Theorem resqrexlemdecn 11531

Description: Lemma for resqrex 11545. The sequence is decreasing. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemdecn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
resqrexlemdecn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
resqrexlemdecn.nm	⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemdecn	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemdecn

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemdecn.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 9576	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	peano2zd 9580	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4		resqrexlemdecn.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 9576	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		resqrexlemdecn.nm	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)
7		nnltp1le 9515	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀))
8	1, 4, 7	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀))
9	6, 8	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ 𝑀)
10		fveq2 5629	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑁 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
11	10	breq1d 4093	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑁 + 1) → ((𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁) ↔ (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹‘𝑁)))
12	11	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑁 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹‘𝑁))))
13		fveq2 5629	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑘))
14	13	breq1d 4093	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)))
15	14	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁))))
16		fveq2 5629	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
17	16	breq1d 4093	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁)))
18	17	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁))))
19		fveq2 5629	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑀))
20	19	breq1d 4093	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁) ↔ (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁)))
21	20	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁))))
22		resqrexlemex.seq	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
23		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
24		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
25	22, 23, 24	resqrexlemdec 11530	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹‘𝑁))
26	1, 25	mpdan 421	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹‘𝑁))
27	26	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹‘𝑁)))
28	22, 23, 24	resqrexlemf 11526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
30		simplr2 1064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
31		1red 8169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
32	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
33	32	zred 9577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
34	30	zred 9577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
35	1	nnred 9131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
36	1	nngt0d 9162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
37		0re 8154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
38		ltle 8242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
39	37, 38	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
40	35, 36, 39	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
41		1red 8169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
42	41, 35	addge02d 8689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 + 1)))
43	40, 42	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑁 + 1))
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 1 ≤ (𝑁 + 1))
45		simplr3 1065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
46	31, 33, 34, 44, 45	letrd 8278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 1 ≤ 𝑘)
47		elnnz1 9477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
48	30, 46, 47	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
49	48	peano2nnd 9133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
50	29, 49	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
51	50	rpred 9900	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
52	29, 48	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
53	52	rpred 9900	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
54	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
55	29, 54	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+)
56	55	rpred 9900	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
57		simpll 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝜑)
58	22, 23, 24	resqrexlemdec 11530	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘))
59	57, 48, 58	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘))
60		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁))
61	51, 53, 56, 59, 60	lttrd 8280	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁))
62	61	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) → ((𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁)))
63	62	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘) → (𝜑 → ((𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁))))
64	63	a2d 26	. . . 4 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁))))
65	12, 15, 18, 21, 27, 64	uzind 9566	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁)))
66	3, 5, 9, 65	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁)))
67	66	pm2.43i 49	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {csn 3666   class class class wbr 4083   × cxp 4717  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007   ∈ cmpo 6009  ℝcr 8006  0cc0 8007  1c1 8008   + caddc 8010   < clt 8189   ≤ cle 8190   / cdiv 8827  ℕcn 9118  2c2 9169  ℤcz 9454  ℝ⁺crp 9857  seqcseq 10677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-rp 9858  df-seqfrec 10678  df-exp 10769

This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  11537  resqrexlemcvg  11538  resqrexlemoverl  11540  resqrexlemglsq  11541