Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvgcmp2nlemabs GIF version

Theorem cvgcmp2nlemabs 14436
Description: Lemma for cvgcmp2n 14437. The partial sums get closer to each other as we go further out. The proof proceeds by rewriting (seq1( + , 𝐺)‘𝑁) as the sum of (seq1( + , 𝐺)‘𝑀) and a term which gets smaller as 𝑀 gets large. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgcmp2n.cl ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
cvgcmp2n.ge0 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺𝑘))
cvgcmp2n.lt ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
cvgcmp2nlemabs.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
cvgcmp2nlemabs.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
cvgcmp2nlemabs (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐺)‘𝑀))) < (2 / 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem cvgcmp2nlemabs
StepHypRef Expression
1 eqidd 2178 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
2 cvgcmp2nlemabs.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 cvgcmp2nlemabs.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 eluznn 9589 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
52, 3, 4syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 elnnuz 9553 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
75, 6sylib 122 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
8 elnnuz 9553 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
9 cvgcmp2n.cl . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
109recnd 7976 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
118, 10sylan2br 288 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
121, 7, 11fsum3ser 11389 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺𝑘) = (seq1( + , 𝐺)‘𝑁))
13 nnuz 9552 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
142, 13eleqtrdi 2270 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘1))
151, 14, 11fsum3ser 11389 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐺𝑘) = (seq1( + , 𝐺)‘𝑀))
1612, 15oveq12d 5887 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺𝑘) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐺𝑘)) = ((seq1( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐺)‘𝑀)))
172nnred 8921 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
1817ltp1d 8876 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 < (𝑀 + 1))
19 fzdisj 10038 . . . . . . . . . 10 (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
2018, 19syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
21 eluzle 9529 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
223, 21syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀𝑁)
23 elfz1b 10076 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁))
242, 5, 22, 23syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (1...𝑁))
25 fzsplit 10037 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
2624, 25syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝑁) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
27 1zzd 9269 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
285nnzd 9363 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2927, 28fzfigd 10417 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
30 elfznn 10040 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
3130, 10sylan2 286 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3220, 26, 29, 31fsumsplit 11399 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐺𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘)))
3332eqcomd 2183 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐺𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺𝑘))
3429, 31fsumcl 11392 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺𝑘) ∈ ℂ)
352nnzd 9363 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3627, 35fzfigd 10417 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
37 elfznn 10040 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ)
3837, 10sylan2 286 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3936, 38fsumcl 11392 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐺𝑘) ∈ ℂ)
4035peano2zd 9367 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
4140, 28fzfigd 10417 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin)
422peano2nnd 8923 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
43 elfzuz 10007 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
44 eluznn 9589 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
4542, 43, 44syl2an 289 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
4645, 10syldan 282 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
4741, 46fsumcl 11392 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘) ∈ ℂ)
4834, 39, 47subaddd 8276 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺𝑘) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐺𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘) ↔ (Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐺𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺𝑘)))
4933, 48mpbird 167 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺𝑘) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐺𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘))
5016, 49eqtr3d 2212 . . . . 5 (𝜑 → ((seq1( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐺)‘𝑀)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘))
5145, 9syldan 282 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
5241, 51fsumrecl 11393 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘) ∈ ℝ)
5350, 52eqeltrd 2254 . . . 4 (𝜑 → ((seq1( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐺)‘𝑀)) ∈ ℝ)
5442nnzd 9363 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
5554, 28fzfigd 10417 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin)
56 cvgcmp2n.ge0 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺𝑘))
5745, 56syldan 282 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐺𝑘))
5855, 51, 57fsumge0 11451 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘))
5958, 50breqtrrd 4028 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((seq1( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐺)‘𝑀)))
6053, 59absidd 11160 . . 3 (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐺)‘𝑀))) = ((seq1( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐺)‘𝑀)))
6160, 50eqtrd 2210 . 2 (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐺)‘𝑀))) = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘))
62 halfre 9121 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℝ
6362a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
6442nnnn0d 9218 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
6563, 64reexpcld 10656 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
665peano2nnd 8923 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
6766nnnn0d 9218 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
6863, 67reexpcld 10656 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / 2)↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
6965, 68resubcld 8328 . . . 4 (𝜑 → (((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
70 1mhlfehlf 9126 . . . . . 6 (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
71 2rp 9645 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
72 rpreccl 9667 . . . . . . 7 (2 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
7371, 72ax-mp 5 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ+
