Theorem exp3vallem 10456

Description: Lemma for exp3val 10457. If we take a complex number apart from zero and raise it to a positive integer power, the result is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
exp3vallem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
exp3vallem.ap	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
exp3vallem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
exp3vallem	⊢ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0)

Proof of Theorem exp3vallem

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exp3vallem.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		fveq2 5486	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1))
3	2	breq1d 3992	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 1 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) # 0))
4	3	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 1 → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0) ↔ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) # 0)))
5		fveq2 5486	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘))
6	5	breq1d 3992	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0))
7	6	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0) ↔ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0)))
8		fveq2 5486	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)))
9	8	breq1d 3992	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0))
10	9	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0) ↔ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0)))
11		fveq2 5486	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
12	11	breq1d 3992	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0))
13	12	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0) ↔ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0)))
14		1zzd 9218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
15		exp3vallem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16		elnnuz 9502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1))
17	16	biimpri 132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑥 ∈ ℕ)
18		fvconst2g 5699	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
19	15, 17, 18	syl2an 287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
20	15	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	19, 20	eqeltrd 2243	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ)
22		mulcl 7880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
23	22	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
24	14, 21, 23	seq3-1 10395	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) = ((ℕ × {𝐴})‘1))
25		1nn 8868	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
26		fvconst2g 5699	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
27	15, 25, 26	sylancl 410	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
28	24, 27	eqtrd 2198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) = 𝐴)
29		exp3vallem.ap	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
30	28, 29	eqbrtrd 4004	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) # 0)
31		nnuz 9501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
32	16, 21	sylan2b 285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ)
33	31, 14, 32, 23	seqf 10396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → seq1( · , (ℕ × {𝐴})):ℕ⟶ℂ)
34	33	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → seq1( · , (ℕ × {𝐴})):ℕ⟶ℂ)
35		simpl 108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ ℕ)
36	34, 35	ffvelrnd 5621	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) ∈ ℂ)
37	36	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) ∈ ℂ)
38	15	ad2antlr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
39		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0)
40	29	ad2antlr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → 𝐴 # 0)
41	37, 38, 39, 40	mulap0d 8555	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴) # 0)
42		elnnuz 9502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
43	42	biimpi 119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
44	43	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
45	21	adantll 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ)
46	22	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
47	44, 45, 46	seq3p1 10397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))))
48	35	peano2nnd 8872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
49		fvconst2g 5699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1)) = 𝐴)
50	15, 48, 49	syl2an2 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1)) = 𝐴)
51	50	oveq2d 5858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴))
52	47, 51	eqtrd 2198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴))
53	52	breq1d 3992	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴) # 0))
54	53	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴) # 0))
55	41, 54	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0)
56	55	exp31 362	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0)))
57	56	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0)))
58	4, 7, 10, 13, 30, 57	nnind 8873	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0))
59	1, 58	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  {csn 3576   class class class wbr 3982   × cxp 4602  ⟶wf 5184  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   · cmul 7758   # cap 8479  ℕcn 8857  ℤ_≥cuz 9466  seqcseq 10380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-seqfrec 10381

This theorem is referenced by:  exp3val  10457