ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eftlub GIF version

Theorem eftlub 11323
Description: An upper bound on the absolute value of the infinite tail of the series expansion of the exponential function on the closed unit disk. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eftl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
eftl.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
eftl.3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)))
eftl.4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
eftl.5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
eftl.6 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 1)
Assertion
Ref Expression
eftlub (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀,𝑛   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem eftlub
Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eftl.5 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 eftl.4 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32nnnn0d 8998 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4 eftl.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
54eftlcl 11321 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
61, 3, 5syl2anc 408 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
76abscld 10921 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
81abscld 10921 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9 eftl.2 . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
109reeftlcl 11322 . . 3 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ∈ ℝ)
118, 3, 10syl2anc 408 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ∈ ℝ)
128, 3reexpcld 10409 . . 3 (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ)
13 peano2nn0 8985 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
143, 13syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
1514nn0red 8999 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
163faccld 10450 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
1716, 2nnmulcld 8737 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑀) · 𝑀) ∈ ℕ)
1815, 17nndivred 8738 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)) ∈ ℝ)
1912, 18remulcld 7764 . 2 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) ∈ ℝ)
20 eqid 2117 . . 3 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
212nnzd 9140 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
22 eqidd 2118 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
23 eluznn0 9361 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
243, 23sylan 281 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
254eftvalcn 11290 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
261, 25sylan 281 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
27 eftcl 11287 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
281, 27sylan 281 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
2926, 28eqeltrd 2194 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3024, 29syldan 280 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
314eftlcvg 11320 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
321, 3, 31syl2anc 408 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3320, 21, 22, 30, 32isumclim2 11159 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘))
34 eqidd 2118 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
358recnd 7762 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
369eftvalcn 11290 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
3735, 36sylan 281 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
38 reeftcl 11288 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
398, 38sylan 281 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
4037, 39eqeltrd 2194 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
4124, 40syldan 280 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
4241recnd 7762 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
439eftlcvg 11320 . . . . 5 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
4435, 3, 43syl2anc 408 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
4520, 21, 34, 42, 44isumclim2 11159 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
46 eftabs 11289 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
471, 46sylan 281 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4826fveq2d 5393 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))))
4947, 48, 373eqtr4rd 2161 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
5024, 49syldan 280 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
5120, 33, 45, 21, 30, 50iserabs 11212 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
52 nn0uz 9328 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
53 0zd 9034 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
542nncnd 8702 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
55 nn0cn 8955 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℂ)
56 nn0ex 8951 . . . . . . . 8 0 ∈ V
5756mptex 5614 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V
589, 57eqeltri 2190 . . . . . 6 𝐺 ∈ V
5958shftval4 10568 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → ((𝐺 shift -𝑀)‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
6054, 55, 59syl2an 287 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺 shift -𝑀)‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
6135adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
62 nn0addcl 8980 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0)
633, 62sylan 281 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0)
649eftvalcn 11290 . . . . . 6 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))))
6561, 63, 64syl2anc 408 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))))
668adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
67 reeftcl 11288 . . . . . 6 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ∈ ℝ)
6866, 63, 67syl2anc 408 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ∈ ℝ)
6965, 68eqeltrd 2194 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ)
70 simpr 109 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
7112, 16nndivred 8738 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℝ)
7271adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℝ)
732peano2nnd 8703 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
7473nnrecred 8735 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
75 reexpcl 10278 . . . . . . 7 (((1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ)
7674, 75sylan 281 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ)
7772, 76remulcld 7764 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ)
78 oveq2 5750 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗 → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))
7978oveq2d 5758 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
80 eftl.3 . . . . . 6 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)))
8179, 80fvmptg 5465 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
8270, 77, 81syl2anc 408 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
8366, 63reexpcld 10409 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ)
8412adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ)
8563faccld 10450 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℕ)
