Theorem expcnvap0 11755

Description: A sequence of powers of a complex number 𝐴 with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcnvap0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcnvap0.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
expcnvap0.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Assertion

Ref	Expression
expcnvap0	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem expcnvap0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9683	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 9398	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		expcnvap0.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
4		expcnvap0.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5		expcnvap0.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
6	4, 5	absrpclapd 11441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
7	6	reclt1d 9831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ 1 < (1 / (abs‘𝐴))))
8	3, 7	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < (1 / (abs‘𝐴)))
9		1re 8070	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
10	6	rpreccld 9828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+)
11	10	rpred 9817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
12		difrp 9813	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ) → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
13	9, 11, 12	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
14	8, 13	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+)
15	14	rpreccld 9828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ+)
16	15	rpcnd 9819	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ)
17		divcnv 11750	. . . 4 ⊢ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
18	16, 17	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
19		nnex 9041	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
20	19	mptex 5809	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V
21	20	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V)
22		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
23	16	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ)
24	22	nncnd 9049	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
25	22	nnap0d 9081	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 # 0)
26	23, 24, 25	divclapd 8862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℂ)
27		oveq2 5951	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
28		eqid 2204	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))
29	27, 28	fvmptg 5654	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
30	22, 26, 29	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
31	15	rpred 9817	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ)
32		nndivre 9071	. . . . 5 ⊢ (((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
33	31, 32	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
34	30, 33	eqeltrd 2281	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
35	6	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
36	35	rpcnd 9819	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
37		nnnn0 9301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39	36, 38	expcld 10816	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
40		oveq2 5951	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑛) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
41		eqid 2204	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
42	40, 41	fvmptg 5654	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
43	22, 39, 42	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
44		nnz 9390	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
45		rpexpcl 10701	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
46	6, 44, 45	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
47	43, 46	eqeltrd 2281	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ+)
48	47	rpred 9817	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
49		nnrp 9784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
50		rpmulcl 9799	. . . . . . 7 ⊢ ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℝ+) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
51	14, 49, 50	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
52	51	rpred 9817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ)
53		peano2re 8207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
55		rpexpcl 10701	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
56	10, 44, 55	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
57	56	rpred 9817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ)
58	52	lep1d 9003	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1))
59	11	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
60	10	rpge0d 9821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
61	60	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
62		bernneq2 10804	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴))) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
63	59, 38, 61, 62	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
64	52, 54, 57, 58, 63	letrd 8195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
65	6	rpcnd 9819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
66	6	rpap0d 9823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) # 0)
67		exprecap 10723	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) # 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
68	65, 66, 44, 67	syl2an3an 1310	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
69	64, 68	breqtrd 4069	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
70	51, 46, 69	lerec2d 9839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
71	14	rpcnd 9819	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ)
72	14	rpap0d 9823	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) # 0)
73	71, 72	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) # 0))
74		nncn 9043	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
75		nnap0 9064	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 # 0)
76	74, 75	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 # 0))
77		recdivap2 8797	. . . . . 6 ⊢ (((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) # 0) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 # 0)) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
78	73, 76, 77	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
79	70, 78	breqtrrd 4071	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
80	79, 43, 30	3brtr4d 4075	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘))
81	47	rpge0d 9821	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘))
82	1, 2, 18, 21, 34, 48, 80, 81	climsqz2 11589	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
83		nn0ex 9300	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
84	83	mptex 5809	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V
85	84	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V)
86	4	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
87	86, 38	expcld 10816	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
88		oveq2 5951	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
89		eqid 2204	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
90	88, 89	fvmptg 5654	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
91	38, 87, 90	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
92		expcl 10700	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
93	4, 37, 92	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
94	91, 93	eqeltrd 2281	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
95		absexp 11332	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
96	4, 37, 95	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
97	91	fveq2d 5579	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘)) = (abs‘(𝐴↑𝑘)))
98	96, 97, 43	3eqtr4rd 2248	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘)))
99	1, 2, 85, 21, 94, 98	climabs0 11560	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0))
100	82, 99	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  Vcvv 2771   class class class wbr 4043   ↦ cmpt 4104  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  ℂcc 7922  ℝcr 7923  0cc0 7924  1c1 7925   + caddc 7927   · cmul 7929   < clt 8106   ≤ cle 8107   − cmin 8242   # cap 8653   / cdiv 8744  ℕcn 9035  ℕ₀cn0 9294  ℤcz 9371  ℝ⁺crp 9774  ↑cexp 10681  abscabs 11250   ⇝ cli 11531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-rp 9775  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-cj 11095  df-re 11096  df-im 11097  df-rsqrt 11251  df-abs 11252  df-clim 11532

This theorem is referenced by:  expcnvre  11756