Theorem nninfdclemlt 13320

Description: Lemma for nninfdc 13322. The function from nninfdclemf 13318 is strictly monotonic. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdclemf.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
nninfdclemf.nb	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
nninfdclemf.j	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
nninfdclemf.f	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
nninfdclemlt.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ)
nninfdclemlt.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ)
nninfdclemlt.lt	⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemlt	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑉))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴,𝑧   𝑚,𝐹,𝑛   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹,𝑧   𝑖,𝐽   𝑈,𝑖   𝑈,𝑚,𝑛   𝑥,𝑈   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝐽,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑖,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐽(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑖,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem nninfdclemlt

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemlt.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ)
2	1	peano2nnd 9298	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℕ)
3	2	nnzd 9746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℤ)
4		nninfdclemlt.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 9746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℤ)
6		nninfdclemlt.lt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝑉)
7		nnltp1le 9684	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ ℕ) → (𝑈 < 𝑉 ↔ (𝑈 + 1) ≤ 𝑉))
8	1, 4, 7	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < 𝑉 ↔ (𝑈 + 1) ≤ 𝑉))
9	6, 8	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ≤ 𝑉)
10		eluz2 9906	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝑈 + 1)) ↔ ((𝑈 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑉 ∈ ℤ ∧ (𝑈 + 1) ≤ 𝑉))
11	3, 5, 9, 10	syl3anbrc 1212	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝑈 + 1)))
12		eluzfz2 10415	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝑈 + 1)) → 𝑉 ∈ ((𝑈 + 1)...𝑉))
13	11, 12	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ((𝑈 + 1)...𝑉))
14		fveq2 5690	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑈 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑈 + 1)))
15	14	breq2d 4137	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑈 + 1) → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤) ↔ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1))))
16	15	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑈 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1)))))
17		fveq2 5690	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑘))
18	17	breq2d 4137	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤) ↔ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)))
19	18	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘))))
20		fveq2 5690	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
21	20	breq2d 4137	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤) ↔ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1))))
22	21	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
23		fveq2 5690	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑉 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑉))
24	23	breq2d 4137	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑉 → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤) ↔ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑉)))
25	24	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑉 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑉))))
26		nninfdclemf.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
27		nninfdclemf.dc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
28		nninfdclemf.nb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
29		nninfdclemf.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
30		nninfdclemf.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
31	26, 27, 28, 29, 30, 1	nninfdclemp1 13319	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1)))
32	31	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝑈 + 1)) → (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1))))
33	26	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
34	26, 27, 28, 29, 30	nninfdclemf 13318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
35	34	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
36	1	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑈 ∈ ℕ)
37	35, 36	ffvelcdmd 5835	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑈) ∈ 𝐴)
38	33, 37	sseldd 3249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑈) ∈ ℕ)
39	38	nnred 9296	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑈) ∈ ℝ)
40		elfzoelz 10532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉) → 𝑘 ∈ ℤ)
41	40	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
42		1red 8331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 1 ∈ ℝ)
43	2	nnred 9296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
44	43	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
45	41	zred 9747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
46	2	nnge1d 9326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑈 + 1))
47	46	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 1 ≤ (𝑈 + 1))
48		elfzole1 10541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉) → (𝑈 + 1) ≤ 𝑘)
49	48	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝑈 + 1) ≤ 𝑘)
50	42, 44, 45, 47, 49	letrd 8440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 1 ≤ 𝑘)
51		elnnz1 9646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
52	41, 50, 51	sylanbrc 421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ)
53	35, 52	ffvelcdmd 5835	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐴)
54	33, 53	sseldd 3249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℕ)
55	54	nnred 9296	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
56	52	peano2nnd 9298	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
57	35, 56	ffvelcdmd 5835	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝐴)
58	33, 57	sseldd 3249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
59	58	nnred 9296	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
60		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘))
61	27	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
62	28	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
63	29	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
64	33, 61, 62, 63, 30, 52	nninfdclemp1 13319	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
65	39, 55, 59, 60, 64	lttrd 8442	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
66	65	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1))))
67	66	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉) → (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
68	67	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
69	16, 19, 22, 25, 32, 68	fzind2 10636	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ ((𝑈 + 1)...𝑉) → (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑉)))
70	13, 69	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4125   ↦ cmpt 4187  ⟶wf 5368  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075   ∈ cmpo 6077  infcinf 7313  ℝcr 8168  1c1 8170   + caddc 8172   < clt 8350   ≤ cle 8351  ℕcn 9283  ℤcz 9623  ℤ_≥cuz 9900  ...cfz 10390  ..^cfzo 10527  seqcseq 10862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863

This theorem is referenced by:  nninfdclemf1  13321