Theorem nninfdclemlt 12693

Description: Lemma for nninfdc 12695. The function from nninfdclemf 12691 is strictly monotonic. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdclemf.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
nninfdclemf.nb	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
nninfdclemf.j	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
nninfdclemf.f	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
nninfdclemlt.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ)
nninfdclemlt.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ)
nninfdclemlt.lt	⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemlt	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑉))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴,𝑧   𝑚,𝐹,𝑛   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹,𝑧   𝑖,𝐽   𝑈,𝑖   𝑈,𝑚,𝑛   𝑥,𝑈   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝐽,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑖,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐽(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑖,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem nninfdclemlt

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemlt.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ)
2	1	peano2nnd 9022	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℕ)
3	2	nnzd 9464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℤ)
4		nninfdclemlt.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 9464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℤ)
6		nninfdclemlt.lt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝑉)
7		nnltp1le 9403	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ ℕ) → (𝑈 < 𝑉 ↔ (𝑈 + 1) ≤ 𝑉))
8	1, 4, 7	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < 𝑉 ↔ (𝑈 + 1) ≤ 𝑉))
9	6, 8	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ≤ 𝑉)
10		eluz2 9624	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝑈 + 1)) ↔ ((𝑈 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑉 ∈ ℤ ∧ (𝑈 + 1) ≤ 𝑉))
11	3, 5, 9, 10	syl3anbrc 1183	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝑈 + 1)))
12		eluzfz2 10124	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝑈 + 1)) → 𝑉 ∈ ((𝑈 + 1)...𝑉))
13	11, 12	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ((𝑈 + 1)...𝑉))
14		fveq2 5561	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑈 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑈 + 1)))
15	14	breq2d 4046	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑈 + 1) → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤) ↔ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1))))
16	15	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑈 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1)))))
17		fveq2 5561	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑘))
18	17	breq2d 4046	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤) ↔ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)))
19	18	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘))))
20		fveq2 5561	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
21	20	breq2d 4046	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤) ↔ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1))))
22	21	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
23		fveq2 5561	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑉 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑉))
24	23	breq2d 4046	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑉 → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤) ↔ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑉)))
25	24	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑉 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑉))))
26		nninfdclemf.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
27		nninfdclemf.dc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
28		nninfdclemf.nb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
29		nninfdclemf.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
30		nninfdclemf.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
31	26, 27, 28, 29, 30, 1	nninfdclemp1 12692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1)))
32	31	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝑈 + 1)) → (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1))))
33	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
34	26, 27, 28, 29, 30	nninfdclemf 12691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
36	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑈 ∈ ℕ)
37	35, 36	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑈) ∈ 𝐴)
38	33, 37	sseldd 3185	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑈) ∈ ℕ)
39	38	nnred 9020	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑈) ∈ ℝ)
40		elfzoelz 10239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉) → 𝑘 ∈ ℤ)
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
42		1red 8058	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 1 ∈ ℝ)
43	2	nnred 9020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
45	41	zred 9465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
46	2	nnge1d 9050	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑈 + 1))
47	46	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 1 ≤ (𝑈 + 1))
48		elfzole1 10248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉) → (𝑈 + 1) ≤ 𝑘)
49	48	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝑈 + 1) ≤ 𝑘)
50	42, 44, 45, 47, 49	letrd 8167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 1 ≤ 𝑘)
51		elnnz1 9366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
52	41, 50, 51	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ)
53	35, 52	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐴)
54	33, 53	sseldd 3185	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℕ)
55	54	nnred 9020	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
56	52	peano2nnd 9022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
57	35, 56	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝐴)
58	33, 57	sseldd 3185	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
59	58	nnred 9020	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
60		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘))
61	27	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
62	28	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
63	29	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
64	33, 61, 62, 63, 30, 52	nninfdclemp1 12692	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
65	39, 55, 59, 60, 64	lttrd 8169	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) ∧ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
66	65	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉)) → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1))))
67	66	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉) → (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
68	67	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑈 + 1)..^𝑉) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑘)) → (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
69	16, 19, 22, 25, 32, 68	fzind2 10332	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ ((𝑈 + 1)...𝑉) → (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑉)))
70	13, 69	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476   ∩ cin 3156   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4034   ↦ cmpt 4095  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ∈ cmpo 5927  infcinf 7058  ℝcr 7895  1c1 7897   + caddc 7899   < clt 8078   ≤ cle 8079  ℕcn 9007  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618  ...cfz 10100  ..^cfzo 10234  seqcseq 10556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557

This theorem is referenced by:  nninfdclemf1  12694