Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvgcmp2nlemabs GIF version

Theorem cvgcmp2nlemabs 14865
Description: Lemma for cvgcmp2n 14866. The partial sums get closer to each other as we go further out. The proof proceeds by rewriting (seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘) as the sum of (seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘€) and a term which gets smaller as ๐‘€ gets large. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgcmp2n.cl ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
cvgcmp2n.ge0 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐บโ€˜๐‘˜))
cvgcmp2n.lt ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โ‰ค (1 / (2โ†‘๐‘˜)))
cvgcmp2nlemabs.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
cvgcmp2nlemabs.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
Assertion
Ref Expression
cvgcmp2nlemabs (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘) โˆ’ (seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘€))) < (2 / ๐‘€))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐บ   ๐‘˜,๐‘€   ๐‘˜,๐‘   ๐œ‘,๐‘˜

Proof of Theorem cvgcmp2nlemabs
StepHypRef Expression
1 eqidd 2178 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (๐บโ€˜๐‘˜))
2 cvgcmp2nlemabs.m . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
3 cvgcmp2nlemabs.n . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
4 eluznn 9602 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
52, 3, 4syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
6 elnnuz 9566 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†” ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
75, 6sylib 122 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
8 elnnuz 9566 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†” ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
9 cvgcmp2n.cl . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
109recnd 7988 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
118, 10sylan2br 288 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
121, 7, 11fsum3ser 11407 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐บโ€˜๐‘˜) = (seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘))
13 nnuz 9565 . . . . . . . . 9 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
142, 13eleqtrdi 2270 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
151, 14, 11fsum3ser 11407 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐บโ€˜๐‘˜) = (seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘€))
1612, 15oveq12d 5895 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐บโ€˜๐‘˜) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐บโ€˜๐‘˜)) = ((seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘) โˆ’ (seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘€)))
172nnred 8934 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
1817ltp1d 8889 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ < (๐‘€ + 1))
19 fzdisj 10054 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ < (๐‘€ + 1) โ†’ ((1...๐‘€) โˆฉ ((๐‘€ + 1)...๐‘)) = โˆ…)
2018, 19syl 14 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((1...๐‘€) โˆฉ ((๐‘€ + 1)...๐‘)) = โˆ…)
21 eluzle 9542 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘)
223, 21syl 14 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘)
23 elfz1b 10092 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ (1...๐‘) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘))
242, 5, 22, 23syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (1...๐‘))
25 fzsplit 10053 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (1...๐‘) = ((1...๐‘€) โˆช ((๐‘€ + 1)...๐‘)))
2624, 25syl 14 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘) = ((1...๐‘€) โˆช ((๐‘€ + 1)...๐‘)))
27 1zzd 9282 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
285nnzd 9376 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2927, 28fzfigd 10433 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
30 elfznn 10056 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
3130, 10sylan2 286 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3220, 26, 29, 31fsumsplit 11417 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐บโ€˜๐‘˜) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐บโ€˜๐‘˜) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)(๐บโ€˜๐‘˜)))
3332eqcomd 2183 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐บโ€˜๐‘˜) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)(๐บโ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐บโ€˜๐‘˜))
3429, 31fsumcl 11410 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
352nnzd 9376 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3627, 35fzfigd 10433 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘€) โˆˆ Fin)
37 elfznn 10056 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
3837, 10sylan2 286 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3936, 38fsumcl 11410 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4035peano2zd 9380 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค)
4140, 28fzfigd 10433 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1)...๐‘) โˆˆ Fin)
422peano2nnd 8936 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„•)
43 elfzuz 10023 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1)))
44 eluznn 9602 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
4542, 43, 44syl2an 289 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
4645, 10syldan 282 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4741, 46fsumcl 11410 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)(๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4834, 39, 47subaddd 8288 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐บโ€˜๐‘˜) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐บโ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)(๐บโ€˜๐‘˜) โ†” (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐บโ€˜๐‘˜) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)(๐บโ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐บโ€˜๐‘˜)))
