Theorem expcnvap0 11648

Description: A sequence of powers of a complex number 𝐴 with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcnvap0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcnvap0.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
expcnvap0.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Assertion

Ref	Expression
expcnvap0	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem expcnvap0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9631	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 9347	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		expcnvap0.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
4		expcnvap0.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5		expcnvap0.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
6	4, 5	absrpclapd 11335	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
7	6	reclt1d 9779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ 1 < (1 / (abs‘𝐴))))
8	3, 7	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < (1 / (abs‘𝐴)))
9		1re 8020	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
10	6	rpreccld 9776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+)
11	10	rpred 9765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
12		difrp 9761	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ) → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
13	9, 11, 12	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
14	8, 13	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+)
15	14	rpreccld 9776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ+)
16	15	rpcnd 9767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ)
17		divcnv 11643	. . . 4 ⊢ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
18	16, 17	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
19		nnex 8990	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
20	19	mptex 5785	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V
21	20	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V)
22		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
23	16	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ)
24	22	nncnd 8998	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
25	22	nnap0d 9030	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 # 0)
26	23, 24, 25	divclapd 8811	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℂ)
27		oveq2 5927	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
28		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))
29	27, 28	fvmptg 5634	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
30	22, 26, 29	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
31	15	rpred 9765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ)
32		nndivre 9020	. . . . 5 ⊢ (((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
33	31, 32	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
34	30, 33	eqeltrd 2270	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
35	6	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
36	35	rpcnd 9767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
37		nnnn0 9250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39	36, 38	expcld 10747	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
40		oveq2 5927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑛) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
41		eqid 2193	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
42	40, 41	fvmptg 5634	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
43	22, 39, 42	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
44		nnz 9339	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
45		rpexpcl 10632	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
46	6, 44, 45	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
47	43, 46	eqeltrd 2270	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ+)
48	47	rpred 9765	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
49		nnrp 9732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
50		rpmulcl 9747	. . . . . . 7 ⊢ ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℝ+) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
51	14, 49, 50	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
52	51	rpred 9765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ)
53		peano2re 8157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
55		rpexpcl 10632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
56	10, 44, 55	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
57	56	rpred 9765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ)
58	52	lep1d 8952	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1))
59	11	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
60	10	rpge0d 9769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
61	60	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
62		bernneq2 10735	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴))) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
63	59, 38, 61, 62	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
64	52, 54, 57, 58, 63	letrd 8145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
65	6	rpcnd 9767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
66	6	rpap0d 9771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) # 0)
67		exprecap 10654	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) # 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
68	65, 66, 44, 67	syl2an3an 1309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
69	64, 68	breqtrd 4056	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
70	51, 46, 69	lerec2d 9787	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
71	14	rpcnd 9767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ)
72	14	rpap0d 9771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) # 0)
73	71, 72	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) # 0))
74		nncn 8992	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
75		nnap0 9013	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 # 0)
76	74, 75	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 # 0))
77		recdivap2 8746	. . . . . 6 ⊢ (((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) # 0) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 # 0)) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
78	73, 76, 77	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
79	70, 78	breqtrrd 4058	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
80	79, 43, 30	3brtr4d 4062	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘))
81	47	rpge0d 9769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘))
82	1, 2, 18, 21, 34, 48, 80, 81	climsqz2 11482	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
83		nn0ex 9249	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
84	83	mptex 5785	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V
85	84	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V)
86	4	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
87	86, 38	expcld 10747	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
88		oveq2 5927	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
89		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
90	88, 89	fvmptg 5634	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
91	38, 87, 90	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
92		expcl 10631	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
93	4, 37, 92	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
94	91, 93	eqeltrd 2270	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
95		absexp 11226	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
96	4, 37, 95	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
97	91	fveq2d 5559	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘)) = (abs‘(𝐴↑𝑘)))
98	96, 97, 43	3eqtr4rd 2237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘)))
99	1, 2, 85, 21, 94, 98	climabs0 11453	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0))
100	82, 99	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   class class class wbr 4030   ↦ cmpt 4091  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  ℝcr 7873  0cc0 7874  1c1 7875   + caddc 7877   · cmul 7879   < clt 8056   ≤ cle 8057   − cmin 8192   # cap 8602   / cdiv 8693  ℕcn 8984  ℕ₀cn0 9243  ℤcz 9320  ℝ⁺crp 9722  ↑cexp 10612  abscabs 11144   ⇝ cli 11424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-rp 9723  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425

This theorem is referenced by:  expcnvre  11649