ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expcnvap0 GIF version

Theorem expcnvap0 10892
Description: A sequence of powers of a complex number 𝐴 with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnvap0.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
expcnvap0.2 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
expcnvap0.0 (𝜑𝐴 # 0)
Assertion
Ref Expression
expcnvap0 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem expcnvap0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9052 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 8775 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 expcnvap0.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
4 expcnvap0.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5 expcnvap0.0 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 # 0)
64, 5absrpclapd 10617 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
76reclt1d 9185 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ 1 < (1 / (abs‘𝐴))))
83, 7mpbid 145 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < (1 / (abs‘𝐴)))
9 1re 7485 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
106rpreccld 9182 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+)
1110rpred 9171 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
12 difrp 9168 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ) → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
139, 11, 12sylancr 405 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
148, 13mpbid 145 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+)
1514rpreccld 9182 . . . . 5 (𝜑 → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ+)
1615rpcnd 9173 . . . 4 (𝜑 → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ)
17 divcnv 10887 . . . 4 ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
1816, 17syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
19 nnex 8426 . . . . 5 ℕ ∈ V
2019mptex 5523 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V
2120a1i 9 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V)
22 simpr 108 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
2316adantr 270 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ)
2422nncnd 8434 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
2522nnap0d 8466 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 # 0)
2623, 24, 25divclapd 8255 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℂ)
27 oveq2 5660 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
28 eqid 2088 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))
2927, 28fvmptg 5380 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
3022, 26, 29syl2anc 403 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
3115rpred 9171 . . . . 5 (𝜑 → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ)
32 nndivre 8456 . . . . 5 (((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
3331, 32sylan 277 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
3430, 33eqeltrd 2164 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
356adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
3635rpcnd 9173 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
37 nnnn0 8678 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
3837adantl 271 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3936, 38expcld 10082 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
40 oveq2 5660 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑛) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
41 eqid 2088 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
4240, 41fvmptg 5380 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
4322, 39, 42syl2anc 403 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
44 nnz 8767 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
45 rpexpcl 9970 . . . . . 6 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
466, 44, 45syl2an 283 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
4743, 46eqeltrd 2164 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ+)
4847rpred 9171 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
49 nnrp 9141 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
50 rpmulcl 9156 . . . . . . 7 ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℝ+) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
5114, 49, 50syl2an 283 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
5251rpred 9171 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ)
53 peano2re 7616 . . . . . . . . 9 ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
5452, 53syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
55 rpexpcl 9970 . . . . . . . . . 10 (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
5610, 44, 55syl2an 283 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
5756rpred 9171 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ)
5852lep1d 8390 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1))
5911adantr 270 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
6010rpge0d 9175 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
6160adantr 270 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
62 bernneq2 10071 . . . . . . . . 9 (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴))) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
6359, 38, 61, 62syl3anc 1174 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
6452, 54, 57, 58, 63letrd 7605 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
656rpcnd 9173 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
666rpap0d 9177 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐴) # 0)
67 exprecap 9992 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) # 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
6865, 66, 44, 67syl2an3an 1234 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
6964, 68breqtrd 3869 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
7051, 46, 69lerec2d 9193 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
7114rpcnd 9173 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ)
7214rpap0d 9177 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) # 0)
7371, 72jca 300 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) # 0))
74 nncn 8428 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
75 nnap0 8449 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 # 0)
7674, 75jca 300 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 # 0))
77 recdivap2 8190 . . . . . 6 (((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) # 0) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 # 0)) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
7873, 76, 77syl2an 283 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
7970, 78breqtrrd 3871 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
8079, 43, 303brtr4d 3875 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘))
8147rpge0d 9175 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘))
821, 2, 18, 21, 34, 48, 80, 81climsqz2 10720 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
83 nn0ex 8677 . . . . 5 0 ∈ V
8483mptex 5523 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V
8584a1i 9 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V)
864adantr 270 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8786, 38expcld 10082 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
88 oveq2 5660 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
89 eqid 2088 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
9088, 89fvmptg 5380 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
9138, 87, 90syl2anc 403 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
92 expcl 9969 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
934, 37, 92syl2an 283 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
9491, 93eqeltrd 2164 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
95 absexp 10508 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
964, 37, 95syl2an 283 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
9791fveq2d 5309 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘)) = (abs‘(𝐴𝑘)))
9896, 97, 433eqtr4rd 2131 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘)))
991, 2, 85, 21, 94, 98climabs0 10692 . 2 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0))
10082, 99mpbird 165 1 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438  Vcvv 2619   class class class wbr 3845  cmpt 3899  cfv 5015  (class class class)co 5652  cc 7346  cr 7347  0cc0 7348  1c1 7349   + caddc 7351   · cmul 7353   < clt 7520  cle 7521  cmin 7651   # cap 8056   / cdiv 8137  cn 8420  0cn0 8671  cz 8748  +crp 9132  cexp 9950  abscabs 10426  cli 10662
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461  ax-arch 7462  ax-caucvg 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-3 8480  df-4 8481  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-rp 9133  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951  df-cj 10272  df-re 10273  df-im 10274  df-rsqrt 10427  df-abs 10428  df-clim 10663
This theorem is referenced by:  expcnvre  10893
  Copyright terms: Public domain W3C validator