ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemdecn GIF version

Theorem resqrexlemdecn 11005
Description: Lemma for resqrex 11019. The sequence is decreasing. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemdecn.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
resqrexlemdecn.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
resqrexlemdecn.nm (𝜑𝑁 < 𝑀)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemdecn (𝜑 → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemdecn
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrexlemdecn.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nnzd 9363 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
32peano2zd 9367 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4 resqrexlemdecn.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
54nnzd 9363 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6 resqrexlemdecn.nm . . . 4 (𝜑𝑁 < 𝑀)
7 nnltp1le 9302 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀))
81, 4, 7syl2anc 411 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀))
96, 8mpbid 147 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ 𝑀)
10 fveq2 5511 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑁 + 1) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
1110breq1d 4010 . . . . 5 (𝑤 = (𝑁 + 1) → ((𝐹𝑤) < (𝐹𝑁) ↔ (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹𝑁)))
1211imbi2d 230 . . . 4 (𝑤 = (𝑁 + 1) → ((𝜑 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹𝑁))))
13 fveq2 5511 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑘))
1413breq1d 4010 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹𝑤) < (𝐹𝑁) ↔ (𝐹𝑘) < (𝐹𝑁)))
1514imbi2d 230 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑘) < (𝐹𝑁))))
16 fveq2 5511 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
1716breq1d 4010 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑤) < (𝐹𝑁) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹𝑁)))
1817imbi2d 230 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹𝑁))))
19 fveq2 5511 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑀 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑀))
2019breq1d 4010 . . . . 5 (𝑤 = 𝑀 → ((𝐹𝑤) < (𝐹𝑁) ↔ (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁)))
2120imbi2d 230 . . . 4 (𝑤 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁))))
22 resqrexlemex.seq . . . . . . 7 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
23 resqrexlemex.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
24 resqrexlemex.agt0 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
2522, 23, 24resqrexlemdec 11004 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹𝑁))
261, 25mpdan 421 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹𝑁))
2726a1i 9 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹𝑁)))
2822, 23, 24resqrexlemf 11000 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
2928ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐹𝑁)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
30 simplr2 1040 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐹𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
31 1red 7963 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐹𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
323ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐹𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
3332zred 9364 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐹𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
3430zred 9364 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐹𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
351nnred 8921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
361nngt0d 8952 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < 𝑁)
37 0re 7948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
38 ltle 8035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
3937, 38mpan 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
4035, 36, 39sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
41 1red 7963 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4241, 35addge02d 8481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 + 1)))
4340, 42mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ (𝑁 + 1))
4443ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐹𝑁)) → 1 ≤ (𝑁 + 1))
45 simplr3 1041 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐹𝑁)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
4631, 33, 34, 44, 45letrd 8071 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐹𝑁)) → 1 ≤ 𝑘)
47 elnnz1 9265 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
4830, 46, 47sylanbrc 417 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐹𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
4948peano2nnd 8923 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐹𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
5029, 49ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐹𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
5150rpred 9683 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐹𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
5229, 48ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐹𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
5352rpred 9683 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐹𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
541ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐹𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
5529, 54ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐹𝑁)) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
5655rpred 9683 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐹𝑁)) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
57 simpll 527 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐹𝑁)) → 𝜑)
5822, 23, 24resqrexlemdec 11004 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹𝑘))
5957, 48, 58syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐹𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹𝑘))
60 simpr 110 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐹𝑁)) → (𝐹𝑘) < (𝐹𝑁))
6151, 53, 56, 59, 60lttrd 8073 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐹𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹𝑁))
6261ex 115 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) → ((𝐹𝑘) < (𝐹𝑁) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹𝑁)))
6362expcom 116 . . . . 5 (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘) → (𝜑 → ((𝐹𝑘) < (𝐹𝑁) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹𝑁))))
6463a2d 26 . . . 4 (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘) → ((𝜑 → (𝐹𝑘) < (𝐹𝑁)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹𝑁))))
6512, 15, 18, 21, 27, 64uzind 9353 . . 3 (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀) → (𝜑 → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁)))
663, 5, 9, 65syl3anc 1238 . 2 (𝜑 → (𝜑 → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁)))
6766pm2.43i 49 1 (𝜑 → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  {csn 3591   class class class wbr 4000   × cxp 4621  wf 5208  cfv 5212  (class class class)co 5869  cmpo 5871  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   < clt 7982  cle 7983   / cdiv 8618  cn 8908  2c2 8959  cz 9242  +crp 9640  seqcseq 10431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-seqfrec 10432  df-exp 10506
This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  11011  resqrexlemcvg  11012  resqrexlemoverl  11014  resqrexlemglsq  11015
  Copyright terms: Public domain W3C validator