Theorem eftlub 11833

Description: An upper bound on the absolute value of the infinite tail of the series expansion of the exponential function on the closed unit disk. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eftl.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
eftl.2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
eftl.3	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)))
eftl.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
eftl.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
eftl.6	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 1)

Assertion

Ref	Expression
eftlub	⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀,𝑛   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem eftlub

Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eftl.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		eftl.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3	2	nnnn0d 9293	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		eftl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
5	4	eftlcl 11831	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
6	1, 3, 5	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
7	6	abscld 11325	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
8	1	abscld 11325	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9		eftl.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
10	9	reeftlcl 11832	. . 3 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
11	8, 3, 10	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
12	8, 3	reexpcld 10761	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ)
13		peano2nn0 9280	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
14	3, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
15	14	nn0red 9294	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
16	3	faccld 10807	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
17	16, 2	nnmulcld 9031	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑀) · 𝑀) ∈ ℕ)
18	15, 17	nndivred 9032	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)) ∈ ℝ)
19	12, 18	remulcld 8050	. 2 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) ∈ ℝ)
20		eqid 2193	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
21	2	nnzd 9438	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
22		eqidd 2194	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
23		eluznn0 9664	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24	3, 23	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
25	4	eftvalcn 11800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
26	1, 25	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
27		eftcl 11797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
28	1, 27	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
29	26, 28	eqeltrd 2270	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30	24, 29	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
31	4	eftlcvg 11830	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
32	1, 3, 31	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
33	20, 21, 22, 30, 32	isumclim2 11565	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘))
34		eqidd 2194	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
35	8	recnd 8048	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
36	9	eftvalcn 11800	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
37	35, 36	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
38		reeftcl 11798	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
39	8, 38	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
40	37, 39	eqeltrd 2270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
41	24, 40	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
42	41	recnd 8048	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
43	9	eftlcvg 11830	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
44	35, 3, 43	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
45	20, 21, 34, 42, 44	isumclim2 11565	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))
46		eftabs 11799	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
47	1, 46	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
48	26	fveq2d 5558	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))))
49	47, 48, 37	3eqtr4rd 2237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
50	24, 49	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
51	20, 33, 45, 21, 30, 50	iserabs 11618	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))
52		nn0uz 9627	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
53		0zd 9329	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
54	2	nncnd 8996	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
55		nn0cn 9250	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℂ)
56		nn0ex 9246	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
57	56	mptex 5784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V
58	9, 57	eqeltri 2266	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 ∈ V
59	58	shftval4 10972	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → ((𝐺 shift -𝑀)‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
60	54, 55, 59	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺 shift -𝑀)‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
61	35	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
62		nn0addcl 9275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0)
63	3, 62	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0)
64	9	eftvalcn 11800	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))))
65	61, 63, 64	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))))
66	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
67		reeftcl 11798	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ∈ ℝ)
68	66, 63, 67	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ∈ ℝ)
69	65, 68	eqeltrd 2270	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ)
70		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
71	12, 16	nndivred 9032	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℝ)
72	71	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℝ)
73	2	peano2nnd 8997	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
74	73	nnrecred 9029	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
75		reexpcl 10627	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ)
76	74, 75	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ)
77	72, 76	remulcld 8050	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ)
78		oveq2 5926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))
79	78	oveq2d 5934	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
80		eftl.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)))
81	79, 80	fvmptg 5633	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
82	70, 77, 81	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
83	66, 63	reexpcld 10761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ)
84	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ)
85	63	faccld 10807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℕ)
