Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvgcmp2nlemabs GIF version

Theorem cvgcmp2nlemabs 14716
Description: Lemma for cvgcmp2n 14717. The partial sums get closer to each other as we go further out. The proof proceeds by rewriting (seq1( + , 𝐺)‘𝑁) as the sum of (seq1( + , 𝐺)‘𝑀) and a term which gets smaller as 𝑀 gets large. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgcmp2n.cl ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
cvgcmp2n.ge0 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺𝑘))
cvgcmp2n.lt ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
cvgcmp2nlemabs.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
cvgcmp2nlemabs.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
cvgcmp2nlemabs (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐺)‘𝑀))) < (2 / 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem cvgcmp2nlemabs
StepHypRef Expression
1 eqidd 2178 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
2 cvgcmp2nlemabs.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 cvgcmp2nlemabs.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 eluznn 9599 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
52, 3, 4syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 elnnuz 9563 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
75, 6sylib 122 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
8 elnnuz 9563 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
9 cvgcmp2n.cl . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
109recnd 7985 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
118, 10sylan2br 288 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
121, 7, 11fsum3ser 11404 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺𝑘) = (seq1( + , 𝐺)‘𝑁))
13 nnuz 9562 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
142, 13eleqtrdi 2270 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘1))
151, 14, 11fsum3ser 11404 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐺𝑘) = (seq1( + , 𝐺)‘𝑀))
1612, 15oveq12d 5892 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺𝑘) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐺𝑘)) = ((seq1( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐺)‘𝑀)))
172nnred 8931 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
1817ltp1d 8886 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 < (𝑀 + 1))
19 fzdisj 10051 . . . . . . . . . 10 (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
2018, 19syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
21 eluzle 9539 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
223, 21syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀𝑁)
23 elfz1b 10089 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁))
242, 5, 22, 23syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (1...𝑁))
25 fzsplit 10050 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
2624, 25syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝑁) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
27 1zzd 9279 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
285nnzd 9373 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2927, 28fzfigd 10430 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
30 elfznn 10053 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
3130, 10sylan2 286 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3220, 26, 29, 31fsumsplit 11414 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐺𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘)))
3332eqcomd 2183 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐺𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺𝑘))
3429, 31fsumcl 11407 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺𝑘) ∈ ℂ)
352nnzd 9373 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3627, 35fzfigd 10430 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
37 elfznn 10053 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ)
3837, 10sylan2 286 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3936, 38fsumcl 11407 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐺𝑘) ∈ ℂ)
4035peano2zd 9377 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
4140, 28fzfigd 10430 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin)
422peano2nnd 8933 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
43 elfzuz 10020 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
44 eluznn 9599 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
4542, 43, 44syl2an 289 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
4645, 10syldan 282 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
4741, 46fsumcl 11407 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘) ∈ ℂ)
4834, 39, 47subaddd 8285 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺𝑘) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐺𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘) ↔ (Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐺𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺𝑘)))
4933, 48mpbird 167 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺𝑘) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐺𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘))
5016, 49eqtr3d 2212 . . . . 5 (𝜑 → ((seq1( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐺)‘𝑀)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘))
5145, 9syldan 282 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
5241, 51fsumrecl 11408 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘) ∈ ℝ)
5350, 52eqeltrd 2254 . . . 4 (𝜑 → ((seq1( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐺)‘𝑀)) ∈ ℝ)
5442nnzd 9373 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
5554, 28fzfigd 10430 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin)
56 cvgcmp2n.ge0 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺𝑘))
5745, 56syldan 282 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐺𝑘))
5855, 51, 57fsumge0 11466 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘))
5958, 50breqtrrd 4031 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((seq1( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐺)‘𝑀)))
6053, 59absidd 11175 . . 3 (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐺)‘𝑀))) = ((seq1( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐺)‘𝑀)))
6160, 50eqtrd 2210 . 2 (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐺)‘𝑀))) = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘))
62 halfre 9131 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℝ
6362a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
6442nnnn0d 9228 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
6563, 64reexpcld 10670 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
665peano2nnd 8933 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
6766nnnn0d 9228 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
6863, 67reexpcld 10670 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / 2)↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
6965, 68resubcld 8337 . . . 4 (𝜑 → (((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
70 1mhlfehlf 9136 . . . . . 6 (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
71 2rp 9657 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
72 rpreccl 9679 . . . . . . 7 (2 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
7371, 72ax-mp 5 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ+
7470, 73eqeltri 2250 . . . . 5 (1 − (1 / 2)) ∈ ℝ+
7574a1i 9 . . . 4 (𝜑 → (1 − (1 / 2)) ∈ ℝ+)