7470, 73eqeltri 2250 . . . . 5 (1 − (1 / 2)) ∈ ℝ+
7574a1i 9 . . . 4 (𝜑 → (1 − (1 / 2)) ∈ ℝ+)
7669, 75rerpdivcld 9715 . . 3 (𝜑 → ((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) / (1 − (1 / 2))) ∈ ℝ)
7771a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
782nnrpd 9681 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
7977, 78rpdivcld 9701 . . . 4 (𝜑 → (2 / 𝑀) ∈ ℝ+)
8079rpred 9683 . . 3 (𝜑 → (2 / 𝑀) ∈ ℝ)
8171a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 2 ∈ ℝ+)
8245nnzd 9363 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
8381, 82rpexpcld 10663 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
8483rprecred 9695 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
85 cvgcmp2n.lt . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
8645, 85syldan 282 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐺𝑘) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
8741, 51, 84, 86fsumle 11455 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(1 / (2↑𝑘)))
88 2cnd 8981 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 2 ∈ ℂ)
8981rpap0d 9689 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 2 # 0)
9088, 89, 82exprecapd 10647 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ((1 / 2)↑𝑘) = (1 / (2↑𝑘)))
9190eqcomd 2183 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (1 / (2↑𝑘)) = ((1 / 2)↑𝑘))
9291sumeq2dv 11360 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(1 / (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((1 / 2)↑𝑘))
9387, 92breqtrd 4026 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((1 / 2)↑𝑘))
94 fzval3 10190 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) = ((𝑀 + 1)..^(𝑁 + 1)))
9528, 94syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) = ((𝑀 + 1)..^(𝑁 + 1)))
9695sumeq1d 11358 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((1 / 2)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^(𝑁 + 1))((1 / 2)↑𝑘))
9793, 96breqtrd 4026 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^(𝑁 + 1))((1 / 2)↑𝑘))
98 halfcn 9122 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℂ
9998a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
100 1re 7947 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
101 halflt1 9125 . . . . . . 7 (1 / 2) < 1
10262, 100, 101ltapii 8582 . . . . . 6 (1 / 2) # 1
103102a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 2) # 1)
104 eluzp1p1 9542 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
1053, 104syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
10699, 103, 64, 105geosergap 11498 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^(𝑁 + 1))((1 / 2)↑𝑘) = ((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) / (1 − (1 / 2))))
10797, 106breqtrd 4026 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘) ≤ ((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) / (1 − (1 / 2))))
10873a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ+)
10928peano2zd 9367 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
110108, 109rpexpcld 10663 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2)↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
111110rpred 9683 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 2)↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
11265, 111resubcld 8328 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
1132nnrecred 8955 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
11465, 110ltsubrpd 9716 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) < ((1 / 2)↑(𝑀 + 1)))
115 2cnd 8981 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
11677rpap0d 9689 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 # 0)
117115, 116, 40exprecapd 10647 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) = (1 / (2↑(𝑀 + 1))))
11842nnred 8921 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
11977, 40rpexpcld 10663 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ+)
120119rpred 9683 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
121 2z 9270 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
122 uzid 9531 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
123121, 122ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ (ℤ‘2)
124123a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ (ℤ‘2))
125 bernneq3 10628 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) < (2↑(𝑀 + 1)))
126124, 64, 125syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 + 1) < (2↑(𝑀 + 1)))
12717, 118, 120, 18, 126lttrd 8073 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 < (2↑(𝑀 + 1)))
12878, 119ltrecd 9702 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 < (2↑(𝑀 + 1)) ↔ (1 / (2↑(𝑀 + 1))) < (1 / 𝑀)))
129127, 128mpbid 147 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / (2↑(𝑀 + 1))) < (1 / 𝑀))
130117, 129eqbrtrd 4022 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) < (1 / 𝑀))
131112, 65, 113, 114, 130lttrd 8073 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) < (1 / 𝑀))
132112, 113, 77, 131ltmul1dd 9739 . . . 4 (𝜑 → ((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) · 2) < ((1 / 𝑀) · 2))
13370oveq2i 5880 . . . . . 6 ((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) / (1 − (1 / 2))) = ((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) / (1 / 2))
134112recnd 7976 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
135 1cnd 7964 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
136 1ap0 8537 . . . . . . . 8 1 # 0
137136a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 # 0)
138134, 135, 115, 137, 116divdivap2d 8769 . . . . . 6 (𝜑 → ((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) / (1 / 2)) = (((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) · 2) / 1))
139133, 138eqtrid 2222 . . . . 5 (𝜑 → ((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) / (1 − (1 / 2))) = (((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) · 2) / 1))
140134, 115mulcld 7968 . . . . . 6 (𝜑 → ((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) · 2) ∈ ℂ)
141140div1d 8726 . . . . 5 (𝜑 → (((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) · 2) / 1) = ((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) · 2))
142139, 141eqtrd 2210 . . . 4 (𝜑 → ((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) / (1 − (1 / 2))) = ((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) · 2))
14317recnd 7976 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1442nnap0d 8954 . . . . 5 (𝜑𝑀 # 0)
145115, 143, 144divrecap2d 8740 . . . 4 (𝜑 → (2 / 𝑀) = ((1 / 𝑀) · 2))
146132, 142, 1453brtr4d 4032 . . 3 (𝜑 → ((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) / (1 − (1 / 2))) < (2 / 𝑀))
14752, 76, 80, 107, 146lelttrd 8072 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘) < (2 / 𝑀))
14861, 147eqbrtrd 4022 1 (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐺)‘𝑀))) < (2 / 𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  cun 3127  cin 3128  c0 3422   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982  cle 7983  cmin 8118   # cap 8528   / cdiv 8618  cn 8908  2c2 8959  0cn0 9165  cz 9242  cuz 9517  +crp 9640  ...cfz 9995  ..^cfzo 10128  seqcseq 10431  cexp 10505  abscabs 10990  Σcsu 11345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-ico 9881  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346
This theorem is referenced by:  cvgcmp2n  14437
  Copyright terms: Public domain W3C validator