Theorem exp3vallem 10287

Description: Lemma for exp3val 10288. If we take a complex number apart from zero and raise it to a positive integer power, the result is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
exp3vallem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
exp3vallem.ap	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
exp3vallem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
exp3vallem	⊢ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0)

Proof of Theorem exp3vallem

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exp3vallem.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		fveq2 5414	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1))
3	2	breq1d 3934	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 1 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) # 0))
4	3	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 1 → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0) ↔ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) # 0)))
5		fveq2 5414	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘))
6	5	breq1d 3934	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0))
7	6	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0) ↔ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0)))
8		fveq2 5414	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)))
9	8	breq1d 3934	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0))
10	9	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0) ↔ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0)))
11		fveq2 5414	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
12	11	breq1d 3934	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0))
13	12	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0) ↔ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0)))
14		1zzd 9074	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
15		exp3vallem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16		elnnuz 9355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1))
17	16	biimpri 132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑥 ∈ ℕ)
18		fvconst2g 5627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
19	15, 17, 18	syl2an 287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
20	15	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	19, 20	eqeltrd 2214	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ)
22		mulcl 7740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
23	22	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
24	14, 21, 23	seq3-1 10226	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) = ((ℕ × {𝐴})‘1))
25		1nn 8724	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
26		fvconst2g 5627	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
27	15, 25, 26	sylancl 409	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
28	24, 27	eqtrd 2170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) = 𝐴)
29		exp3vallem.ap	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
30	28, 29	eqbrtrd 3945	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) # 0)
31		nnuz 9354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
32	16, 21	sylan2b 285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ)
33	31, 14, 32, 23	seqf 10227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → seq1( · , (ℕ × {𝐴})):ℕ⟶ℂ)
34	33	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → seq1( · , (ℕ × {𝐴})):ℕ⟶ℂ)
35		simpl 108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ ℕ)
36	34, 35	ffvelrnd 5549	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) ∈ ℂ)
37	36	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) ∈ ℂ)
38	15	ad2antlr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
39		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0)
40	29	ad2antlr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → 𝐴 # 0)
41	37, 38, 39, 40	mulap0d 8412	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴) # 0)
42		elnnuz 9355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
43	42	biimpi 119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
44	43	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
45	21	adantll 467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ)
46	22	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
47	44, 45, 46	seq3p1 10228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))))
48	35	peano2nnd 8728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
49		fvconst2g 5627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1)) = 𝐴)
50	15, 48, 49	syl2an2 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1)) = 𝐴)
51	50	oveq2d 5783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴))
52	47, 51	eqtrd 2170	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴))
53	52	breq1d 3934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴) # 0))
54	53	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴) # 0))
55	41, 54	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0)
56	55	exp31 361	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0)))
57	56	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0)))
58	4, 7, 10, 13, 30, 57	nnind 8729	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0))
59	1, 58	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {csn 3522   class class class wbr 3924   × cxp 4532  ⟶wf 5114  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  0cc0 7613  1c1 7614   + caddc 7616   · cmul 7618   # cap 8336  ℕcn 8713  ℤ_≥cuz 9319  seqcseq 10211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-seqfrec 10212

This theorem is referenced by:  exp3val  10288