4933, 48mpbird 167 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐บโ€˜๐‘˜) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐บโ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)(๐บโ€˜๐‘˜))
5016, 49eqtr3d 2212 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘) โˆ’ (seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘€)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)(๐บโ€˜๐‘˜))
5145, 9syldan 282 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
5241, 51fsumrecl 11411 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)(๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
5350, 52eqeltrd 2254 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘) โˆ’ (seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘€)) โˆˆ โ„)
5442nnzd 9376 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค)
5554, 28fzfigd 10433 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1)...๐‘) โˆˆ Fin)
56 cvgcmp2n.ge0 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐บโ€˜๐‘˜))
5745, 56syldan 282 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค (๐บโ€˜๐‘˜))
5855, 51, 57fsumge0 11469 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)(๐บโ€˜๐‘˜))
5958, 50breqtrrd 4033 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘) โˆ’ (seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘€)))
6053, 59absidd 11178 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘) โˆ’ (seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘€))) = ((seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘) โˆ’ (seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘€)))
6160, 50eqtrd 2210 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘) โˆ’ (seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘€))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)(๐บโ€˜๐‘˜))
62 halfre 9134 . . . . . . 7 (1 / 2) โˆˆ โ„
6362a1i 9 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
6442nnnn0d 9231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„•0)
6563, 64reexpcld 10673 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘€ + 1)) โˆˆ โ„)
665peano2nnd 8936 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•)
6766nnnn0d 9231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
6863, 67reexpcld 10673 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„)
6965, 68resubcld 8340 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2)โ†‘(๐‘€ + 1)) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ + 1))) โˆˆ โ„)
70 1mhlfehlf 9139 . . . . . 6 (1 โˆ’ (1 / 2)) = (1 / 2)
71 2rp 9660 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„+
72 rpreccl 9682 . . . . . . 7 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„+)
7371, 72ax-mp 5 . . . . . 6 (1 / 2) โˆˆ โ„+
7470, 73eqeltri 2250 . . . . 5 (1 โˆ’ (1 / 2)) โˆˆ โ„+
7574a1i 9 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (1 / 2)) โˆˆ โ„+)
7669, 75rerpdivcld 9730 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((1 / 2)โ†‘(๐‘€ + 1)) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ + 1))) / (1 โˆ’ (1 / 2))) โˆˆ โ„)
7771a1i 9 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
782nnrpd 9696 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
7977, 78rpdivcld 9716 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2 / ๐‘€) โˆˆ โ„+)
8079rpred 9698 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (2 / ๐‘€) โˆˆ โ„)
8171a1i 9 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
8245nnzd 9376 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
8381, 82rpexpcld 10680 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
8483rprecred 9710 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)) โ†’ (1 / (2โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
85 cvgcmp2n.lt . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โ‰ค (1 / (2โ†‘๐‘˜)))
8645, 85syldan 282 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โ‰ค (1 / (2โ†‘๐‘˜)))
8741, 51, 84, 86fsumle 11473 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)(๐บโ€˜๐‘˜) โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)(1 / (2โ†‘๐‘˜)))
88 2cnd 8994 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
8981rpap0d 9704 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)) โ†’ 2 # 0)
9088, 89, 82exprecapd 10664 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜) = (1 / (2โ†‘๐‘˜)))
9190eqcomd 2183 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)) โ†’ (1 / (2โ†‘๐‘˜)) = ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))
9291sumeq2dv 11378 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)(1 / (2โ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)((1 / 2)โ†‘๐‘˜))
9387, 92breqtrd 4031 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)(๐บโ€˜๐‘˜) โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)((1 / 2)โ†‘๐‘˜))
94 fzval3 10206 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ + 1)...๐‘) = ((๐‘€ + 1)..^(๐‘ + 1)))
9528, 94syl 14 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1)...๐‘) = ((๐‘€ + 1)..^(๐‘ + 1)))
9695sumeq1d 11376 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)((1 / 2)โ†‘๐‘˜) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^(๐‘ + 1))((1 / 2)โ†‘๐‘˜))
9793, 96breqtrd 4031 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)(๐บโ€˜๐‘˜) โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^(๐‘ + 1))((1 / 2)โ†‘๐‘˜))
98 halfcn 9135 . . . . . 6 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
9998a1i 9 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
100 1re 7958 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
101 halflt1 9138 . . . . . . 7 (1 / 2) < 1
10262, 100, 101ltapii 8594 . . . . . 6 (1 / 2) # 1
103102a1i 9 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) # 1)
104 eluzp1p1 9555 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1)))
1053, 104syl 14 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1)))
10699, 103, 64, 105geosergap 11516 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^(๐‘ + 1))((1 / 2)โ†‘๐‘˜) = ((((1 / 2)โ†‘(๐‘€ + 1)) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ + 1))) / (1 โˆ’ (1 / 2))))