86	85	nnred 8995	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ)
87	86, 77	remulcld 8050	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))) ∈ ℝ)
88	3	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
89		uzid 9606	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
90	21, 89	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
91		uzaddcl 9651	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
92	90, 91	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
93	1	absge0d 11328	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
94	93	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
95		eftl.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 1)
96	95	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ≤ 1)
97	66, 88, 92, 94, 96	leexp2rd 10774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀))
98	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
99		nnexpcl 10623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℕ)
100	73, 99	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℕ)
101	98, 100	nnmulcld 9031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℕ)
102	101	nnred 8995	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℝ)
103	8, 3, 93	expge0d 10762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀))
104	12, 103	jca 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
105	104	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
106		faclbnd6 10815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗)))
107	3, 106	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗)))
108		lemul1a 8877	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀))) ∧ ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗))) → (((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
109	102, 86, 105, 107, 108	syl31anc 1252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
110	86, 84	remulcld 8050	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ∈ ℝ)
111	101	nnrpd 9760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℝ+)
112	84, 110, 111	lemuldiv2d 9813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ↔ ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))))
113	109, 112	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
114	85	nncnd 8996	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℂ)
115	12	recnd 8048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℂ)
116	115	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℂ)
117	101	nncnd 8996	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℂ)
118	101	nnap0d 9028	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) # 0)
119	114, 116, 117, 118	divassapd 8845	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))))
120	73	nncnd 8996	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
122	73	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
123	122	nnap0d 9028	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) # 0)
124		nn0z 9337	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℤ)
125	124	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℤ)
126	121, 123, 125	exprecapd 10752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) = (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗)))
127	126	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
128	71	recnd 8048	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
129	128	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
130	100	nncnd 8996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℂ)
131	100	nnap0d 9028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) # 0)
132	129, 130, 131	divrecapd 8812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) / ((𝑀 + 1)↑𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
133	16	nncnd 8996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
134	133	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
135	98	nnap0d 9028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) # 0)
136	116, 134, 130, 135, 131	divdivap1d 8841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) / ((𝑀 + 1)↑𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
137	127, 132, 136	3eqtr2rd 2233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
138	137	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
139	119, 138	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
140	113, 139	breqtrd 4055	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
141	83, 84, 87, 97, 140	letrd 8143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
142	85	nngt0d 9026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘(𝑀 + 𝑗)))
143		ledivmul 8896	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘(𝑀 + 𝑗)))) → ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ↔ ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))))
144	83, 77, 86, 142, 143	syl112anc 1253	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ↔ ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))))
145	141, 144	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
146	65, 145	eqbrtrd 4051	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
147	58	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
148	21	znegcld 9441	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝑀 ∈ ℤ)
149		0cn 8011	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
150		subneg 8268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (0 − -𝑀) = (0 + 𝑀))
151	149, 150	mpan 424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (0 − -𝑀) = (0 + 𝑀))
152		addlid 8158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (0 + 𝑀) = 𝑀)
153	151, 152	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (0 − -𝑀) = 𝑀)
154	54, 153	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 − -𝑀) = 𝑀)
155	154	fveq2d 5558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(0 − -𝑀)) = (ℤ≥‘𝑀))
156	155	eleq2d 2263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 − -𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
157	156	pm5.32i 454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 − -𝑀))) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
158	157, 41	sylbi 121	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 − -𝑀))) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
159		readdcl 7998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
160	159	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
161	147, 53, 148, 158, 160	seq3shft 10982	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺 shift -𝑀)) = (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀))
162		seqex 10520	. . . . . . 7 ⊢ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V
163	54	negcld 8317	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝑀 ∈ ℂ)
164		ovshftex 10963	. . . . . . 7 ⊢ ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V ∧ -𝑀 ∈ ℂ) → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ V)
165	162, 163, 164	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ V)
166	20, 21, 34, 41, 44	isumrecl 11572	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
167	154	seqeq1d 10524	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) = seq𝑀( + , 𝐺))
