ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nninfdclemlt GIF version

Theorem nninfdclemlt 12454
Description: Lemma for nninfdc 12456. The function from nninfdclemf 12452 is strictly monotonic. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfdclemf.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdclemf.dc (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥𝐴)
nninfdclemf.nb (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝐴 𝑚 < 𝑛)
nninfdclemf.j (𝜑 → (𝐽𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
nninfdclemf.f 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
nninfdclemlt.u (𝜑𝑈 ∈ ℕ)
nninfdclemlt.v (𝜑𝑉 ∈ ℕ)
nninfdclemlt.lt (𝜑𝑈 < 𝑉)
Assertion
Ref Expression
nninfdclemlt (𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹𝑉))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴,𝑧   𝑚,𝐹,𝑛   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹,𝑧   𝑖,𝐽   𝑈,𝑖   𝑈,𝑚,𝑛   𝑥,𝑈   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝐽,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑖,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐽(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑖,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem nninfdclemlt
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfdclemlt.u . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℕ)
21peano2nnd 8936 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℕ)
32nnzd 9376 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℤ)
4 nninfdclemlt.v . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ ℕ)
54nnzd 9376 . . . 4 (𝜑𝑉 ∈ ℤ)
6 nninfdclemlt.lt . . . . 5 (𝜑𝑈 < 𝑉)
7 nnltp1le 9315 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ ℕ) → (𝑈 < 𝑉 ↔ (𝑈 + 1) ≤ 𝑉))
81, 4, 7syl2anc 411 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 < 𝑉 ↔ (𝑈 + 1) ≤ 𝑉))
96, 8mpbid 147 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 + 1) ≤ 𝑉)
10 eluz2 9536 . . . 4 (𝑉 ∈ (ℤ‘(𝑈 + 1)) ↔ ((𝑈 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑉 ∈ ℤ ∧ (𝑈 + 1) ≤ 𝑉))
113, 5, 9, 10syl3anbrc 1181 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ (ℤ‘(𝑈 + 1)))
12 eluzfz2 10034 . . 3 (𝑉 ∈ (ℤ‘(𝑈 + 1)) → 𝑉 ∈ ((𝑈 + 1)...𝑉))
1311, 12syl 14 . 2 (𝜑𝑉 ∈ ((𝑈 + 1)...𝑉))
14 fveq2 5517 . . . . 5 (𝑤 = (𝑈 + 1) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝑈 + 1)))
1514breq2d 4017 . . . 4 (𝑤 = (𝑈 + 1) → ((𝐹𝑈) < (𝐹𝑤) ↔ (𝐹𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1))))
1615imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = (𝑈 + 1) → ((𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1)))))
17 fveq2 5517 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑘))
1817breq2d 4017 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹𝑈) < (𝐹𝑤) ↔ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)))
1918imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘))))
20 fveq2 5517 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
2120breq2d 4017 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑈) < (𝐹𝑤) ↔ (𝐹𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1))))
2221imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
23 fveq2 5517 . . . . 5 (𝑤 = 𝑉 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑉))
2423breq2d 4017 . . . 4 (𝑤 = 𝑉 → ((𝐹𝑈) < (𝐹𝑤) ↔ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑉)))
2524imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = 𝑉 → ((𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹𝑉))))
26 nninfdclemf.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
27 nninfdclemf.dc . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥𝐴)
28 nninfdclemf.nb . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝐴 𝑚 < 𝑛)
29 nninfdclemf.j . . . . 5 (𝜑 → (𝐽𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
30 nninfdclemf.f . . . . 5 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
3126, 27, 28, 29, 30, 1nninfdclemp1 12453 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1)))
3231a1i 9 . . 3 (𝑉 ∈ (ℤ‘(𝑈 + 1)) → (𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1))))
3326ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
3426, 27, 28, 29, 30nninfdclemf 12452 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝐴)
3534ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
361ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → 𝑈 ∈ ℕ)
3735, 36ffvelcdmd 5654 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑈) ∈ 𝐴)
3833, 37sseldd 3158 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑈) ∈ ℕ)
3938nnred 8934 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑈) ∈ ℝ)
40 elfzoelz 10149 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉) → 𝑘 ∈ ℤ)
4140ad2antlr 489 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
42 1red 7974 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → 1 ∈ ℝ)
432nnred 8934 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
4443ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
4541zred 9377 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
462nnge1d 8964 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ (𝑈 + 1))
4746ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → 1 ≤ (𝑈 + 1))
48 elfzole1 10157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉) → (𝑈 + 1) ≤ 𝑘)
4948ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → (𝑈 + 1) ≤ 𝑘)
5042, 44, 45, 47, 49letrd 8083 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → 1 ≤ 𝑘)
51 elnnz1 9278 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
5241, 50, 51sylanbrc 417 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5335, 52ffvelcdmd 5654 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐴)
5433, 53sseldd 3158 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ ℕ)
5554nnred 8934 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
5652peano2nnd 8936 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
5735, 56ffvelcdmd 5654 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝐴)
5833, 57sseldd 3158 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
5958nnred 8934 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
60 simpr 110 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘))
6127ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥𝐴)
6228ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝐴 𝑚 < 𝑛)
6329ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → (𝐽𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
6433, 61, 62, 63, 30, 52nninfdclemp1 12453 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
6539, 55, 59, 60, 64lttrd 8085 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
6665ex 115 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) → ((𝐹𝑈) < (𝐹𝑘) → (𝐹𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1))))
6766expcom 116 . . . 4 (𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉) → (𝜑 → ((𝐹𝑈) < (𝐹𝑘) → (𝐹𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
6867a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉) → ((𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹𝑘)) → (𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
6916, 19, 22, 25, 32, 68fzind2 10241 . 2 (𝑉 ∈ ((𝑈 + 1)...𝑉) → (𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹𝑉)))
7013, 69mpcom 36 1 (𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹𝑉))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  cin 3130  wss 3131   class class class wbr 4005  cmpt 4066  wf 5214  cfv 5218  (class class class)co 5877  cmpo 5879  infcinf 6984  cr 7812  1c1 7814   + caddc 7816   < clt 7994  cle 7995  cn 8921  cz 9255  cuz 9530  ...cfz 10010  ..^cfzo 10144  seqcseq 10447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448
This theorem is referenced by:  nninfdclemf1  12455
  Copyright terms: Public domain W3C validator