7669, 75rerpdivcld 9727 . . 3 (𝜑 → ((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) / (1 − (1 / 2))) ∈ ℝ)
7771a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
782nnrpd 9693 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
7977, 78rpdivcld 9713 . . . 4 (𝜑 → (2 / 𝑀) ∈ ℝ+)
8079rpred 9695 . . 3 (𝜑 → (2 / 𝑀) ∈ ℝ)
8171a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 2 ∈ ℝ+)
8245nnzd 9373 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
8381, 82rpexpcld 10677 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
8483rprecred 9707 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
85 cvgcmp2n.lt . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
8645, 85syldan 282 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐺𝑘) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
8741, 51, 84, 86fsumle 11470 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(1 / (2↑𝑘)))
88 2cnd 8991 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 2 ∈ ℂ)
8981rpap0d 9701 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 2 # 0)
9088, 89, 82exprecapd 10661 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ((1 / 2)↑𝑘) = (1 / (2↑𝑘)))
9190eqcomd 2183 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (1 / (2↑𝑘)) = ((1 / 2)↑𝑘))
9291sumeq2dv 11375 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(1 / (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((1 / 2)↑𝑘))
9387, 92breqtrd 4029 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((1 / 2)↑𝑘))
94 fzval3 10203 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) = ((𝑀 + 1)..^(𝑁 + 1)))
9528, 94syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) = ((𝑀 + 1)..^(𝑁 + 1)))
9695sumeq1d 11373 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((1 / 2)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^(𝑁 + 1))((1 / 2)↑𝑘))
9793, 96breqtrd 4029 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^(𝑁 + 1))((1 / 2)↑𝑘))
98 halfcn 9132 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℂ
9998a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
100 1re 7955 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
101 halflt1 9135 . . . . . . 7 (1 / 2) < 1
10262, 100, 101ltapii 8591 . . . . . 6 (1 / 2) # 1
103102a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 2) # 1)
104 eluzp1p1 9552 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
1053, 104syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
10699, 103, 64, 105geosergap 11513 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^(𝑁 + 1))((1 / 2)↑𝑘) = ((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) / (1 − (1 / 2))))
10797, 106breqtrd 4029 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘) ≤ ((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) / (1 − (1 / 2))))
10873a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ+)
10928peano2zd 9377 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
110108, 109rpexpcld 10677 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2)↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
111110rpred 9695 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 2)↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
11265, 111resubcld 8337 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
1132nnrecred 8965 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
11465, 110ltsubrpd 9728 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) < ((1 / 2)↑(𝑀 + 1)))
115 2cnd 8991 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
11677rpap0d 9701 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 # 0)
117115, 116, 40exprecapd 10661 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) = (1 / (2↑(𝑀 + 1))))
11842nnred 8931 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
11977, 40rpexpcld 10677 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ+)
120119rpred 9695 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
121 2z 9280 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
122 uzid 9541 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
123121, 122ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ (ℤ‘2)
124123a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ (ℤ‘2))
125 bernneq3 10642 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) < (2↑(𝑀 + 1)))
126124, 64, 125syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 + 1) < (2↑(𝑀 + 1)))
12717, 118, 120, 18, 126lttrd 8082 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 < (2↑(𝑀 + 1)))
12878, 119ltrecd 9714 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 < (2↑(𝑀 + 1)) ↔ (1 / (2↑(𝑀 + 1))) < (1 / 𝑀)))
129127, 128mpbid 147 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / (2↑(𝑀 + 1))) < (1 / 𝑀))
130117, 129eqbrtrd 4025 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) < (1 / 𝑀))
131112, 65, 113, 114, 130lttrd 8082 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) < (1 / 𝑀))
132112, 113, 77, 131ltmul1dd 9751 . . . 4 (𝜑 → ((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) · 2) < ((1 / 𝑀) · 2))
13370oveq2i 5885 . . . . . 6 ((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) / (1 − (1 / 2))) = ((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) / (1 / 2))
134112recnd 7985 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
135 1cnd 7972 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
136 1ap0 8546 . . . . . . . 8 1 # 0
137136a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 # 0)
138134, 135, 115, 137, 116divdivap2d 8779 . . . . . 6 (𝜑 → ((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) / (1 / 2)) = (((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) · 2) / 1))
139133, 138eqtrid 2222 . . . . 5 (𝜑 → ((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) / (1 − (1 / 2))) = (((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) · 2) / 1))
140134, 115mulcld 7977 . . . . . 6 (𝜑 → ((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) · 2) ∈ ℂ)
141140div1d 8736 . . . . 5 (𝜑 → (((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) · 2) / 1) = ((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) · 2))
142139, 141eqtrd 2210 . . . 4 (𝜑 → ((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) / (1 − (1 / 2))) = ((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) · 2))
14317recnd 7985 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1442nnap0d 8964 . . . . 5 (𝜑𝑀 # 0)
145115, 143, 144divrecap2d 8750 . . . 4 (𝜑 → (2 / 𝑀) = ((1 / 𝑀) · 2))
146132, 142, 1453brtr4d 4035 . . 3 (𝜑 → ((((1 / 2)↑(𝑀 + 1)) − ((1 / 2)↑(𝑁 + 1))) / (1 − (1 / 2))) < (2 / 𝑀))
14752, 76, 80, 107, 146lelttrd 8081 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐺𝑘) < (2 / 𝑀))
14861, 147eqbrtrd 4025 1 (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐺)‘𝑀))) < (2 / 𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  cun 3127  cin 3128  c0 3422   class class class wbr 4003  cfv 5216  (class class class)co 5874  cc 7808  cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   · cmul 7815   < clt 7991  cle 7992  cmin 8127   # cap 8537   / cdiv 8628  cn 8918  2c2 8969  0cn0 9175  cz 9252  cuz 9527  +crp 9652  ...cfz 10007  ..^cfzo 10141  seqcseq 10444  cexp 10518  abscabs 11005  Σcsu 11360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-ico 9893  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-ihash 10755  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-sumdc 11361
This theorem is referenced by:  cvgcmp2n  14717
  Copyright terms: Public domain W3C validator