Theorem exp3vallem 10611

Description: Lemma for exp3val 10612. If we take a complex number apart from zero and raise it to a positive integer power, the result is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
exp3vallem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
exp3vallem.ap	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
exp3vallem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
exp3vallem	⊢ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0)

Proof of Theorem exp3vallem

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exp3vallem.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		fveq2 5554	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1))
3	2	breq1d 4039	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 1 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) # 0))
4	3	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 1 → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0) ↔ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) # 0)))
5		fveq2 5554	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘))
6	5	breq1d 4039	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0))
7	6	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0) ↔ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0)))
8		fveq2 5554	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)))
9	8	breq1d 4039	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0))
10	9	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0) ↔ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0)))
11		fveq2 5554	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
12	11	breq1d 4039	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0))
13	12	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0) ↔ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0)))
14		1zzd 9344	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
15		exp3vallem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16		elnnuz 9629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1))
17	16	biimpri 133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑥 ∈ ℕ)
18		fvconst2g 5772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
19	15, 17, 18	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
20	15	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	19, 20	eqeltrd 2270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ)
22		mulcl 7999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
23	22	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
24	14, 21, 23	seq3-1 10533	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) = ((ℕ × {𝐴})‘1))
25		1nn 8993	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
26		fvconst2g 5772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
27	15, 25, 26	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
28	24, 27	eqtrd 2226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) = 𝐴)
29		exp3vallem.ap	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
30	28, 29	eqbrtrd 4051	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) # 0)
31		nnuz 9628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
32	16, 21	sylan2b 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ)
33	31, 14, 32, 23	seqf 10535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → seq1( · , (ℕ × {𝐴})):ℕ⟶ℂ)
34	33	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → seq1( · , (ℕ × {𝐴})):ℕ⟶ℂ)
35		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ ℕ)
36	34, 35	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) ∈ ℂ)
37	36	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) ∈ ℂ)
38	15	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
39		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0)
40	29	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → 𝐴 # 0)
41	37, 38, 39, 40	mulap0d 8677	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴) # 0)
42		elnnuz 9629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
43	42	biimpi 120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
45	21	adantll 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ)
46	22	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
47	44, 45, 46	seq3p1 10536	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))))
48	35	peano2nnd 8997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
49		fvconst2g 5772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1)) = 𝐴)
50	15, 48, 49	syl2an2 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1)) = 𝐴)
51	50	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴))
52	47, 51	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴))
53	52	breq1d 4039	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴) # 0))
54	53	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴) # 0))
55	41, 54	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0)
56	55	exp31 364	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0)))
57	56	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0)))
58	4, 7, 10, 13, 30, 57	nnind 8998	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0))
59	1, 58	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {csn 3618   class class class wbr 4029   × cxp 4657  ⟶wf 5250  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877   # cap 8600  ℕcn 8982  ℤ_≥cuz 9592  seqcseq 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519

This theorem is referenced by:  exp3val  10612