Theorem nninfdclemlt 12452

Description: Lemma for nninfdc 12454. The function from nninfdclemf 12450 is strictly monotonic. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdclemf.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
nninfdclemf.nb	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
nninfdclemf.j	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
nninfdclemf.f	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
nninfdclemlt.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ)
nninfdclemlt.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ)
nninfdclemlt.lt	⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemlt	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑉))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴,𝑧   𝑚,𝐹,𝑛   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹,𝑧   𝑖,𝐽   𝑈,𝑖   𝑈,𝑚,𝑛   𝑥,𝑈   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝐽,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑖,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐽(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑖,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem nninfdclemlt

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemlt.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ)
2	1	peano2nnd 8934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℕ)
3	2	nnzd 9374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℤ)
4		nninfdclemlt.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 9374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℤ)
6		nninfdclemlt.lt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝑉)
7		nnltp1le 9313	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ ℕ) → (𝑈 < 𝑉 ↔ (𝑈 + 1) ≤ 𝑉))
8	1, 4, 7	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < 𝑉 ↔ (𝑈 + 1) ≤ 𝑉))
9	6, 8	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ≤ 𝑉)
10		eluz2 9534	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝑈 + 1)) ↔ ((𝑈 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑉 ∈ ℤ ∧ (𝑈 + 1) ≤ 𝑉))
11	3, 5, 9, 10	syl3anbrc 1181	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝑈 + 1)))
12		eluzfz2 10032	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝑈 + 1)) → 𝑉 ∈ ((𝑈 + 1)...𝑉))
13	11, 12	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ((𝑈 + 1)...𝑉))
14		fveq2 5516	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑈 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑈 + 1)))
15	14	breq2d 4016	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑈 + 1) → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤) ↔ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1))))
16	15	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑈 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1)))))
17		fveq2 5516	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑘))
18	17	breq2d 4016	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤) ↔ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)))
19	18	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘))))
20		fveq2 5516	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
21	20	breq2d 4016	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤) ↔ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1))))
22	21	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
23		fveq2 5516	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑉 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑉))
24	23	breq2d 4016	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑉 → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤) ↔ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑉)))
25	24	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑉 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑉))))
26		nninfdclemf.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
27		nninfdclemf.dc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
28		nninfdclemf.nb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
29		nninfdclemf.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
30		nninfdclemf.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
31	26, 27, 28, 29, 30, 1	nninfdclemp1 12451	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1)))
32	31	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝑈 + 1)) → (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1))))
33	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
34	26, 27, 28, 29, 30	nninfdclemf 12450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
36	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑈 ∈ ℕ)
37	35, 36	ffvelcdmd 5653	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑈) ∈ 𝐴)
38	33, 37	sseldd 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑈) ∈ ℕ)
39	38	nnred 8932	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑈) ∈ ℝ)
40		elfzoelz 10147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉) → 𝑘 ∈ ℤ)
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
42		1red 7972	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 1 ∈ ℝ)
43	2	nnred 8932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
45	41	zred 9375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
46	2	nnge1d 8962	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑈 + 1))
47	46	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 1 ≤ (𝑈 + 1))
48		elfzole1 10155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉) → (𝑈 + 1) ≤ 𝑘)
49	48	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝑈 + 1) ≤ 𝑘)
50	42, 44, 45, 47, 49	letrd 8081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 1 ≤ 𝑘)
51		elnnz1 9276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
52	41, 50, 51	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ)
53	35, 52	ffvelcdmd 5653	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐴)
54	33, 53	sseldd 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℕ)
55	54	nnred 8932	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
56	52	peano2nnd 8934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
57	35, 56	ffvelcdmd 5653	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝐴)
58	33, 57	sseldd 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
59	58	nnred 8932	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
60		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘))
61	27	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
62	28	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
63	29	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
64	33, 61, 62, 63, 30, 52	nninfdclemp1 12451	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
65	39, 55, 59, 60, 64	lttrd 8083	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
66	65	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1))))
67	66	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉) → (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
68	67	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
69	16, 19, 22, 25, 32, 68	fzind2 10239	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ ((𝑈 + 1)...𝑉) → (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑉)))
70	13, 69	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456   ∩ cin 3129   ⊆ wss 3130   class class class wbr 4004   ↦ cmpt 4065  ⟶wf 5213  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875   ∈ cmpo 5877  infcinf 6982  ℝcr 7810  1c1 7812   + caddc 7814   < clt 7992   ≤ cle 7993  ℕcn 8919  ℤcz 9253  ℤ_≥cuz 9528  ...cfz 10008  ..^cfzo 10142  seqcseq 10445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446

This theorem is referenced by:  nninfdclemf1  12453