Theorem resqrexlemdecn 11367

Description: Lemma for resqrex 11381. The sequence is decreasing. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemdecn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
resqrexlemdecn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
resqrexlemdecn.nm	⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemdecn	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemdecn

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemdecn.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 9501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	peano2zd 9505	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4		resqrexlemdecn.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 9501	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		resqrexlemdecn.nm	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)
7		nnltp1le 9440	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀))
8	1, 4, 7	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀))
9	6, 8	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ 𝑀)
10		fveq2 5583	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑁 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
11	10	breq1d 4057	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑁 + 1) → ((𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁) ↔ (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹‘𝑁)))
12	11	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑁 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹‘𝑁))))
13		fveq2 5583	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑘))
14	13	breq1d 4057	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)))
15	14	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁))))
16		fveq2 5583	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
17	16	breq1d 4057	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁)))
18	17	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁))))
19		fveq2 5583	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑀))
20	19	breq1d 4057	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁) ↔ (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁)))
21	20	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑤) < (𝐹‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁))))
22		resqrexlemex.seq	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
23		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
24		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
25	22, 23, 24	resqrexlemdec 11366	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹‘𝑁))
26	1, 25	mpdan 421	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹‘𝑁))
27	26	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹‘𝑁)))
28	22, 23, 24	resqrexlemf 11362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
30		simplr2 1043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
31		1red 8094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
32	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
33	32	zred 9502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
34	30	zred 9502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
35	1	nnred 9056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
36	1	nngt0d 9087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
37		0re 8079	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
38		ltle 8167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
39	37, 38	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
40	35, 36, 39	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
41		1red 8094	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
42	41, 35	addge02d 8614	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 + 1)))
43	40, 42	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑁 + 1))
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 1 ≤ (𝑁 + 1))
45		simplr3 1044	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
46	31, 33, 34, 44, 45	letrd 8203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 1 ≤ 𝑘)
47		elnnz1 9402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
48	30, 46, 47	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
49	48	peano2nnd 9058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
50	29, 49	ffvelcdmd 5723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
51	50	rpred 9825	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
52	29, 48	ffvelcdmd 5723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
53	52	rpred 9825	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
54	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
55	29, 54	ffvelcdmd 5723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+)
56	55	rpred 9825	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
57		simpll 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → 𝜑)
58	22, 23, 24	resqrexlemdec 11366	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘))
59	57, 48, 58	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘))
60		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁))
61	51, 53, 56, 59, 60	lttrd 8205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁))
62	61	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)) → ((𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁)))
63	62	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘) → (𝜑 → ((𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁))))
64	63	a2d 26	. . . 4 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘𝑁)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑁))))
65	12, 15, 18, 21, 27, 64	uzind 9491	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁)))
66	3, 5, 9, 65	syl3anc 1250	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁)))
67	66	pm2.43i 49	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {csn 3634   class class class wbr 4047   × cxp 4677  ⟶wf 5272  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951   ∈ cmpo 5953  ℝcr 7931  0cc0 7932  1c1 7933   + caddc 7935   < clt 8114   ≤ cle 8115   / cdiv 8752  ℕcn 9043  2c2 9094  ℤcz 9379  ℝ⁺crp 9782  seqcseq 10599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-rp 9783  df-seqfrec 10600  df-exp 10691

This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  11373  resqrexlemcvg  11374  resqrexlemoverl  11376  resqrexlemglsq  11377