Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eftlub GIF version

Theorem eftlub 11043
 Description: An upper bound on the absolute value of the infinite tail of the series expansion of the exponential function on the closed unit disk. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eftl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
eftl.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
eftl.3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)))
eftl.4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
eftl.5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
eftl.6 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 1)
Assertion
Ref Expression
eftlub (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀,𝑛   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem eftlub
Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eftl.5 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 eftl.4 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32nnnn0d 8789 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4 eftl.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
54eftlcl 11041 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
61, 3, 5syl2anc 404 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
76abscld 10677 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
81abscld 10677 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9 eftl.2 . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
109reeftlcl 11042 . . 3 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ∈ ℝ)
118, 3, 10syl2anc 404 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ∈ ℝ)
128, 3reexpcld 10166 . . 3 (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ)
13 peano2nn0 8776 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
143, 13syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
1514nn0red 8790 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
163faccld 10207 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
1716, 2nnmulcld 8534 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑀) · 𝑀) ∈ ℕ)
1815, 17nndivred 8535 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)) ∈ ℝ)
1912, 18remulcld 7581 . 2 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) ∈ ℝ)
20 eqid 2089 . . 3 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
212nnzd 8930 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
22 eqidd 2090 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
23 eluznn0 9149 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
243, 23sylan 278 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
254eftvalcn 11010 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
261, 25sylan 278 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
27 eftcl 11007 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
281, 27sylan 278 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
2926, 28eqeltrd 2165 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3024, 29syldan 277 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
314eftlcvg 11040 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
321, 3, 31syl2anc 404 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3320, 21, 22, 30, 32isumclim2 10879 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘))
34 eqidd 2090 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
358recnd 7579 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
369eftvalcn 11010 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
3735, 36sylan 278 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
38 reeftcl 11008 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
398, 38sylan 278 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
4037, 39eqeltrd 2165 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
4124, 40syldan 277 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
4241recnd 7579 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
439eftlcvg 11040 . . . . 5 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
4435, 3, 43syl2anc 404 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
4520, 21, 34, 42, 44isumclim2 10879 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
46 eftabs 11009 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
471, 46sylan 278 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4826fveq2d 5324 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))))
4947, 48, 373eqtr4rd 2132 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
5024, 49syldan 277 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
5120, 33, 45, 21, 30, 50iserabs 10932 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
52 nn0uz 9116 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
53 0zd 8825 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
542nncnd 8499 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
55 nn0cn 8746 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℂ)
56 nn0ex 8742 . . . . . . . 8 0 ∈ V
5756mptex 5539 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V
589, 57eqeltri 2161 . . . . . 6 𝐺 ∈ V
5958shftval4 10325 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → ((𝐺 shift -𝑀)‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
6054, 55, 59syl2an 284 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺 shift -𝑀)‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
6135adantr 271 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
62 nn0addcl 8771 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0)
633, 62sylan 278 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0)
649eftvalcn 11010 . . . . . 6 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))))
6561, 63, 64syl2anc 404 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))))
668adantr 271 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
67 reeftcl 11008 . . . . . 6 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ∈ ℝ)
6866, 63, 67syl2anc 404 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ∈ ℝ)
6965, 68eqeltrd 2165 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ)
70 simpr 109 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
7112, 16nndivred 8535 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℝ)
7271adantr 271 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℝ)
732peano2nnd 8500 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
7473nnrecred 8532 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
75 reexpcl 10035 . . . . . . 7 (((1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ)
7674, 75sylan 278 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ)
7772, 76remulcld 7581 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ)
78 oveq2 5676 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗 → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))
7978oveq2d 5684 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
80 eftl.3 . . . . . 6 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)))
8179, 80fvmptg 5395 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
8270, 77, 81syl2anc 404 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
8366, 63reexpcld 10166 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ)
8412adantr 271 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ)