168	167, 45	eqbrtrd 4051	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))
169		climshft 11447	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝑀 ∈ ℤ ∧ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V) → ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ↔ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘)))
170	148, 162, 169	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ↔ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘)))
171	168, 170	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))
172		breldmg 4868	. . . . . 6 ⊢ (((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ V ∧ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘)) → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ dom ⇝ )
173	165, 166, 171, 172	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ dom ⇝ )
174	161, 173	eqeltrd 2270	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺 shift -𝑀)) ∈ dom ⇝ )
175		seqex 10520	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , 𝐻) ∈ V
176	175	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ V)
177	2	nnge1d 9025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
178		1nn 8993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ
179		nnleltp1 9376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
180	178, 2, 179	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
181	177, 180	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑀 + 1))
182	14	nn0ge0d 9296	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 + 1))
183	15, 182	absidd 11311	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑀 + 1)) = (𝑀 + 1))
184	181, 183	breqtrrd 4057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 < (abs‘(𝑀 + 1)))
185	74	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
186	185, 70	reexpcld 10761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ)
187		eqid 2193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))
188	78, 187	fvmptg 5633	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))
189	70, 186, 188	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))
190	120, 184, 189	georeclim 11656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))) ⇝ ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1)))
191	76	recnd 8048	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℂ)
192	189, 191	eqeltrd 2270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
193	189	oveq2d 5934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
194	82, 193	eqtr4d 2229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗)))
195	52, 53, 128, 190, 192, 194	isermulc2 11483	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))))
196		ax-1cn 7965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
197		pncan 8225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
198	54, 196, 197	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
199	198	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1)) = ((𝑀 + 1) / 𝑀))
200	199	oveq2d 5934	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)))
201	15, 2	nndivred 9032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / 𝑀) ∈ ℝ)
202	201	recnd 8048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / 𝑀) ∈ ℂ)
203	16	nnap0d 9028	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) # 0)
204	115, 202, 133, 203	div23apd 8847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)))
205	200, 204	eqtr4d 2229	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)))
206	115, 202, 133, 203	divassapd 8845	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀))))
207	2	nnap0d 9028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 # 0)
208	120, 54, 133, 207, 203	divdivap1d 8841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀)) = ((𝑀 + 1) / (𝑀 · (!‘𝑀))))
209	54, 133	mulcomd 8041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (!‘𝑀)) = ((!‘𝑀) · 𝑀))
210	209	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / (𝑀 · (!‘𝑀))) = ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))
211	208, 210	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀)) = ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))
212	211	oveq2d 5934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) · (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀))) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
213	205, 206, 212	3eqtrd 2230	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
214	195, 213	breqtrd 4055	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
215		breldmg 4868	. . . . 5 ⊢ ((seq0( + , 𝐻) ∈ V ∧ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) ∈ ℝ ∧ seq0( + , 𝐻) ⇝ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))) → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
216	176, 19, 214, 215	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
217	52, 53, 60, 69, 82, 77, 146, 174, 216	isumle 11638	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
218		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 𝑀)) = (ℤ≥‘(0 + 𝑀))
219		fveq2 5554	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑀 + 𝑗) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
220	54	addlidd 8169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝑀) = 𝑀)
221	220	fveq2d 5558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(0 + 𝑀)) = (ℤ≥‘𝑀))
222	221	eleq2d 2263	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
223	222	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝑀))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
224	223, 42	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝑀))) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
225	52, 218, 219, 21, 53, 224	isumshft 11633	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝑀))(𝐺‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
226	221	sumeq1d 11509	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝑀))(𝐺‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))
227	225, 226	eqtr3d 2228	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))
228	77	recnd 8048	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℂ)
229	52, 53, 82, 228, 214	isumclim 11564	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
230	217, 227, 229	3brtr3d 4060	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
231	7, 11, 19, 51, 230	letrd 8143	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   class class class wbr 4029   ↦ cmpt 4090  dom cdm 4659  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  ℝcr 7871  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877   < clt 8054   ≤ cle 8055   − cmin 8190  -cneg 8191   / cdiv 8691  ℕcn 8982  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592  seqcseq 10518  ↑cexp 10609  !cfa 10796   shift cshi 10958  abscabs 11141   ⇝ cli 11421  Σcsu 11496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-ico 9960  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-fac 10797  df-ihash 10847  df-shft 10959  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497

This theorem is referenced by:  ef01bndlem  11899  eirraplem  11920  dveflem  14872