ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exp3vallem GIF version
Theorem exp3vallem 10521
Description: Lemma for exp3val 10522. If we take a complex number apart from zero and raise it to a positive integer power, the result is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
exp3vallem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
exp3vallem.ap (πœ‘ β†’ 𝐴 # 0)
exp3vallem.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
exp3vallem (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘) # 0)
Proof of Theorem exp3vallem
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑦 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exp3vallem.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2 fveq2 5516 . . . . 5 (𝑀 = 1 β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘€) = (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜1))
32breq1d 4014 . . . 4 (𝑀 = 1 β†’ ((seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘€) # 0 ↔ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜1) # 0))
43imbi2d 230 . . 3 (𝑀 = 1 β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘€) # 0) ↔ (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜1) # 0)))
5 fveq2 5516 . . . . 5 (𝑀 = π‘˜ β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘€) = (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘˜))
65breq1d 4014 . . . 4 (𝑀 = π‘˜ β†’ ((seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘€) # 0 ↔ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘˜) # 0))
76imbi2d 230 . . 3 (𝑀 = π‘˜ β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘€) # 0) ↔ (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘˜) # 0)))
8 fveq2 5516 . . . . 5 (𝑀 = (π‘˜ + 1) β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘€) = (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜(π‘˜ + 1)))
98breq1d 4014 . . . 4 (𝑀 = (π‘˜ + 1) β†’ ((seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘€) # 0 ↔ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜(π‘˜ + 1)) # 0))
109imbi2d 230 . . 3 (𝑀 = (π‘˜ + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘€) # 0) ↔ (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜(π‘˜ + 1)) # 0)))
11 fveq2 5516 . . . . 5 (𝑀 = 𝑁 β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘€) = (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘))
1211breq1d 4014 . . . 4 (𝑀 = 𝑁 β†’ ((seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘€) # 0 ↔ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘) # 0))
1312imbi2d 230 . . 3 (𝑀 = 𝑁 β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘€) # 0) ↔ (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘) # 0)))
14 1zzd 9280 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
15 exp3vallem.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
16 elnnuz 9564 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„• ↔ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
1716biimpri 133 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
18 fvconst2g 5731 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {𝐴})β€˜π‘₯) = 𝐴)
1915, 17, 18syl2an 289 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((β„• Γ— {𝐴})β€˜π‘₯) = 𝐴)
2015adantr 276 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2119, 20eqeltrd 2254 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((β„• Γ— {𝐴})β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
22 mulcl 7938 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
2322adantl 277 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
2414, 21, 23seq3-1 10460 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜1) = ((β„• Γ— {𝐴})β€˜1))
25 1nn 8930 . . . . . 6 1 ∈ β„•
26 fvconst2g 5731 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {𝐴})β€˜1) = 𝐴)
2715, 25, 26sylancl 413 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β„• Γ— {𝐴})β€˜1) = 𝐴)
2824, 27eqtrd 2210 . . . 4 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜1) = 𝐴)
29 exp3vallem.ap . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 # 0)
3028, 29eqbrtrd 4026 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜1) # 0)
31 nnuz 9563 . . . . . . . . . . 11 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
3216, 21sylan2b 287 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {𝐴})β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3331, 14, 32, 23seqf 10461 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴})):β„•βŸΆβ„‚)
3433adantl 277 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ πœ‘) β†’ seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴})):β„•βŸΆβ„‚)
35 simpl 109 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ πœ‘) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
3634, 35ffvelcdmd 5653 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ πœ‘) β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3736adantr 276 . . . . . . 7 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ πœ‘) ∧ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘˜) # 0) β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3815ad2antlr 489 . . . . . . 7 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ πœ‘) ∧ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘˜) # 0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
39 simpr 110 . . . . . . 7 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ πœ‘) ∧ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘˜) # 0) β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘˜) # 0)
4029ad2antlr 489 . . . . . . 7 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ πœ‘) ∧ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘˜) # 0) β†’ 𝐴 # 0)
4137, 38, 39, 40mulap0d 8615 . . . . . 6 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ πœ‘) ∧ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘˜) # 0) β†’ ((seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘˜) Β· 𝐴) # 0)
42 elnnuz 9564 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
4342biimpi 120 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
4443adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ πœ‘) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
4521adantll 476 . . . . . . . . . 10 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ πœ‘) ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((β„• Γ— {𝐴})β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4622adantl 277 . . . . . . . . . 10 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ πœ‘) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
4744, 45, 46seq3p1 10462 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ πœ‘) β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘˜) Β· ((β„• Γ— {𝐴})β€˜(π‘˜ + 1))))
4835peano2nnd 8934 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ πœ‘) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
49 fvconst2g 5731 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {𝐴})β€˜(π‘˜ + 1)) = 𝐴)
5015, 48, 49syl2an2 594 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ πœ‘) β†’ ((β„• Γ— {𝐴})β€˜(π‘˜ + 1)) = 𝐴)
5150oveq2d 5891 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ πœ‘) β†’ ((seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘˜) Β· ((β„• Γ— {𝐴})β€˜(π‘˜ + 1))) = ((seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘˜) Β· 𝐴))
5247, 51eqtrd 2210 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ πœ‘) β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘˜) Β· 𝐴))
5352breq1d 4014 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ πœ‘) β†’ ((seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜(π‘˜ + 1)) # 0 ↔ ((seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘˜) Β· 𝐴) # 0))
5453adantr 276 . . . . . 6 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ πœ‘) ∧ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘˜) # 0) β†’ ((seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜(π‘˜ + 1)) # 0 ↔ ((seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘˜) Β· 𝐴) # 0))
5541, 54mpbird 167 . . . . 5 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ πœ‘) ∧ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘˜) # 0) β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜(π‘˜ + 1)) # 0)
5655exp31 364 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ ((seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘˜) # 0 β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜(π‘˜ + 1)) # 0)))
5756a2d 26 . . 3 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘˜) # 0) β†’ (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜(π‘˜ + 1)) # 0)))
584, 7, 10, 13, 30, 57nnind 8935 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘) # 0))
591, 58mpcom 36 1 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘) # 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {csn 3593   class class class wbr 4004   Γ— cxp 4625  βŸΆwf 5213  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  β„‚cc 7809  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   Β· cmul 7816   # cap 8538  β„•cn 8919  β„€β‰₯cuz 9528  seqcseq 10445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-seqfrec 10446
This theorem is referenced by:  exp3val  10522
  Copyright terms: Public domain W3C validator