ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expcnvap0 GIF version

Theorem expcnvap0 11494
Description: A sequence of powers of a complex number 𝐴 with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnvap0.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
expcnvap0.2 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
expcnvap0.0 (𝜑𝐴 # 0)
Assertion
Ref Expression
expcnvap0 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem expcnvap0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9552 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 9269 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 expcnvap0.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
4 expcnvap0.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5 expcnvap0.0 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 # 0)
64, 5absrpclapd 11181 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
76reclt1d 9697 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ 1 < (1 / (abs‘𝐴))))
83, 7mpbid 147 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < (1 / (abs‘𝐴)))
9 1re 7947 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
106rpreccld 9694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+)
1110rpred 9683 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
12 difrp 9679 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ) → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
139, 11, 12sylancr 414 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
148, 13mpbid 147 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+)
1514rpreccld 9694 . . . . 5 (𝜑 → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ+)
1615rpcnd 9685 . . . 4 (𝜑 → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ)
17 divcnv 11489 . . . 4 ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
1816, 17syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
19 nnex 8914 . . . . 5 ℕ ∈ V
2019mptex 5738 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V
2120a1i 9 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V)
22 simpr 110 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
2316adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ)
2422nncnd 8922 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
2522nnap0d 8954 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 # 0)
2623, 24, 25divclapd 8736 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℂ)
27 oveq2 5877 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
28 eqid 2177 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))
2927, 28fvmptg 5588 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
3022, 26, 29syl2anc 411 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
3115rpred 9683 . . . . 5 (𝜑 → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ)
32 nndivre 8944 . . . . 5 (((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
3331, 32sylan 283 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
3430, 33eqeltrd 2254 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
356adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
3635rpcnd 9685 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
37 nnnn0 9172 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
3837adantl 277 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3936, 38expcld 10639 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
40 oveq2 5877 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑛) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
41 eqid 2177 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
4240, 41fvmptg 5588 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
4322, 39, 42syl2anc 411 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
44 nnz 9261 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
45 rpexpcl 10525 . . . . . 6 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
466, 44, 45syl2an 289 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
4743, 46eqeltrd 2254 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ+)
4847rpred 9683 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
49 nnrp 9650 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
50 rpmulcl 9665 . . . . . . 7 ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℝ+) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
5114, 49, 50syl2an 289 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
5251rpred 9683 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ)
53 peano2re 8083 . . . . . . . . 9 ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
5452, 53syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
55 rpexpcl 10525 . . . . . . . . . 10 (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
5610, 44, 55syl2an 289 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
5756rpred 9683 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ)
5852lep1d 8877 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1))
5911adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
6010rpge0d 9687 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
6160adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
62 bernneq2 10627 . . . . . . . . 9 (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴))) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
6359, 38, 61, 62syl3anc 1238 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
6452, 54, 57, 58, 63letrd 8071 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
656rpcnd 9685 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
666rpap0d 9689 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐴) # 0)
67 exprecap 10547 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) # 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
6865, 66, 44, 67syl2an3an 1298 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
6964, 68breqtrd 4026 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
7051, 46, 69lerec2d 9705 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
7114rpcnd 9685 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ)
7214rpap0d 9689 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) # 0)
7371, 72jca 306 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) # 0))
74 nncn 8916 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
75 nnap0 8937 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 # 0)
7674, 75jca 306 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 # 0))
77 recdivap2 8671 . . . . . 6 (((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) # 0) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 # 0)) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
7873, 76, 77syl2an 289 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
7970, 78breqtrrd 4028 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
8079, 43, 303brtr4d 4032 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘))
8147rpge0d 9687 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘))
821, 2, 18, 21, 34, 48, 80, 81climsqz2 11328 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
83 nn0ex 9171 . . . . 5 0 ∈ V
8483mptex 5738 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V
8584a1i 9 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V)
864adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8786, 38expcld 10639 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
88 oveq2 5877 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
89 eqid 2177 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
9088, 89fvmptg 5588 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
9138, 87, 90syl2anc 411 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
92 expcl 10524 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
934, 37, 92syl2an 289 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
9491, 93eqeltrd 2254 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
95 absexp 11072 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
964, 37, 95syl2an 289 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
9791fveq2d 5515 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘)) = (abs‘(𝐴𝑘)))
9896, 97, 433eqtr4rd 2221 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘)))
991, 2, 85, 21, 94, 98climabs0 11299 . 2 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0))
10082, 99mpbird 167 1 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737   class class class wbr 4000  cmpt 4061  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982  cle 7983  cmin 8118   # cap 8528   / cdiv 8618  cn 8908  0cn0 9165  cz 9242  +crp 9640  cexp 10505  abscabs 10990  cli 11270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271
This theorem is referenced by:  expcnvre  11495
  Copyright terms: Public domain W3C validator