8563faccld 10207 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℕ)
8685nnred 8498 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ)
8786, 77remulcld 7581 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))) ∈ ℝ)
883adantr 271 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
89 uzid 9096 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
9021, 89syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
91 uzaddcl 9137 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀))
9290, 91sylan 278 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀))
931absge0d 10680 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
9493adantr 271 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
95 eftl.6 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 1)
9695adantr 271 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ≤ 1)
9766, 88, 92, 94, 96leexp2rd 10179 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀))
9816adantr 271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
99 nnexpcl 10031 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℕ)
10073, 99sylan 278 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℕ)
10198, 100nnmulcld 8534 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℕ)
102101nnred 8498 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℝ)
1038, 3, 93expge0d 10167 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀))
10412, 103jca 301 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
105104adantr 271 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
106 faclbnd6 10215 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗)))
1073, 106sylan 278 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗)))
108 lemul1a 8382 . . . . . . . . . 10 (((((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀))) ∧ ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗))) → (((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
109102, 86, 105, 107, 108syl31anc 1178 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
11086, 84remulcld 7581 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ∈ ℝ)
111101nnrpd 9235 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℝ+)
11284, 110, 111lemuldiv2d 9287 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ↔ ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))))
113109, 112mpbid 146 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
11485nncnd 8499 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℂ)
11512recnd 7579 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℂ)
116115adantr 271 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℂ)
117101nncnd 8499 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℂ)
118101nnap0d 8531 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) # 0)
119114, 116, 117, 118divassapd 8356 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))))
12073nncnd 8499 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
121120adantr 271 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
12273adantr 271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
123122nnap0d 8531 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) # 0)
124 nn0z 8833 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ)
125124adantl 272 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℤ)
126121, 123, 125exprecapd 10157 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) = (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗)))
127126oveq2d 5684 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
12871recnd 7579 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
129128adantr 271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
130100nncnd 8499 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℂ)
131100nnap0d 8531 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) # 0)
132129, 130, 131divrecapd 8323 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) / ((𝑀 + 1)↑𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
13316nncnd 8499 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
134133adantr 271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
13598nnap0d 8531 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) # 0)
136116, 134, 130, 135, 131divdivap1d 8352 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) / ((𝑀 + 1)↑𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
137127, 132, 1363eqtr2rd 2128 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
138137oveq2d 5684 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
139119, 138eqtrd 2121 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
140113, 139breqtrd 3877 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
14183, 84, 87, 97, 140letrd 7670 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
14285nngt0d 8529 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘(𝑀 + 𝑗)))
143 ledivmul 8401 . . . . . . 7 ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘(𝑀 + 𝑗)))) → ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ↔ ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))))
14483, 77, 86, 142, 143syl112anc 1179 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ↔ ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))))
145141, 144mpbird 166 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
14665, 145eqbrtrd 3873 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
14758a1i 9 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ V)
14821znegcld 8933 . . . . . 6 (𝜑 → -𝑀 ∈ ℤ)
149 0cn 7543 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℂ
150 subneg 7794 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (0 − -𝑀) = (0 + 𝑀))
151149, 150mpan 416 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℂ → (0 − -𝑀) = (0 + 𝑀))
152 addid2 7684 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℂ → (0 + 𝑀) = 𝑀)
153151, 152eqtrd 2121 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℂ → (0 − -𝑀) = 𝑀)
15454, 153syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 − -𝑀) = 𝑀)
155154fveq2d 5324 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℤ‘(0 − -𝑀)) = (ℤ𝑀))
156155eleq2d 2158 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(0 − -𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)))
157156pm5.32i 443 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(0 − -𝑀))) ↔ (𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)))
158157, 41sylbi 120 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(0 − -𝑀))) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
159 readdcl 7531 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
160159adantl 272 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
161147, 53, 148, 158, 160seq3shft 10335 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝐺 shift -𝑀)) = (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀))
162 seqex 9920 . . . . . . 7 seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V
16354negcld 7843 . . . . . . 7 (𝜑 → -𝑀 ∈ ℂ)
164 ovshftex 10316 . . . . . . 7 ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V ∧ -𝑀 ∈ ℂ) → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ V)
165162, 163, 164sylancr 406 . . . . . 6 (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ V)
16620, 21, 34, 41, 44isumrecl 10886 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ∈ ℝ)
