Theorem resqrexlemdecn 11489

Description: Lemma for resqrex 11503. The sequence is decreasing. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemdecn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
resqrexlemdecn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
resqrexlemdecn.nm	⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemdecn	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemdecn

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemdecn.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 9536	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	peano2zd 9540	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4		resqrexlemdecn.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 9536	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		resqrexlemdecn.nm	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)
7		nnltp1le 9475	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀))
8	1, 4, 7	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀))
9	6, 8	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ 𝑀)
10		fveq2 5603	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑁 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
11	10	breq1d 4072	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑁 + 1) → ((𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁) ↔ (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹‘𝑁)))
12	11	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑁 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹‘𝑁))))
13		fveq2 5603	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑘))
14	13	breq1d 4072	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)))
15	14	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁))))
16		fveq2 5603	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
17	16	breq1d 4072	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁)))
18	17	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁))))
19		fveq2 5603	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑀))
20	19	breq1d 4072	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁) ↔ (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁)))
21	20	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁))))
22		resqrexlemex.seq	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
23		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
24		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
25	22, 23, 24	resqrexlemdec 11488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹‘𝑁))
26	1, 25	mpdan 421	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹‘𝑁))
27	26	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹‘𝑁)))
28	22, 23, 24	resqrexlemf 11484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
30		simplr2 1045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
31		1red 8129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
32	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
33	32	zred 9537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
34	30	zred 9537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
35	1	nnred 9091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
36	1	nngt0d 9122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
37		0re 8114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
38		ltle 8202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
39	37, 38	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
40	35, 36, 39	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
41		1red 8129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
42	41, 35	addge02d 8649	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 + 1)))
43	40, 42	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑁 + 1))
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 1 ≤ (𝑁 + 1))
45		simplr3 1046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
46	31, 33, 34, 44, 45	letrd 8238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 1 ≤ 𝑘)
47		elnnz1 9437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
48	30, 46, 47	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
49	48	peano2nnd 9093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
50	29, 49	ffvelcdmd 5744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
51	50	rpred 9860	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
52	29, 48	ffvelcdmd 5744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
53	52	rpred 9860	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
54	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
55	29, 54	ffvelcdmd 5744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+)
56	55	rpred 9860	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
57		simpll 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝜑)
58	22, 23, 24	resqrexlemdec 11488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘))
59	57, 48, 58	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘))
60		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁))
61	51, 53, 56, 59, 60	lttrd 8240	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁))
62	61	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) → ((𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁)))
63	62	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘) → (𝜑 → ((𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁))))
64	63	a2d 26	. . . 4 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁))))
65	12, 15, 18, 21, 27, 64	uzind 9526	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁)))
66	3, 5, 9, 65	syl3anc 1252	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁)))
67	66	pm2.43i 49	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 983   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  {csn 3646   class class class wbr 4062   × cxp 4694  ⟶wf 5290  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974   ∈ cmpo 5976  ℝcr 7966  0cc0 7967  1c1 7968   + caddc 7970   < clt 8149   ≤ cle 8150   / cdiv 8787  ℕcn 9078  2c2 9129  ℤcz 9414  ℝ⁺crp 9817  seqcseq 10636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-frec 6507  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-rp 9818  df-seqfrec 10637  df-exp 10728

This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  11495  resqrexlemcvg  11496  resqrexlemoverl  11498  resqrexlemglsq  11499