ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemdecn GIF version

Theorem resqrexlemdecn 11021
Description: Lemma for resqrex 11035. The sequence is decreasing. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (β„• Γ— {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
resqrexlemdecn.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
resqrexlemdecn.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
resqrexlemdecn.nm (πœ‘ β†’ 𝑁 < 𝑀)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemdecn (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   πœ‘,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemdecn
Dummy variables π‘˜ 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrexlemdecn.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
21nnzd 9374 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
32peano2zd 9378 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
4 resqrexlemdecn.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
54nnzd 9374 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6 resqrexlemdecn.nm . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 < 𝑀)
7 nnltp1le 9313 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑁 + 1) ≀ 𝑀))
81, 4, 7syl2anc 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑁 + 1) ≀ 𝑀))
96, 8mpbid 147 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ≀ 𝑀)
10 fveq2 5516 . . . . . 6 (𝑀 = (𝑁 + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜(𝑁 + 1)))
1110breq1d 4014 . . . . 5 (𝑀 = (𝑁 + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜(𝑁 + 1)) < (πΉβ€˜π‘)))
1211imbi2d 230 . . . 4 (𝑀 = (𝑁 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑁 + 1)) < (πΉβ€˜π‘))))
13 fveq2 5516 . . . . . 6 (𝑀 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜π‘˜))
1413breq1d 4014 . . . . 5 (𝑀 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘)))
1514imbi2d 230 . . . 4 (𝑀 = π‘˜ β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘))))
16 fveq2 5516 . . . . . 6 (𝑀 = (π‘˜ + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
1716breq1d 4014 . . . . 5 (𝑀 = (π‘˜ + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (πΉβ€˜π‘)))
1817imbi2d 230 . . . 4 (𝑀 = (π‘˜ + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (πΉβ€˜π‘))))
19 fveq2 5516 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜π‘€))
2019breq1d 4014 . . . . 5 (𝑀 = 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘)))
2120imbi2d 230 . . . 4 (𝑀 = 𝑀 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘))))
22 resqrexlemex.seq . . . . . . 7 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (β„• Γ— {(1 + 𝐴)}))
23 resqrexlemex.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
24 resqrexlemex.agt0 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
2522, 23, 24resqrexlemdec 11020 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑁 + 1)) < (πΉβ€˜π‘))
261, 25mpdan 421 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑁 + 1)) < (πΉβ€˜π‘))
2726a1i 9 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ β„€ β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑁 + 1)) < (πΉβ€˜π‘)))
2822, 23, 24resqrexlemf 11016 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„+)
2928ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„+)
30 simplr2 1040 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
31 1red 7972 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘)) β†’ 1 ∈ ℝ)
323ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘)) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
3332zred 9375 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘)) β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
3430zred 9375 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
351nnred 8932 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
361nngt0d 8963 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑁)
37 0re 7957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
38 ltle 8045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (0 < 𝑁 β†’ 0 ≀ 𝑁))
3937, 38mpan 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (0 < 𝑁 β†’ 0 ≀ 𝑁))
4035, 36, 39sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑁)
41 1red 7972 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
4241, 35addge02d 8491 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (0 ≀ 𝑁 ↔ 1 ≀ (𝑁 + 1)))
4340, 42mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (𝑁 + 1))
4443ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘)) β†’ 1 ≀ (𝑁 + 1))
45 simplr3 1041 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘)) β†’ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)
4631, 33, 34, 44, 45letrd 8081 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘)) β†’ 1 ≀ π‘˜)
47 elnnz1 9276 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• ↔ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 1 ≀ π‘˜))
4830, 46, 47sylanbrc 417 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
4948peano2nnd 8934 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
5029, 49ffvelcdmd 5653 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ+)
5150rpred 9696 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
5229, 48ffvelcdmd 5653 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+)
5352rpred 9696 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
541ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
5529, 54ffvelcdmd 5653 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
5655rpred 9696 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
57 simpll 527 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘)) β†’ πœ‘)
5822, 23, 24resqrexlemdec 11020 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (πΉβ€˜π‘˜))
5957, 48, 58syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (πΉβ€˜π‘˜))
60 simpr 110 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘))
6151, 53, 56, 59, 60lttrd 8083 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (πΉβ€˜π‘))
6261ex 115 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (πΉβ€˜π‘)))
6362expcom 116 . . . . 5 (((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜) β†’ (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (πΉβ€˜π‘))))
6463a2d 26 . . . 4 (((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜) β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘)) β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (πΉβ€˜π‘))))
6512, 15, 18, 21, 27, 64uzind 9364 . . 3 (((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ≀ 𝑀) β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘)))
663, 5, 9, 65syl3anc 1238 . 2 (πœ‘ β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘)))
6766pm2.43i 49 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {csn 3593   class class class wbr 4004   Γ— cxp 4625  βŸΆwf 5213  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875   ∈ cmpo 5877  β„cr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   < clt 7992   ≀ cle 7993   / cdiv 8629  β„•cn 8919  2c2 8970  β„€cz 9253  β„+crp 9653  seqcseq 10445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-rp 9654  df-seqfrec 10446  df-exp 10520
This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  11027  resqrexlemcvg  11028  resqrexlemoverl  11030  resqrexlemglsq  11031
  Copyright terms: Public domain W3C validator