ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expcnvap0 GIF version

Theorem expcnvap0 11163
Description: A sequence of powers of a complex number 𝐴 with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnvap0.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
expcnvap0.2 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
expcnvap0.0 (𝜑𝐴 # 0)
Assertion
Ref Expression
expcnvap0 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem expcnvap0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9263 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 8985 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 expcnvap0.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
4 expcnvap0.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5 expcnvap0.0 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 # 0)
64, 5absrpclapd 10852 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
76reclt1d 9396 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ 1 < (1 / (abs‘𝐴))))
83, 7mpbid 146 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < (1 / (abs‘𝐴)))
9 1re 7689 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
106rpreccld 9393 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+)
1110rpred 9382 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
12 difrp 9379 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ) → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
139, 11, 12sylancr 408 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
148, 13mpbid 146 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+)
1514rpreccld 9393 . . . . 5 (𝜑 → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ+)
1615rpcnd 9384 . . . 4 (𝜑 → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ)
17 divcnv 11158 . . . 4 ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
1816, 17syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
19 nnex 8636 . . . . 5 ℕ ∈ V
2019mptex 5600 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V
2120a1i 9 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V)
22 simpr 109 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
2316adantr 272 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ)
2422nncnd 8644 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
2522nnap0d 8676 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 # 0)
2623, 24, 25divclapd 8463 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℂ)
27 oveq2 5736 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
28 eqid 2115 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))
2927, 28fvmptg 5451 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
3022, 26, 29syl2anc 406 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
3115rpred 9382 . . . . 5 (𝜑 → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ)
32 nndivre 8666 . . . . 5 (((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
3331, 32sylan 279 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
3430, 33eqeltrd 2191 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
356adantr 272 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
3635rpcnd 9384 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
37 nnnn0 8888 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
3837adantl 273 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3936, 38expcld 10317 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
40 oveq2 5736 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑛) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
41 eqid 2115 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
4240, 41fvmptg 5451 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
4322, 39, 42syl2anc 406 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
44 nnz 8977 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
45 rpexpcl 10205 . . . . . 6 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
466, 44, 45syl2an 285 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
4743, 46eqeltrd 2191 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ+)
4847rpred 9382 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
49 nnrp 9352 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
50 rpmulcl 9367 . . . . . . 7 ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℝ+) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
5114, 49, 50syl2an 285 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
5251rpred 9382 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ)
53 peano2re 7821 . . . . . . . . 9 ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
5452, 53syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
55 rpexpcl 10205 . . . . . . . . . 10 (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
5610, 44, 55syl2an 285 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
5756rpred 9382 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ)
5852lep1d 8599 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1))
5911adantr 272 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
6010rpge0d 9386 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
6160adantr 272 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
62 bernneq2 10306 . . . . . . . . 9 (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴))) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
6359, 38, 61, 62syl3anc 1199 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
6452, 54, 57, 58, 63letrd 7809 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
656rpcnd 9384 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
666rpap0d 9388 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐴) # 0)
67 exprecap 10227 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) # 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
6865, 66, 44, 67syl2an3an 1259 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
6964, 68breqtrd 3919 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
7051, 46, 69lerec2d 9404 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
7114rpcnd 9384 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ)
7214rpap0d 9388 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) # 0)
7371, 72jca 302 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) # 0))
74 nncn 8638 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
75 nnap0 8659 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 # 0)
7674, 75jca 302 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 # 0))
77 recdivap2 8398 . . . . . 6 (((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) # 0) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 # 0)) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
7873, 76, 77syl2an 285 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
7970, 78breqtrrd 3921 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
8079, 43, 303brtr4d 3925 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘))
8147rpge0d 9386 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘))
821, 2, 18, 21, 34, 48, 80, 81climsqz2 10997 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
83 nn0ex 8887 . . . . 5 0 ∈ V
8483mptex 5600 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V
8584a1i 9 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V)
864adantr 272 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8786, 38expcld 10317 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
88 oveq2 5736 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
89 eqid 2115 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
9088, 89fvmptg 5451 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
9138, 87, 90syl2anc 406 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
92 expcl 10204 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
934, 37, 92syl2an 285 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
9491, 93eqeltrd 2191 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
95 absexp 10743 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
964, 37, 95syl2an 285 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
9791fveq2d 5379 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘)) = (abs‘(𝐴𝑘)))
9896, 97, 433eqtr4rd 2158 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘)))
991, 2, 85, 21, 94, 98climabs0 10968 . 2 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0))
10082, 99mpbird 166 1 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1314  wcel 1463  Vcvv 2657   class class class wbr 3895  cmpt 3949  cfv 5081  (class class class)co 5728  cc 7545  cr 7546  0cc0 7547  1c1 7548   + caddc 7550   · cmul 7552   < clt 7724  cle 7725  cmin 7856   # cap 8261   / cdiv 8345  cn 8630  0cn0 8881  cz 8958  +crp 9343  cexp 10185  abscabs 10661  cli 10939
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664  ax-caucvg 7665
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-rp 9344  df-seqfrec 10112  df-exp 10186  df-cj 10507  df-re 10508  df-im 10509  df-rsqrt 10662  df-abs 10663  df-clim 10940
This theorem is referenced by:  expcnvre  11164
  Copyright terms: Public domain W3C validator