Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exp3vallem GIF version

Theorem exp3vallem 10318
 Description: Lemma for exp3val 10319. If we take a complex number apart from zero and raise it to a positive integer power, the result is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
exp3vallem.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
exp3vallem.ap (𝜑𝐴 # 0)
exp3vallem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
exp3vallem (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0)

Proof of Theorem exp3vallem
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exp3vallem.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 fveq2 5424 . . . . 5 (𝑤 = 1 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1))
32breq1d 3942 . . . 4 (𝑤 = 1 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) # 0))
43imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 1 → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0) ↔ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) # 0)))
5 fveq2 5424 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘))
65breq1d 3942 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0))
76imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0) ↔ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0)))
8 fveq2 5424 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)))
98breq1d 3942 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0))
109imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0) ↔ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0)))
11 fveq2 5424 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
1211breq1d 3942 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0))
1312imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0) ↔ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0)))
14 1zzd 9100 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
15 exp3vallem.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
16 elnnuz 9381 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ ↔ 𝑥 ∈ (ℤ‘1))
1716biimpri 132 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ‘1) → 𝑥 ∈ ℕ)
18 fvconst2g 5637 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
1915, 17, 18syl2an 287 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
2015adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2119, 20eqeltrd 2216 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ)
22 mulcl 7766 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
2322adantl 275 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
2414, 21, 23seq3-1 10257 . . . . 5 (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) = ((ℕ × {𝐴})‘1))
25 1nn 8750 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
26 fvconst2g 5637 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
2715, 25, 26sylancl 409 . . . . 5 (𝜑 → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
2824, 27eqtrd 2172 . . . 4 (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) = 𝐴)
29 exp3vallem.ap . . . 4 (𝜑𝐴 # 0)
3028, 29eqbrtrd 3953 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) # 0)
31 nnuz 9380 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
3216, 21sylan2b 285 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ)
3331, 14, 32, 23seqf 10258 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → seq1( · , (ℕ × {𝐴})):ℕ⟶ℂ)
3433adantl 275 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → seq1( · , (ℕ × {𝐴})):ℕ⟶ℂ)
35 simpl 108 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ ℕ)
3634, 35ffvelrnd 5559 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) ∈ ℂ)
3736adantr 274 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) ∈ ℂ)
3815ad2antlr 480 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
39 simpr 109 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0)
4029ad2antlr 480 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → 𝐴 # 0)
4137, 38, 39, 40mulap0d 8438 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴) # 0)
42 elnnuz 9381 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
4342biimpi 119 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
4443adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
4521adantll 467 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ)
4622adantl 275 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
4744, 45, 46seq3p1 10259 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))))
4835peano2nnd 8754 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
49 fvconst2g 5637 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1)) = 𝐴)
5015, 48, 49syl2an2 583 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1)) = 𝐴)
5150oveq2d 5793 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴))
5247, 51eqtrd 2172 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴))
5352breq1d 3942 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴) # 0))
5453adantr 274 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴) # 0))
5541, 54mpbird 166 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0)
5655exp31 361 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0)))
5756a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0)))
584, 7, 10, 13, 30, 57nnind 8755 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0))
591, 58mpcom 36 1 (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {csn 3527   class class class wbr 3932   × cxp 4540  ⟶wf 5122  ‘cfv 5126  (class class class)co 5777  ℂcc 7637  0cc0 7639  1c1 7640   + caddc 7642   · cmul 7644   # cap 8362  ℕcn 8739  ℤ≥cuz 9345  seqcseq 10242 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-mulrcl 7738  ax-addcom 7739  ax-mulcom 7740  ax-addass 7741  ax-mulass 7742  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-1rid 7746  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-precex 7749  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-apti 7754  ax-pre-ltadd 7755  ax-pre-mulgt0 7756  ax-pre-mulext 7757 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-po 4221  df-iso 4222  df-iord 4291  df-on 4293  df-ilim 4294  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-recs 6205  df-frec 6291  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-reap 8356  df-ap 8363  df-inn 8740  df-n0 8997  df-z 9074  df-uz 9346  df-seqfrec 10243 This theorem is referenced by:  exp3val  10319
 Copyright terms: Public domain W3C validator