Theorem expcnvap0 12062

Description: A sequence of powers of a complex number 𝐴 with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcnvap0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcnvap0.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
expcnvap0.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Assertion

Ref	Expression
expcnvap0	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem expcnvap0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9791	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 9505	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		expcnvap0.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
4		expcnvap0.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5		expcnvap0.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
6	4, 5	absrpclapd 11748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
7	6	reclt1d 9944	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ 1 < (1 / (abs‘𝐴))))
8	3, 7	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < (1 / (abs‘𝐴)))
9		1re 8177	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
10	6	rpreccld 9941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+)
11	10	rpred 9930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
12		difrp 9926	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ) → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
13	9, 11, 12	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
14	8, 13	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+)
15	14	rpreccld 9941	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ+)
16	15	rpcnd 9932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ)
17		divcnv 12057	. . . 4 ⊢ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
18	16, 17	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
19		nnex 9148	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
20	19	mptex 5879	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V
21	20	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V)
22		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
23	16	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ)
24	22	nncnd 9156	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
25	22	nnap0d 9188	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 # 0)
26	23, 24, 25	divclapd 8969	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℂ)
27		oveq2 6025	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
28		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))
29	27, 28	fvmptg 5722	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
30	22, 26, 29	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
31	15	rpred 9930	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ)
32		nndivre 9178	. . . . 5 ⊢ (((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
33	31, 32	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
34	30, 33	eqeltrd 2308	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
35	6	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
36	35	rpcnd 9932	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
37		nnnn0 9408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39	36, 38	expcld 10934	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
40		oveq2 6025	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑛) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
41		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
42	40, 41	fvmptg 5722	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
43	22, 39, 42	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
44		nnz 9497	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
45		rpexpcl 10819	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
46	6, 44, 45	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
47	43, 46	eqeltrd 2308	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ+)
48	47	rpred 9930	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
49		nnrp 9897	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
50		rpmulcl 9912	. . . . . . 7 ⊢ ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℝ+) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
51	14, 49, 50	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
52	51	rpred 9930	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ)
53		peano2re 8314	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
55		rpexpcl 10819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
56	10, 44, 55	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
57	56	rpred 9930	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ)
58	52	lep1d 9110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1))
59	11	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
60	10	rpge0d 9934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
61	60	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
62		bernneq2 10922	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴))) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
63	59, 38, 61, 62	syl3anc 1273	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
64	52, 54, 57, 58, 63	letrd 8302	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
65	6	rpcnd 9932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
66	6	rpap0d 9936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) # 0)
67		exprecap 10841	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) # 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
68	65, 66, 44, 67	syl2an3an 1334	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
69	64, 68	breqtrd 4114	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
70	51, 46, 69	lerec2d 9952	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
71	14	rpcnd 9932	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ)
72	14	rpap0d 9936	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) # 0)
73	71, 72	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) # 0))
74		nncn 9150	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
75		nnap0 9171	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 # 0)
76	74, 75	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 # 0))
77		recdivap2 8904	. . . . . 6 ⊢ (((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) # 0) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 # 0)) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
78	73, 76, 77	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
79	70, 78	breqtrrd 4116	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
80	79, 43, 30	3brtr4d 4120	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘))
81	47	rpge0d 9934	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘))
82	1, 2, 18, 21, 34, 48, 80, 81	climsqz2 11896	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
83		nn0ex 9407	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
84	83	mptex 5879	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V
85	84	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V)
86	4	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
87	86, 38	expcld 10934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
88		oveq2 6025	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
89		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
90	88, 89	fvmptg 5722	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
91	38, 87, 90	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
92		expcl 10818	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
93	4, 37, 92	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
94	91, 93	eqeltrd 2308	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
95		absexp 11639	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
96	4, 37, 95	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
97	91	fveq2d 5643	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘)) = (abs‘(𝐴↑𝑘)))
98	96, 97, 43	3eqtr4rd 2275	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘)))
99	1, 2, 85, 21, 94, 98	climabs0 11867	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0))
100	82, 99	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   class class class wbr 4088   ↦ cmpt 4150  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  ℝcr 8030  0cc0 8031  1c1 8032   + caddc 8034   · cmul 8036   < clt 8213   ≤ cle 8214   − cmin 8349   # cap 8760   / cdiv 8851  ℕcn 9142  ℕ₀cn0 9401  ℤcz 9478  ℝ⁺crp 9887  ↑cexp 10799  abscabs 11557   ⇝ cli 11838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-rp 9888  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-clim 11839

This theorem is referenced by:  expcnvre  12063