ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expcnvap0 GIF version

Theorem expcnvap0 11510
Description: A sequence of powers of a complex number ๐ด with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnvap0.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
expcnvap0.2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)
expcnvap0.0 (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)
Assertion
Ref Expression
expcnvap0 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โ‡ 0)
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘›
Allowed substitution hint:   ๐œ‘(๐‘›)

Proof of Theorem expcnvap0
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9563 . . 3 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2 1zzd 9280 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
3 expcnvap0.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)
4 expcnvap0.1 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5 expcnvap0.0 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)
64, 5absrpclapd 11197 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
76reclt1d 9710 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ด) < 1 โ†” 1 < (1 / (absโ€˜๐ด))))
83, 7mpbid 147 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 < (1 / (absโ€˜๐ด)))
9 1re 7956 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
106rpreccld 9707 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
1110rpred 9696 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
12 difrp 9692 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (1 / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (1 < (1 / (absโ€˜๐ด)) โ†” ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+))
139, 11, 12sylancr 414 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 < (1 / (absโ€˜๐ด)) โ†” ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+))
148, 13mpbid 147 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
1514rpreccld 9707 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„+)
1615rpcnd 9698 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
17 divcnv 11505 . . . 4 ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›)) โ‡ 0)
1816, 17syl 14 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›)) โ‡ 0)
19 nnex 8925 . . . . 5 โ„• โˆˆ V
2019mptex 5743 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) โˆˆ V
2120a1i 9 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) โˆˆ V)
22 simpr 110 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
2316adantr 276 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
2422nncnd 8933 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
2522nnap0d 8965 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ # 0)
2623, 24, 25divclapd 8747 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
27 oveq2 5883 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›) = ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜))
28 eqid 2177 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›))
2927, 28fvmptg 5593 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜))
3022, 26, 29syl2anc 411 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜))
3115rpred 9696 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
32 nndivre 8955 . . . . 5 (((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
3331, 32sylan 283 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
3430, 33eqeltrd 2254 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
356adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
3635rpcnd 9698 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
37 nnnn0 9183 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
3837adantl 277 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
3936, 38expcld 10654 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
40 oveq2 5883 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
41 eqid 2177 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))
4240, 41fvmptg 5593 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
4322, 39, 42syl2anc 411 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
44 nnz 9272 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
45 rpexpcl 10539 . . . . . 6 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
466, 44, 45syl2an 289 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
4743, 46eqeltrd 2254 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„+)
4847rpred 9696 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
49 nnrp 9663 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„+)
50 rpmulcl 9678 . . . . . . 7 ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„+) โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„+)
5114, 49, 50syl2an 289 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„+)
5251rpred 9696 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
53 peano2re 8093 . . . . . . . . 9 ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„ โ†’ ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„)
5452, 53syl 14 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„)
55 rpexpcl 10539 . . . . . . . . . 10 (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
5610, 44, 55syl2an 289 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
5756rpred 9696 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
5852lep1d 8888 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โ‰ค ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) + 1))
5911adantr 276 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
6010rpge0d 9700 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (1 / (absโ€˜๐ด)))
6160adantr 276 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (absโ€˜๐ด)))
62 bernneq2 10642 . . . . . . . . 9 (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง 0 โ‰ค (1 / (absโ€˜๐ด))) โ†’ ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) + 1) โ‰ค ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜))
6359, 38, 61, 62syl3anc 1238 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) + 1) โ‰ค ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜))
6452, 54, 57, 58, 63letrd 8081 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โ‰ค ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜))
656rpcnd 9698 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
666rpap0d 9702 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) # 0)
67 exprecap 10561 . . . . . . . 8 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) # 0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜) = (1 / ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
6865, 66, 44, 67syl2an3an 1298 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜) = (1 / ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
6964, 68breqtrd 4030 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โ‰ค (1 / ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
7051, 46, 69lerec2d 9718 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ‰ค (1 / (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜)))
7114rpcnd 9698 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
7214rpap0d 9702 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) # 0)
7371, 72jca 306 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚ โˆง ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) # 0))
74 nncn 8927 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
75 nnap0 8948 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ # 0)
7674, 75jca 306 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ # 0))
77 recdivap2 8682 . . . . . 6 (((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚ โˆง ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) # 0) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ # 0)) โ†’ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜) = (1 / (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜)))
7873, 76, 77syl2an 289 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜) = (1 / (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜)))
7970, 78breqtrrd 4032 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ‰ค ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜))
8079, 43, 303brtr4d 4036 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) โ‰ค ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›))โ€˜๐‘˜))
8147rpge0d 9700 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜))
821, 2, 18, 21, 34, 48, 80, 81climsqz2 11344 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) โ‡ 0)
83 nn0ex 9182 . . . . 5 โ„•0 โˆˆ V
8483mptex 5743 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โˆˆ V
8584a1i 9 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โˆˆ V)
864adantr 276 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8786, 38expcld 10654 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
88 oveq2 5883 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
89 eqid 2177 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))
9088, 89fvmptg 5593 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
9138, 87, 90syl2anc 411 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
92 expcl 10538 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
934, 37, 92syl2an 289 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
9491, 93eqeltrd 2254 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
95 absexp 11088 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
964, 37, 95syl2an 289 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
9791fveq2d 5520 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜)) = (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)))
9896, 97, 433eqtr4rd 2221 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (absโ€˜((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜)))
991, 2, 85, 21, 94, 98climabs0 11315 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โ‡ 0 โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) โ‡ 0))
10082, 99mpbird 167 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โ‡ 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  Vcvv 2738   class class class wbr 4004   โ†ฆ cmpt 4065  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  โ„cr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   ยท cmul 7816   < clt 7992   โ‰ค cle 7993   โˆ’ cmin 8128   # cap 8538   / cdiv 8629  โ„•cn 8919  โ„•0cn0 9176  โ„คcz 9253  โ„+crp 9653  โ†‘cexp 10519  abscabs 11006   โ‡ cli 11286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-rp 9654  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287
This theorem is referenced by:  expcnvre  11511
  Copyright terms: Public domain W3C validator