224	isumshft 12235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝑀))(𝐺‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
226	221	sumeq1d 12110	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝑀))(𝐺‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))
227	225, 226	eqtr3d 2273	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))
228	77	recnd 8344	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℂ)
229	52, 53, 82, 228, 214	isumclim 12166	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
230	217, 227, 229	3brtr3d 4156	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
231	7, 11, 19, 51, 230	letrd 8440	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   class class class wbr 4125   ↦ cmpt 4187  dom cdm 4769  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  ℝcr 8168  0cc0 8169  1c1 8170   + caddc 8172   · cmul 8174   < clt 8350   ≤ cle 8351   − cmin 8487  -cneg 8488   / cdiv 8992  ℕcn 9283  ℕ₀cn0 9542  ℤcz 9623  ℤ_≥cuz 9900  seqcseq 10862  ↑cexp 10953  !cfa 11141   shift cshi 11557  abscabs 11741   ⇝ cli 12022  Σcsu 12097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-ico 10275  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-fac 11142  df-ihash 11193  df-shft 11558  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098

This theorem is referenced by:  ef01bndlem  12501  eirraplem  12522  dveflem  15750