Theorem nninfdclemlt 13135

Description: Lemma for nninfdc 13137. The function from nninfdclemf 13133 is strictly monotonic. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdclemf.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
nninfdclemf.nb	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
nninfdclemf.j	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
nninfdclemf.f	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
nninfdclemlt.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ)
nninfdclemlt.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ)
nninfdclemlt.lt	⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemlt	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑉))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴,𝑧   𝑚,𝐹,𝑛   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹,𝑧   𝑖,𝐽   𝑈,𝑖   𝑈,𝑚,𝑛   𝑥,𝑈   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝐽,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑖,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐽(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑖,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem nninfdclemlt

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemlt.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ)
2	1	peano2nnd 9200	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℕ)
3	2	nnzd 9645	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℤ)
4		nninfdclemlt.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 9645	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℤ)
6		nninfdclemlt.lt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝑉)
7		nnltp1le 9584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ ℕ) → (𝑈 < 𝑉 ↔ (𝑈 + 1) ≤ 𝑉))
8	1, 4, 7	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < 𝑉 ↔ (𝑈 + 1) ≤ 𝑉))
9	6, 8	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ≤ 𝑉)
10		eluz2 9805	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝑈 + 1)) ↔ ((𝑈 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑉 ∈ ℤ ∧ (𝑈 + 1) ≤ 𝑉))
11	3, 5, 9, 10	syl3anbrc 1208	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝑈 + 1)))
12		eluzfz2 10312	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝑈 + 1)) → 𝑉 ∈ ((𝑈 + 1)...𝑉))
13	11, 12	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ((𝑈 + 1)...𝑉))
14		fveq2 5648	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑈 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑈 + 1)))
15	14	breq2d 4105	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑈 + 1) → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤) ↔ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1))))
16	15	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑈 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1)))))
17		fveq2 5648	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑘))
18	17	breq2d 4105	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤) ↔ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)))
19	18	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘))))
20		fveq2 5648	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
21	20	breq2d 4105	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤) ↔ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1))))
22	21	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
23		fveq2 5648	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑉 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑉))
24	23	breq2d 4105	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑉 → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤) ↔ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑉)))
25	24	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑉 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑉))))
26		nninfdclemf.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
27		nninfdclemf.dc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
28		nninfdclemf.nb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
29		nninfdclemf.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
30		nninfdclemf.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
31	26, 27, 28, 29, 30, 1	nninfdclemp1 13134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1)))
32	31	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝑈 + 1)) → (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1))))
33	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
34	26, 27, 28, 29, 30	nninfdclemf 13133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
36	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑈 ∈ ℕ)
37	35, 36	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑈) ∈ 𝐴)
38	33, 37	sseldd 3229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑈) ∈ ℕ)
39	38	nnred 9198	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑈) ∈ ℝ)
40		elfzoelz 10427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉) → 𝑘 ∈ ℤ)
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
42		1red 8237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 1 ∈ ℝ)
43	2	nnred 9198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
45	41	zred 9646	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
46	2	nnge1d 9228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑈 + 1))
47	46	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 1 ≤ (𝑈 + 1))
48		elfzole1 10436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉) → (𝑈 + 1) ≤ 𝑘)
49	48	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝑈 + 1) ≤ 𝑘)
50	42, 44, 45, 47, 49	letrd 8345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 1 ≤ 𝑘)
51		elnnz1 9546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
52	41, 50, 51	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ)
53	35, 52	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐴)
54	33, 53	sseldd 3229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℕ)
55	54	nnred 9198	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
56	52	peano2nnd 9200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
57	35, 56	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝐴)
58	33, 57	sseldd 3229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
59	58	nnred 9198	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
60		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘))
61	27	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
62	28	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
63	29	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
64	33, 61, 62, 63, 30, 52	nninfdclemp1 13134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
65	39, 55, 59, 60, 64	lttrd 8347	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
66	65	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1))))
67	66	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉) → (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
68	67	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
69	16, 19, 22, 25, 32, 68	fzind2 10531	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ ((𝑈 + 1)...𝑉) → (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑉)))
70	13, 69	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ∃wrex 2512   ∩ cin 3200   ⊆ wss 3201   class class class wbr 4093   ↦ cmpt 4155  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028   ∈ cmpo 6030  infcinf 7225  ℝcr 8074  1c1 8076   + caddc 8078   < clt 8256   ≤ cle 8257  ℕcn 9185  ℤcz 9523  ℤ_≥cuz 9799  ...cfz 10288  ..^cfzo 10422  seqcseq 10755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-seqfrec 10756

This theorem is referenced by:  nninfdclemf1  13136