10797, 106breqtrd 4031 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)(๐บโ€˜๐‘˜) โ‰ค ((((1 / 2)โ†‘(๐‘€ + 1)) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ + 1))) / (1 โˆ’ (1 / 2))))
10873a1i 9 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„+)
10928peano2zd 9380 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค)
110108, 109rpexpcld 10680 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„+)
111110rpred 9698 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„)
11265, 111resubcld 8340 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2)โ†‘(๐‘€ + 1)) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ + 1))) โˆˆ โ„)
1132nnrecred 8968 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐‘€) โˆˆ โ„)
11465, 110ltsubrpd 9731 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2)โ†‘(๐‘€ + 1)) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ + 1))) < ((1 / 2)โ†‘(๐‘€ + 1)))
115 2cnd 8994 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
11677rpap0d 9704 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 # 0)
117115, 116, 40exprecapd 10664 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘€ + 1)) = (1 / (2โ†‘(๐‘€ + 1))))
11842nnred 8934 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„)
11977, 40rpexpcld 10680 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘(๐‘€ + 1)) โˆˆ โ„+)
120119rpred 9698 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘(๐‘€ + 1)) โˆˆ โ„)
121 2z 9283 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„ค
122 uzid 9544 . . . . . . . . . . . 12 (2 โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
123121, 122ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)
124123a1i 9 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
125 bernneq3 10645 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + 1) < (2โ†‘(๐‘€ + 1)))
126124, 64, 125syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) < (2โ†‘(๐‘€ + 1)))
12717, 118, 120, 18, 126lttrd 8085 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ < (2โ†‘(๐‘€ + 1)))
12878, 119ltrecd 9717 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ < (2โ†‘(๐‘€ + 1)) โ†” (1 / (2โ†‘(๐‘€ + 1))) < (1 / ๐‘€)))
129127, 128mpbid 147 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 / (2โ†‘(๐‘€ + 1))) < (1 / ๐‘€))
130117, 129eqbrtrd 4027 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘€ + 1)) < (1 / ๐‘€))
131112, 65, 113, 114, 130lttrd 8085 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2)โ†‘(๐‘€ + 1)) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ + 1))) < (1 / ๐‘€))
132112, 113, 77, 131ltmul1dd 9754 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((1 / 2)โ†‘(๐‘€ + 1)) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ + 1))) ยท 2) < ((1 / ๐‘€) ยท 2))
13370oveq2i 5888 . . . . . 6 ((((1 / 2)โ†‘(๐‘€ + 1)) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ + 1))) / (1 โˆ’ (1 / 2))) = ((((1 / 2)โ†‘(๐‘€ + 1)) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ + 1))) / (1 / 2))
134112recnd 7988 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2)โ†‘(๐‘€ + 1)) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ + 1))) โˆˆ โ„‚)
135 1cnd 7975 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
136 1ap0 8549 . . . . . . . 8 1 # 0
137136a1i 9 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 # 0)
138134, 135, 115, 137, 116divdivap2d 8782 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((1 / 2)โ†‘(๐‘€ + 1)) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ + 1))) / (1 / 2)) = (((((1 / 2)โ†‘(๐‘€ + 1)) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ + 1))) ยท 2) / 1))
139133, 138eqtrid 2222 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((1 / 2)โ†‘(๐‘€ + 1)) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ + 1))) / (1 โˆ’ (1 / 2))) = (((((1 / 2)โ†‘(๐‘€ + 1)) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ + 1))) ยท 2) / 1))
140134, 115mulcld 7980 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((1 / 2)โ†‘(๐‘€ + 1)) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ + 1))) ยท 2) โˆˆ โ„‚)
141140div1d 8739 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((((1 / 2)โ†‘(๐‘€ + 1)) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ + 1))) ยท 2) / 1) = ((((1 / 2)โ†‘(๐‘€ + 1)) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ + 1))) ยท 2))
142139, 141eqtrd 2210 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((1 / 2)โ†‘(๐‘€ + 1)) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ + 1))) / (1 โˆ’ (1 / 2))) = ((((1 / 2)โ†‘(๐‘€ + 1)) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ + 1))) ยท 2))
14317recnd 7988 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
1442nnap0d 8967 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ # 0)
145115, 143, 144divrecap2d 8753 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2 / ๐‘€) = ((1 / ๐‘€) ยท 2))
146132, 142, 1453brtr4d 4037 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((1 / 2)โ†‘(๐‘€ + 1)) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ + 1))) / (1 โˆ’ (1 / 2))) < (2 / ๐‘€))
14752, 76, 80, 107, 146lelttrd 8084 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)(๐บโ€˜๐‘˜) < (2 / ๐‘€))
14861, 147eqbrtrd 4027 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘) โˆ’ (seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘€))) < (2 / ๐‘€))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โˆช cun 3129   โˆฉ cin 3130  โˆ…c0 3424   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811  โ„cr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   ยท cmul 7818   < clt 7994   โ‰ค cle 7995   โˆ’ cmin 8130   # cap 8540   / cdiv 8631  โ„•cn 8921  2c2 8972  โ„•0cn0 9178  โ„คcz 9255  โ„คโ‰ฅcuz 9530  โ„+crp 9655  ...cfz 10010  ..^cfzo 10144  seqcseq 10447  โ†‘cexp 10521  abscabs 11008  ฮฃcsu 11363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-ico 9896  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-sumdc 11364
This theorem is referenced by:  cvgcmp2n  14866
  Copyright terms: Public domain W3C validator