Theorem resqrexlemdecn 11705

Description: Lemma for resqrex 11719. The sequence is decreasing. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemdecn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
resqrexlemdecn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
resqrexlemdecn.nm	⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemdecn	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemdecn

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemdecn.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 9705	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	peano2zd 9709	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4		resqrexlemdecn.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 9705	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		resqrexlemdecn.nm	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)
7		nnltp1le 9643	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀))
8	1, 4, 7	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀))
9	6, 8	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ 𝑀)
10		fveq2 5672	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑁 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
11	10	breq1d 4121	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑁 + 1) → ((𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁) ↔ (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹‘𝑁)))
12	11	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑁 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹‘𝑁))))
13		fveq2 5672	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑘))
14	13	breq1d 4121	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)))
15	14	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁))))
16		fveq2 5672	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
17	16	breq1d 4121	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁)))
18	17	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁))))
19		fveq2 5672	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑀))
20	19	breq1d 4121	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁) ↔ (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁)))
21	20	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁))))
22		resqrexlemex.seq	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
23		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
24		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
25	22, 23, 24	resqrexlemdec 11704	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹‘𝑁))
26	1, 25	mpdan 421	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹‘𝑁))
27	26	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹‘𝑁)))
28	22, 23, 24	resqrexlemf 11700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
30		simplr2 1067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
31		1red 8294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
32	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
33	32	zred 9706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
34	30	zred 9706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
35	1	nnred 9255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
36	1	nngt0d 9286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
37		0re 8279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
38		ltle 8366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
39	37, 38	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
40	35, 36, 39	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
41		1red 8294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
42	41, 35	addge02d 8813	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 + 1)))
43	40, 42	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑁 + 1))
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 1 ≤ (𝑁 + 1))
45		simplr3 1068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
46	31, 33, 34, 44, 45	letrd 8402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 1 ≤ 𝑘)
47		elnnz1 9605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
48	30, 46, 47	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
49	48	peano2nnd 9257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
50	29, 49	ffvelcdmd 5815	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
51	50	rpred 10035	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
52	29, 48	ffvelcdmd 5815	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
53	52	rpred 10035	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
54	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
55	29, 54	ffvelcdmd 5815	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+)
56	55	rpred 10035	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
57		simpll 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝜑)
58	22, 23, 24	resqrexlemdec 11704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘))
59	57, 48, 58	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘))
60		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁))
61	51, 53, 56, 59, 60	lttrd 8404	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁))
62	61	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) → ((𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁)))
63	62	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘) → (𝜑 → ((𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁))))
64	63	a2d 26	. . . 4 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁))))
65	12, 15, 18, 21, 27, 64	uzind 9695	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁)))
66	3, 5, 9, 65	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁)))
67	66	pm2.43i 49	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {csn 3691   class class class wbr 4111   × cxp 4749  ⟶wf 5350  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052   ∈ cmpo 6054  ℝcr 8131  0cc0 8132  1c1 8133   + caddc 8135   < clt 8313   ≤ cle 8314   / cdiv 8951  ℕcn 9242  2c2 9293  ℤcz 9582  ℝ⁺crp 9992  seqcseq 10816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-rp 9993  df-seqfrec 10817  df-exp 10908

This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  11711  resqrexlemcvg  11712  resqrexlemoverl  11714  resqrexlemglsq  11715