167154seqeq1d 9927 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) = seq𝑀( + , 𝐺))
168167, 45eqbrtrd 3873 . . . . . . 7 (𝜑 → seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
169 climshft 10755 . . . . . . . 8 ((-𝑀 ∈ ℤ ∧ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V) → ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ↔ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘)))
170148, 162, 169sylancl 405 . . . . . . 7 (𝜑 → ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ↔ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘)))
171168, 170mpbird 166 . . . . . 6 (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
172 breldmg 4657 . . . . . 6 (((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ V ∧ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ∈ ℝ ∧ (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘)) → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ dom ⇝ )
173165, 166, 171, 172syl3anc 1175 . . . . 5 (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ dom ⇝ )
174161, 173eqeltrd 2165 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝐺 shift -𝑀)) ∈ dom ⇝ )
175 seqex 9920 . . . . . 6 seq0( + , 𝐻) ∈ V
176175a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ V)
1772nnge1d 8528 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
178 1nn 8496 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
179 nnleltp1 8872 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
180178, 2, 179sylancr 406 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 ≤ 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
181177, 180mpbid 146 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (𝑀 + 1))
18214nn0ge0d 8792 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 + 1))
18315, 182absidd 10663 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝑀 + 1)) = (𝑀 + 1))
184181, 183breqtrrd 3879 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 < (abs‘(𝑀 + 1)))
18574adantr 271 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
186185, 70reexpcld 10166 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ)
187 eqid 2089 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))
18878, 187fvmptg 5395 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))
18970, 186, 188syl2anc 404 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))
190120, 184, 189georeclim 10970 . . . . . . 7 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))) ⇝ ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1)))
19176recnd 7579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℂ)
192189, 191eqeltrd 2165 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
193189oveq2d 5684 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
19482, 193eqtr4d 2124 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗)))
19552, 53, 128, 190, 192, 194isermulc2 10792 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))))
196 ax-1cn 7501 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
197 pncan 7751 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
19854, 196, 197sylancl 405 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
199198oveq2d 5684 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1)) = ((𝑀 + 1) / 𝑀))
200199oveq2d 5684 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)))
20115, 2nndivred 8535 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 + 1) / 𝑀) ∈ ℝ)
202201recnd 7579 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1) / 𝑀) ∈ ℂ)
20316nnap0d 8531 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘𝑀) # 0)
204115, 202, 133, 203div23apd 8358 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)))
205200, 204eqtr4d 2124 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)))
206115, 202, 133, 203divassapd 8356 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀))))
2072nnap0d 8531 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 # 0)
208120, 54, 133, 207, 203divdivap1d 8352 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀)) = ((𝑀 + 1) / (𝑀 · (!‘𝑀))))
20954, 133mulcomd 7572 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 · (!‘𝑀)) = ((!‘𝑀) · 𝑀))
210209oveq2d 5684 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1) / (𝑀 · (!‘𝑀))) = ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))
211208, 210eqtrd 2121 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀)) = ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))
212211oveq2d 5684 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) · (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀))) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
213205, 206, 2123eqtrd 2125 . . . . . 6 (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
214195, 213breqtrd 3877 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
215 breldmg 4657 . . . . 5 ((seq0( + , 𝐻) ∈ V ∧ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) ∈ ℝ ∧ seq0( + , 𝐻) ⇝ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))) → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
216176, 19, 214, 215syl3anc 1175 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
21752, 53, 60, 69, 82, 77, 146, 174, 216isumle 10952 . . 3 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
218 eqid 2089 . . . . 5 (ℤ‘(0 + 𝑀)) = (ℤ‘(0 + 𝑀))
219 fveq2 5320 . . . . 5 (𝑘 = (𝑀 + 𝑗) → (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
22054addid2d 7695 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 + 𝑀) = 𝑀)
221220fveq2d 5324 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ‘(0 + 𝑀)) = (ℤ𝑀))
222221eleq2d 2158 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)))
223222biimpa 291 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀))) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
224223, 42syldan 277 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀))) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
22552, 218, 219, 21, 53, 224isumshft 10947 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀))(𝐺𝑘) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
226221sumeq1d 10818 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
227225, 226eqtr3d 2123 . . 3 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
22877recnd 7579 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℂ)
22952, 53, 82, 228, 214isumclim 10878 . . 3 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
230217, 227, 2293brtr3d 3882 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
2317, 11, 19, 51, 230letrd 7670 1 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  Vcvv 2622   class class class wbr 3853   ↦ cmpt 3907  dom cdm 4454  ‘cfv 5030  (class class class)co 5668  ℂcc 7411  ℝcr 7412  0cc0 7413  1c1 7414   + caddc 7416   · cmul 7418   < clt 7585   ≤ cle 7586   − cmin 7716  -cneg 7717   / cdiv 8202  ℕcn 8485  ℕ0cn0 8736  ℤcz 8813  ℤ≥cuz 9082  seqcseq 9915  ↑cexp 10017  !cfa 10196   shift cshi 10311  abscabs 10493   ⇝ cli 10729  Σcsu 10805 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-ico 9375  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-fac 10197  df-ihash 10247  df-shft 10312  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806 This theorem is referenced by:  ef01bndlem  11110  eirraplem  11127
 Copyright terms: Public domain W3C validator