Theorem expcnvap0 12188

Description: A sequence of powers of a complex number 𝐴 with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcnvap0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcnvap0.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
expcnvap0.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Assertion

Ref	Expression
expcnvap0	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem expcnvap0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9890	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 9604	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		expcnvap0.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
4		expcnvap0.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5		expcnvap0.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
6	4, 5	absrpclapd 11873	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
7	6	reclt1d 10043	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ 1 < (1 / (abs‘𝐴))))
8	3, 7	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < (1 / (abs‘𝐴)))
9		1re 8273	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
10	6	rpreccld 10040	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+)
11	10	rpred 10029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
12		difrp 10025	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ) → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
13	9, 11, 12	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
14	8, 13	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+)
15	14	rpreccld 10040	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ+)
16	15	rpcnd 10031	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ)
17		divcnv 12183	. . . 4 ⊢ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
18	16, 17	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
19		nnex 9243	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
20	19	mptex 5912	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V
21	20	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V)
22		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
23	16	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ)
24	22	nncnd 9251	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
25	22	nnap0d 9283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 # 0)
26	23, 24, 25	divclapd 9064	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℂ)
27		oveq2 6058	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
28		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))
29	27, 28	fvmptg 5753	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
30	22, 26, 29	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
31	15	rpred 10029	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ)
32		nndivre 9273	. . . . 5 ⊢ (((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
33	31, 32	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
34	30, 33	eqeltrd 2309	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
35	6	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
36	35	rpcnd 10031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
37		nnnn0 9503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39	36, 38	expcld 11035	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
40		oveq2 6058	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑛) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
41		eqid 2232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
42	40, 41	fvmptg 5753	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
43	22, 39, 42	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
44		nnz 9596	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
45		rpexpcl 10920	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
46	6, 44, 45	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
47	43, 46	eqeltrd 2309	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ+)
48	47	rpred 10029	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
49		nnrp 9996	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
50		rpmulcl 10011	. . . . . . 7 ⊢ ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℝ+) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
51	14, 49, 50	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
52	51	rpred 10029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ)
53		peano2re 8409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
55		rpexpcl 10920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
56	10, 44, 55	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
57	56	rpred 10029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ)
58	52	lep1d 9205	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1))
59	11	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
60	10	rpge0d 10033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
61	60	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
62		bernneq2 11023	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴))) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
63	59, 38, 61, 62	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
64	52, 54, 57, 58, 63	letrd 8397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
65	6	rpcnd 10031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
66	6	rpap0d 10035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) # 0)
67		exprecap 10942	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) # 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
68	65, 66, 44, 67	syl2an3an 1335	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
69	64, 68	breqtrd 4135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
70	51, 46, 69	lerec2d 10051	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
71	14	rpcnd 10031	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ)
72	14	rpap0d 10035	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) # 0)
73	71, 72	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) # 0))
74		nncn 9245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
75		nnap0 9266	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 # 0)
76	74, 75	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 # 0))
77		recdivap2 8999	. . . . . 6 ⊢ (((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) # 0) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 # 0)) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
78	73, 76, 77	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
79	70, 78	breqtrrd 4137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
80	79, 43, 30	3brtr4d 4141	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘))
81	47	rpge0d 10033	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘))
82	1, 2, 18, 21, 34, 48, 80, 81	climsqz2 12021	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
83		nn0ex 9502	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
84	83	mptex 5912	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V
85	84	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V)
86	4	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
87	86, 38	expcld 11035	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
88		oveq2 6058	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
89		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
90	88, 89	fvmptg 5753	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
91	38, 87, 90	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
92		expcl 10919	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
93	4, 37, 92	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
94	91, 93	eqeltrd 2309	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
95		absexp 11764	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
96	4, 37, 95	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
97	91	fveq2d 5674	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘)) = (abs‘(𝐴↑𝑘)))
98	96, 97, 43	3eqtr4rd 2276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘)))
99	1, 2, 85, 21, 94, 98	climabs0 11992	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0))
100	82, 99	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813   class class class wbr 4109   ↦ cmpt 4171  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  ℂcc 8125  ℝcr 8126  0cc0 8127  1c1 8128   + caddc 8130   · cmul 8132   < clt 8308   ≤ cle 8309   − cmin 8444   # cap 8855   / cdiv 8946  ℕcn 9237  ℕ₀cn0 9496  ℤcz 9577  ℝ⁺crp 9986  ↑cexp 10900  abscabs 11682   ⇝ cli 11963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-rp 9987  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-clim 11964

This theorem is referenced by:  expcnvre  12189