8685nnred 8701 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ)
8786, 77remulcld 7764 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))) ∈ ℝ)
883adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
89 uzid 9308 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
9021, 89syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
91 uzaddcl 9349 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀))
9290, 91sylan 281 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀))
931absge0d 10924 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
9493adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
95 eftl.6 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 1)
9695adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ≤ 1)
9766, 88, 92, 94, 96leexp2rd 10422 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀))
9816adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
99 nnexpcl 10274 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℕ)
10073, 99sylan 281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℕ)
10198, 100nnmulcld 8737 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℕ)
102101nnred 8701 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℝ)
1038, 3, 93expge0d 10410 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀))
10412, 103jca 304 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
105104adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
106 faclbnd6 10458 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗)))
1073, 106sylan 281 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗)))
108 lemul1a 8584 . . . . . . . . . 10 (((((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀))) ∧ ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗))) → (((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
109102, 86, 105, 107, 108syl31anc 1204 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
11086, 84remulcld 7764 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ∈ ℝ)
111101nnrpd 9450 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℝ+)
11284, 110, 111lemuldiv2d 9502 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ↔ ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))))
113109, 112mpbid 146 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
11485nncnd 8702 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℂ)
11512recnd 7762 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℂ)
116115adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℂ)
117101nncnd 8702 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℂ)
118101nnap0d 8734 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) # 0)
119114, 116, 117, 118divassapd 8554 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))))
12073nncnd 8702 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
121120adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
12273adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
123122nnap0d 8734 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) # 0)
124 nn0z 9042 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ)
125124adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℤ)
126121, 123, 125exprecapd 10400 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) = (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗)))
127126oveq2d 5758 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
12871recnd 7762 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
129128adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
130100nncnd 8702 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℂ)
131100nnap0d 8734 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) # 0)
132129, 130, 131divrecapd 8521 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) / ((𝑀 + 1)↑𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
13316nncnd 8702 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
134133adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
13598nnap0d 8734 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) # 0)
136116, 134, 130, 135, 131divdivap1d 8550 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) / ((𝑀 + 1)↑𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
137127, 132, 1363eqtr2rd 2157 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
138137oveq2d 5758 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
139119, 138eqtrd 2150 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
140113, 139breqtrd 3924 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
14183, 84, 87, 97, 140letrd 7854 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
14285nngt0d 8732 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘(𝑀 + 𝑗)))
143 ledivmul 8603 . . . . . . 7 ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘(𝑀 + 𝑗)))) → ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ↔ ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))))
14483, 77, 86, 142, 143syl112anc 1205 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ↔ ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))))
145141, 144mpbird 166 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
14665, 145eqbrtrd 3920 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
14758a1i 9 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ V)
14821znegcld 9143 . . . . . 6 (𝜑 → -𝑀 ∈ ℤ)
149 0cn 7726 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℂ
150 subneg 7979 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (0 − -𝑀) = (0 + 𝑀))
151149, 150mpan 420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℂ → (0 − -𝑀) = (0 + 𝑀))
152 addid2 7869 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℂ → (0 + 𝑀) = 𝑀)
153151, 152eqtrd 2150 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℂ → (0 − -𝑀) = 𝑀)
15454, 153syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 − -𝑀) = 𝑀)
155154fveq2d 5393 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℤ‘(0 − -𝑀)) = (ℤ𝑀))
156155eleq2d 2187 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(0 − -𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)))
157156pm5.32i 449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(0 − -𝑀))) ↔ (𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)))
158157, 41sylbi 120 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(0 − -𝑀))) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
159 readdcl 7714 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
160159adantl 275 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
161147, 53, 148, 158, 160seq3shft 10578 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝐺 shift -𝑀)) = (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀))
162 seqex 10188 . . . . . . 7 seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V
16354negcld 8028 . . . . . . 7 (𝜑 → -𝑀 ∈ ℂ)
164 ovshftex 10559 . . . . . . 7 ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V ∧ -𝑀 ∈ ℂ) → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ V)
165162, 163, 164sylancr 410 . . . . . 6 (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ V)
16620, 21, 34, 41, 44isumrecl 11166 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ∈ ℝ)
167154seqeq1d 10192 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) = seq𝑀( + , 𝐺))
168167, 45eqbrtrd 3920 . . . . . . 7 (𝜑 → seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
