Theorem nninfdclemlt 12611

Description: Lemma for nninfdc 12613. The function from nninfdclemf 12609 is strictly monotonic. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdclemf.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
nninfdclemf.nb	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
nninfdclemf.j	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
nninfdclemf.f	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
nninfdclemlt.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ)
nninfdclemlt.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ)
nninfdclemlt.lt	⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemlt	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑉))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴,𝑧   𝑚,𝐹,𝑛   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹,𝑧   𝑖,𝐽   𝑈,𝑖   𝑈,𝑚,𝑛   𝑥,𝑈   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝐽,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑖,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐽(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑖,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem nninfdclemlt

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemlt.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ)
2	1	peano2nnd 8999	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℕ)
3	2	nnzd 9441	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℤ)
4		nninfdclemlt.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 9441	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℤ)
6		nninfdclemlt.lt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝑉)
7		nnltp1le 9380	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ ℕ) → (𝑈 < 𝑉 ↔ (𝑈 + 1) ≤ 𝑉))
8	1, 4, 7	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < 𝑉 ↔ (𝑈 + 1) ≤ 𝑉))
9	6, 8	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ≤ 𝑉)
10		eluz2 9601	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝑈 + 1)) ↔ ((𝑈 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑉 ∈ ℤ ∧ (𝑈 + 1) ≤ 𝑉))
11	3, 5, 9, 10	syl3anbrc 1183	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝑈 + 1)))
12		eluzfz2 10101	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝑈 + 1)) → 𝑉 ∈ ((𝑈 + 1)...𝑉))
13	11, 12	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ((𝑈 + 1)...𝑉))
14		fveq2 5555	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑈 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑈 + 1)))
15	14	breq2d 4042	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑈 + 1) → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤) ↔ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1))))
16	15	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑈 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1)))))
17		fveq2 5555	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑘))
18	17	breq2d 4042	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤) ↔ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)))
19	18	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘))))
20		fveq2 5555	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
21	20	breq2d 4042	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤) ↔ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1))))
22	21	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
23		fveq2 5555	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑉 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑉))
24	23	breq2d 4042	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑉 → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤) ↔ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑉)))
25	24	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑉 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑉))))
26		nninfdclemf.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
27		nninfdclemf.dc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
28		nninfdclemf.nb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
29		nninfdclemf.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
30		nninfdclemf.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
31	26, 27, 28, 29, 30, 1	nninfdclemp1 12610	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1)))
32	31	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝑈 + 1)) → (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1))))
33	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
34	26, 27, 28, 29, 30	nninfdclemf 12609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
36	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑈 ∈ ℕ)
37	35, 36	ffvelcdmd 5695	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑈) ∈ 𝐴)
38	33, 37	sseldd 3181	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑈) ∈ ℕ)
39	38	nnred 8997	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑈) ∈ ℝ)
40		elfzoelz 10216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉) → 𝑘 ∈ ℤ)
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
42		1red 8036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 1 ∈ ℝ)
43	2	nnred 8997	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
45	41	zred 9442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
46	2	nnge1d 9027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑈 + 1))
47	46	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 1 ≤ (𝑈 + 1))
48		elfzole1 10225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉) → (𝑈 + 1) ≤ 𝑘)
49	48	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝑈 + 1) ≤ 𝑘)
50	42, 44, 45, 47, 49	letrd 8145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 1 ≤ 𝑘)
51		elnnz1 9343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
52	41, 50, 51	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ)
53	35, 52	ffvelcdmd 5695	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐴)
54	33, 53	sseldd 3181	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℕ)
55	54	nnred 8997	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
56	52	peano2nnd 8999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
57	35, 56	ffvelcdmd 5695	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝐴)
58	33, 57	sseldd 3181	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
59	58	nnred 8997	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
60		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘))
61	27	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
62	28	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
63	29	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
64	33, 61, 62, 63, 30, 52	nninfdclemp1 12610	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
65	39, 55, 59, 60, 64	lttrd 8147	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
66	65	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1))))
67	66	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉) → (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
68	67	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
69	16, 19, 22, 25, 32, 68	fzind2 10309	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ ((𝑈 + 1)...𝑉) → (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑉)))
70	13, 69	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473   ∩ cin 3153   ⊆ wss 3154   class class class wbr 4030   ↦ cmpt 4091  ⟶wf 5251  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919   ∈ cmpo 5921  infcinf 7044  ℝcr 7873  1c1 7875   + caddc 7877   < clt 8056   ≤ cle 8057  ℕcn 8984  ℤcz 9320  ℤ_≥cuz 9595  ...cfz 10077  ..^cfzo 10211  seqcseq 10521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522

This theorem is referenced by:  nninfdclemf1  12612