Theorem resqrexlemdecn 11194

Description: Lemma for resqrex 11208. The sequence is decreasing. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemdecn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
resqrexlemdecn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
resqrexlemdecn.nm	⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemdecn	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemdecn

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemdecn.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 9464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	peano2zd 9468	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4		resqrexlemdecn.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 9464	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		resqrexlemdecn.nm	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)
7		nnltp1le 9403	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀))
8	1, 4, 7	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀))
9	6, 8	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ 𝑀)
10		fveq2 5561	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑁 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
11	10	breq1d 4044	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑁 + 1) → ((𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁) ↔ (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹‘𝑁)))
12	11	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑁 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹‘𝑁))))
13		fveq2 5561	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑘))
14	13	breq1d 4044	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)))
15	14	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁))))
16		fveq2 5561	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
17	16	breq1d 4044	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁)))
18	17	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁))))
19		fveq2 5561	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑀))
20	19	breq1d 4044	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁) ↔ (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁)))
21	20	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁))))
22		resqrexlemex.seq	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
23		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
24		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
25	22, 23, 24	resqrexlemdec 11193	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹‘𝑁))
26	1, 25	mpdan 421	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹‘𝑁))
27	26	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹‘𝑁)))
28	22, 23, 24	resqrexlemf 11189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
30		simplr2 1042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
31		1red 8058	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
32	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
33	32	zred 9465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
34	30	zred 9465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
35	1	nnred 9020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
36	1	nngt0d 9051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
37		0re 8043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
38		ltle 8131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
39	37, 38	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
40	35, 36, 39	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
41		1red 8058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
42	41, 35	addge02d 8578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 + 1)))
43	40, 42	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑁 + 1))
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 1 ≤ (𝑁 + 1))
45		simplr3 1043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
46	31, 33, 34, 44, 45	letrd 8167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 1 ≤ 𝑘)
47		elnnz1 9366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
48	30, 46, 47	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
49	48	peano2nnd 9022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
50	29, 49	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
51	50	rpred 9788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
52	29, 48	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
53	52	rpred 9788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
54	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
55	29, 54	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+)
56	55	rpred 9788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
57		simpll 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝜑)
58	22, 23, 24	resqrexlemdec 11193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘))
59	57, 48, 58	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘))
60		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁))
61	51, 53, 56, 59, 60	lttrd 8169	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁))
62	61	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) → ((𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁)))
63	62	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘) → (𝜑 → ((𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁))))
64	63	a2d 26	. . . 4 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁))))
65	12, 15, 18, 21, 27, 64	uzind 9454	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁)))
66	3, 5, 9, 65	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁)))
67	66	pm2.43i 49	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {csn 3623   class class class wbr 4034   × cxp 4662  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ∈ cmpo 5927  ℝcr 7895  0cc0 7896  1c1 7897   + caddc 7899   < clt 8078   ≤ cle 8079   / cdiv 8716  ℕcn 9007  2c2 9058  ℤcz 9343  ℝ⁺crp 9745  seqcseq 10556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-rp 9746  df-seqfrec 10557  df-exp 10648

This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  11200  resqrexlemcvg  11201  resqrexlemoverl  11203  resqrexlemglsq  11204