169 climshft 11041 . . . . . . . 8 ((-𝑀 ∈ ℤ ∧ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V) → ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ↔ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘)))
170148, 162, 169sylancl 409 . . . . . . 7 (𝜑 → ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ↔ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘)))
171168, 170mpbird 166 . . . . . 6 (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
172 breldmg 4715 . . . . . 6 (((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ V ∧ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ∈ ℝ ∧ (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘)) → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ dom ⇝ )
173165, 166, 171, 172syl3anc 1201 . . . . 5 (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ dom ⇝ )
174161, 173eqeltrd 2194 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝐺 shift -𝑀)) ∈ dom ⇝ )
175 seqex 10188 . . . . . 6 seq0( + , 𝐻) ∈ V
176175a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ V)
1772nnge1d 8731 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
178 1nn 8699 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
179 nnleltp1 9081 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
180178, 2, 179sylancr 410 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 ≤ 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
181177, 180mpbid 146 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (𝑀 + 1))
18214nn0ge0d 9001 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 + 1))
18315, 182absidd 10907 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝑀 + 1)) = (𝑀 + 1))
184181, 183breqtrrd 3926 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 < (abs‘(𝑀 + 1)))
18574adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
186185, 70reexpcld 10409 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ)
187 eqid 2117 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))
18878, 187fvmptg 5465 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))
18970, 186, 188syl2anc 408 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))
190120, 184, 189georeclim 11250 . . . . . . 7 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))) ⇝ ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1)))
19176recnd 7762 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℂ)
192189, 191eqeltrd 2194 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
193189oveq2d 5758 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
19482, 193eqtr4d 2153 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗)))
19552, 53, 128, 190, 192, 194isermulc2 11077 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))))
196 ax-1cn 7681 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
197 pncan 7936 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
19854, 196, 197sylancl 409 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
199198oveq2d 5758 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1)) = ((𝑀 + 1) / 𝑀))
200199oveq2d 5758 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)))
20115, 2nndivred 8738 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 + 1) / 𝑀) ∈ ℝ)
202201recnd 7762 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1) / 𝑀) ∈ ℂ)
20316nnap0d 8734 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘𝑀) # 0)
204115, 202, 133, 203div23apd 8556 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)))
205200, 204eqtr4d 2153 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)))
206115, 202, 133, 203divassapd 8554 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀))))
2072nnap0d 8734 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 # 0)
208120, 54, 133, 207, 203divdivap1d 8550 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀)) = ((𝑀 + 1) / (𝑀 · (!‘𝑀))))
20954, 133mulcomd 7755 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 · (!‘𝑀)) = ((!‘𝑀) · 𝑀))
210209oveq2d 5758 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1) / (𝑀 · (!‘𝑀))) = ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))
211208, 210eqtrd 2150 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀)) = ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))
212211oveq2d 5758 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) · (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀))) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
213205, 206, 2123eqtrd 2154 . . . . . 6 (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
214195, 213breqtrd 3924 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
215 breldmg 4715 . . . . 5 ((seq0( + , 𝐻) ∈ V ∧ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) ∈ ℝ ∧ seq0( + , 𝐻) ⇝ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))) → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
216176, 19, 214, 215syl3anc 1201 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
21752, 53, 60, 69, 82, 77, 146, 174, 216isumle 11232 . . 3 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
218 eqid 2117 . . . . 5 (ℤ‘(0 + 𝑀)) = (ℤ‘(0 + 𝑀))
219 fveq2 5389 . . . . 5 (𝑘 = (𝑀 + 𝑗) → (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
22054addid2d 7880 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 + 𝑀) = 𝑀)
221220fveq2d 5393 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ‘(0 + 𝑀)) = (ℤ𝑀))
222221eleq2d 2187 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)))
223222biimpa 294 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀))) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
224223, 42syldan 280 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀))) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
22552, 218, 219, 21, 53, 224isumshft 11227 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀))(𝐺𝑘) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
226221sumeq1d 11103 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
227225, 226eqtr3d 2152 . . 3 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
22877recnd 7762 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℂ)
22952, 53, 82, 228, 214isumclim 11158 . . 3 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
230217, 227, 2293brtr3d 3929 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
2317, 11, 19, 51, 230letrd 7854 1 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1316  wcel 1465  Vcvv 2660   class class class wbr 3899  cmpt 3959  dom cdm 4509  cfv 5093  (class class class)co 5742  cc 7586  cr 7587  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591   · cmul 7593   < clt 7768  cle 7769  cmin 7901  -cneg 7902   / cdiv 8400  cn 8688  0cn0 8945  cz 9022  cuz 9294  seqcseq 10186  cexp 10260  !cfa 10439   shift cshi 10554  abscabs 10737  cli 11015  Σcsu 11090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-frec 6256  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-er 6397  df-en 6603  df-dom 6604  df-fin 6605  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-ico 9645  df-fz 9759  df-fzo 9888  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-fac 10440  df-ihash 10490  df-shft 10555  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-clim 11016  df-sumdc 11091
This theorem is referenced by:  ef01bndlem  11390  eirraplem  11410  dveflem  12782
  Copyright terms: Public domain W3C validator