ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expcnvap0 GIF version

Theorem expcnvap0 11537
Description: A sequence of powers of a complex number 𝐴 with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnvap0.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
expcnvap0.2 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
expcnvap0.0 (𝜑𝐴 # 0)
Assertion
Ref Expression
expcnvap0 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem expcnvap0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9588 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 9305 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 expcnvap0.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
4 expcnvap0.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5 expcnvap0.0 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 # 0)
64, 5absrpclapd 11224 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
76reclt1d 9735 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ 1 < (1 / (abs‘𝐴))))
83, 7mpbid 147 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < (1 / (abs‘𝐴)))
9 1re 7981 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
106rpreccld 9732 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+)
1110rpred 9721 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
12 difrp 9717 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ) → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
139, 11, 12sylancr 414 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
148, 13mpbid 147 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+)
1514rpreccld 9732 . . . . 5 (𝜑 → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ+)
1615rpcnd 9723 . . . 4 (𝜑 → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ)
17 divcnv 11532 . . . 4 ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
1816, 17syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
19 nnex 8950 . . . . 5 ℕ ∈ V
2019mptex 5759 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V
2120a1i 9 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V)
22 simpr 110 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
2316adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ)
2422nncnd 8958 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
2522nnap0d 8990 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 # 0)
2623, 24, 25divclapd 8772 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℂ)
27 oveq2 5900 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
28 eqid 2189 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))
2927, 28fvmptg 5609 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
3022, 26, 29syl2anc 411 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
3115rpred 9721 . . . . 5 (𝜑 → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ)
32 nndivre 8980 . . . . 5 (((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
3331, 32sylan 283 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
3430, 33eqeltrd 2266 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
356adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
3635rpcnd 9723 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
37 nnnn0 9208 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
3837adantl 277 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3936, 38expcld 10680 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
40 oveq2 5900 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑛) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
41 eqid 2189 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
4240, 41fvmptg 5609 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
4322, 39, 42syl2anc 411 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
44 nnz 9297 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
45 rpexpcl 10565 . . . . . 6 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
466, 44, 45syl2an 289 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
4743, 46eqeltrd 2266 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ+)
4847rpred 9721 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
49 nnrp 9688 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
50 rpmulcl 9703 . . . . . . 7 ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℝ+) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
5114, 49, 50syl2an 289 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
5251rpred 9721 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ)
53 peano2re 8118 . . . . . . . . 9 ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
5452, 53syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
55 rpexpcl 10565 . . . . . . . . . 10 (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
5610, 44, 55syl2an 289 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
5756rpred 9721 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ)
5852lep1d 8913 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1))
5911adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
6010rpge0d 9725 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
6160adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
62 bernneq2 10668 . . . . . . . . 9 (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴))) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
6359, 38, 61, 62syl3anc 1249 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
6452, 54, 57, 58, 63letrd 8106 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
656rpcnd 9723 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
666rpap0d 9727 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐴) # 0)
67 exprecap 10587 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) # 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
6865, 66, 44, 67syl2an3an 1309 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
6964, 68breqtrd 4044 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
7051, 46, 69lerec2d 9743 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
7114rpcnd 9723 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ)
7214rpap0d 9727 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) # 0)
7371, 72jca 306 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) # 0))
74 nncn 8952 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
75 nnap0 8973 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 # 0)
7674, 75jca 306 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 # 0))
77 recdivap2 8707 . . . . . 6 (((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) # 0) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 # 0)) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
7873, 76, 77syl2an 289 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
7970, 78breqtrrd 4046 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
8079, 43, 303brtr4d 4050 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘))
8147rpge0d 9725 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘))
821, 2, 18, 21, 34, 48, 80, 81climsqz2 11371 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
83 nn0ex 9207 . . . . 5 0 ∈ V
8483mptex 5759 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V
8584a1i 9 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V)
864adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8786, 38expcld 10680 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
88 oveq2 5900 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
89 eqid 2189 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
9088, 89fvmptg 5609 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
9138, 87, 90syl2anc 411 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
92 expcl 10564 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
934, 37, 92syl2an 289 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
9491, 93eqeltrd 2266 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
95 absexp 11115 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
964, 37, 95syl2an 289 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
9791fveq2d 5535 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘)) = (abs‘(𝐴𝑘)))
9896, 97, 433eqtr4rd 2233 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘)))
991, 2, 85, 21, 94, 98climabs0 11342 . 2 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0))
10082, 99mpbird 167 1 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2160  Vcvv 2752   class class class wbr 4018  cmpt 4079  cfv 5232  (class class class)co 5892  cc 7834  cr 7835  0cc0 7836  1c1 7837   + caddc 7839   · cmul 7841   < clt 8017  cle 8018  cmin 8153   # cap 8563   / cdiv 8654  cn 8944  0cn0 9201  cz 9278  +crp 9678  cexp 10545  abscabs 11033  cli 11313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-precex 7946  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953  ax-pre-mulext 7954  ax-arch 7955  ax-caucvg 7956
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-frec 6411  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-reap 8557  df-ap 8564  df-div 8655  df-inn 8945  df-2 9003  df-3 9004  df-4 9005  df-n0 9202  df-z 9279  df-uz 9554  df-rp 9679  df-seqfrec 10472  df-exp 10546  df-cj 10878  df-re 10879  df-im 10880  df-rsqrt 11034  df-abs 11035  df-clim 11314
This theorem is referenced by:  expcnvre  11538
  Copyright terms: Public domain W3C validator