Theorem exp3vallem 10909

Description: Lemma for exp3val 10910. If we take a complex number apart from zero and raise it to a positive integer power, the result is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
exp3vallem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
exp3vallem.ap	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
exp3vallem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
exp3vallem	⊢ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0)

Proof of Theorem exp3vallem

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exp3vallem.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		fveq2 5672	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1))
3	2	breq1d 4121	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 1 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) # 0))
4	3	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 1 → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0) ↔ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) # 0)))
5		fveq2 5672	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘))
6	5	breq1d 4121	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0))
7	6	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0) ↔ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0)))
8		fveq2 5672	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)))
9	8	breq1d 4121	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0))
10	9	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0) ↔ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0)))
11		fveq2 5672	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
12	11	breq1d 4121	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0))
13	12	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0) ↔ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0)))
14		1zzd 9609	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
15		exp3vallem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16		elnnuz 9897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1))
17	16	biimpri 133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑥 ∈ ℕ)
18		fvconst2g 5900	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
19	15, 17, 18	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
20	15	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	19, 20	eqeltrd 2311	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ)
22		mulcl 8259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
23	22	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
24	14, 21, 23	seq3-1 10831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) = ((ℕ × {𝐴})‘1))
25		1nn 9253	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
26		fvconst2g 5900	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
27	15, 25, 26	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
28	24, 27	eqtrd 2267	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) = 𝐴)
29		exp3vallem.ap	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
30	28, 29	eqbrtrd 4133	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) # 0)
31		nnuz 9896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
32	16, 21	sylan2b 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ)
33	31, 14, 32, 23	seqf 10833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → seq1( · , (ℕ × {𝐴})):ℕ⟶ℂ)
34	33	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → seq1( · , (ℕ × {𝐴})):ℕ⟶ℂ)
35		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ ℕ)
36	34, 35	ffvelcdmd 5815	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) ∈ ℂ)
37	36	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) ∈ ℂ)
38	15	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
39		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0)
40	29	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → 𝐴 # 0)
41	37, 38, 39, 40	mulap0d 8937	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴) # 0)
42		elnnuz 9897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
43	42	biimpi 120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
45	21	adantll 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ)
46	22	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
47	44, 45, 46	seq3p1 10834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))))
48	35	peano2nnd 9257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
49		fvconst2g 5900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1)) = 𝐴)
50	15, 48, 49	syl2an2 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1)) = 𝐴)
51	50	oveq2d 6068	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴))
52	47, 51	eqtrd 2267	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴))
53	52	breq1d 4121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴) # 0))
54	53	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴) # 0))
55	41, 54	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0)
56	55	exp31 364	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0)))
57	56	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0)))
58	4, 7, 10, 13, 30, 57	nnind 9258	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0))
59	1, 58	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {csn 3691   class class class wbr 4111   × cxp 4749  ⟶wf 5350  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  ℂcc 8130  0cc0 8132  1c1 8133   + caddc 8135   · cmul 8137   # cap 8860  ℕcn 9242  ℤ_≥cuz 9859  seqcseq 10816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-inn 9243  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-seqfrec 10817

This theorem is referenced by:  exp3val  10910