bcpasc - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem bcpasc 10875

Description: Pascal's rule for the binomial coefficient, generalized to all integers 𝐾. Equation 2 of [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 13-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
bcpasc	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))

**Proof of Theorem bcpasc**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 9306	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀)
2		elfzp12 10191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ_≥‘0) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
3		nn0uz 9653	. . . . . . 7 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
4	2, 3	eleq2s 2291	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
6		1p0e1 9123	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 0) = 1
7		bcn0 10864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁C0) = 1)
8		0z 9354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		1z 9369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
10		zsubcl 9384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 − 1) ∈ ℤ)
11	8, 9, 10	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 − 1) ∈ ℤ
12		0re 8043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		ltm1 8890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 − 1) < 0)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 − 1) < 0
15	14	orci 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 − 1) < 0 ∨ 𝑁 < (0 − 1))
16		bcval4 10861	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (0 − 1) ∈ ℤ ∧ ((0 − 1) < 0 ∨ 𝑁 < (0 − 1))) → (𝑁C(0 − 1)) = 0)
17	11, 15, 16	mp3an23 1340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁C(0 − 1)) = 0)
18	7, 17	oveq12d 5943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → ((𝑁C0) + (𝑁C(0 − 1))) = (1 + 0))
19		bcn0 10864	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ → ((𝑁 + 1)C0) = 1)
20	1, 19	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → ((𝑁 + 1)C0) = 1)
21	6, 18, 20	3eqtr4a 2255	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → ((𝑁C0) + (𝑁C(0 − 1))) = ((𝑁 + 1)C0))
22		oveq2 5933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 = 0 → (𝑁C𝐾) = (𝑁C0))
23		oveq1 5932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 = 0 → (𝐾 − 1) = (0 − 1))
24	23	oveq2d 5941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 = 0 → (𝑁C(𝐾 − 1)) = (𝑁C(0 − 1)))
25	22, 24	oveq12d 5943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 = 0 → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁C0) + (𝑁C(0 − 1))))
26		oveq2 5933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 = 0 → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁 + 1)C0))
27	25, 26	eqeq12d 2211	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = 0 → (((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾) ↔ ((𝑁C0) + (𝑁C(0 − 1))) = ((𝑁 + 1)C0)))
28	21, 27	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝐾 = 0 → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾)))
29		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
30		0p1e1 9121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
31	30	oveq1i 5935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))
32	29, 31	eleqtrdi 2289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
33		nn0p1nn 9305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
34		nnuz 9654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
35	33, 34	eleqtrdi 2289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
36		fzm1 10192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1) → (𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1)) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1))))
37	36	biimpa 296	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1)) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1)))
38	35, 37	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1)) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1)))
39		nn0cn 9276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℂ)
40		ax-1cn 7989	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℂ
41		pncan 8249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
42	39, 40, 41	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
43	42	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (1...((𝑁 + 1) − 1)) = (1...𝑁))
44	43	eleq2d 2266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1)) ↔ 𝐾 ∈ (1...𝑁)))
45	44	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))) → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
46		1eluzge0 9665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ (ℤ_≥‘0)
47		fzss1 10155	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ∈ (ℤ_≥‘0) → (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
49	48	sseli 3180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
50		bcp1n 10870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
51	49, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
52		bcrpcl 10862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ⁺)
53	49, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ⁺)
54	53	rpcnd 9790	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℂ)
55		elfzuz2 10121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1))
56	55, 34	eleqtrrdi 2290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
57	56	peano2nnd 9022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
58	57	nncnd 9021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
59	56	nncnd 9021	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
60		1cnd 8059	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
61		elfzelz 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
62	61	zcnd 9466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
63	59, 60, 62	addsubd 8375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) = ((𝑁 − 𝐾) + 1))
64		fznn0sub 10149	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀)
65		nn0p1nn 9305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀ → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℕ)
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℕ)
67	63, 66	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ)
68	67	nncnd 9021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ)
69	67	nnap0d 9053	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) # 0)
70	54, 58, 68, 69	div12apd 8871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = ((𝑁 + 1) · ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
71	67	nnrpd 9786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℝ⁺)
72	53, 71	rpdivcld 9806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) ∈ ℝ⁺)
73	72	rpcnd 9790	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) ∈ ℂ)
74	58, 73	mulcomd 8065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) · ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (𝑁 + 1)))
75	70, 74	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (𝑁 + 1)))
76	58, 62	npcand 8358	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) + 𝐾) = (𝑁 + 1))
77	76	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) + 𝐾)) = (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (𝑁 + 1)))
78	73, 68, 62	adddid 8068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) + 𝐾)) = ((((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) + (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · 𝐾)))
79	75, 77, 78	3eqtr2d 2235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = ((((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) + (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · 𝐾)))
80	54, 68, 69	divcanap1d 8835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) = (𝑁C𝐾))
81		elfznn 10146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)
82	81	nnap0d 9053	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 # 0)
83	54, 68, 62, 69, 82	divdivap2d 8867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) / (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾)) = (((𝑁C𝐾) · 𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
84		bcm1k 10869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
85	59, 62, 60	subsub3d 8384	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − (𝐾 − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝐾))
86	85	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) = (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾))
87	86	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾)))
88	84, 87	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾)))
89		fzelp1 10166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
90	57	nnzd 9464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
91		elfzm1b 10190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))))
92	61, 90, 91	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))))
93	89, 92	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1)))
94	59, 40, 41	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
95	94	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
96	93, 95	eleqtrd 2275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁))
97		bcrpcl 10862	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) ∈ ℝ⁺)
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) ∈ ℝ⁺)
99	98	rpcnd 9790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
100	81	nnrpd 9786	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ⁺)
101	71, 100	rpdivcld 9806	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾) ∈ ℝ⁺)
102	101	rpcnd 9790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾) ∈ ℂ)
103	68, 62, 69, 82	divap0d 8850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾) # 0)
104	54, 99, 102, 103	divmulap3d 8869	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁C𝐾) / (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾)) = (𝑁C(𝐾 − 1)) ↔ (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾))))
105	88, 104	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) / (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾)) = (𝑁C(𝐾 − 1)))
106	54, 62, 68, 69	div23apd 8872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁C𝐾) · 𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) = (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · 𝐾))
107	83, 105, 106	3eqtr3rd 2238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · 𝐾) = (𝑁C(𝐾 − 1)))
108	80, 107	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) + (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · 𝐾)) = ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))))
109	51, 79, 108	3eqtrrd 2234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
110	45, 109	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
111		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 = (𝑁 + 1) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 + 1)))
112	33	nnzd 9464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
113		nn0re 9275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℝ)
114	113	ltp1d 8974	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
115	114	olcd 735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1)))
116		bcval4 10861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
117	112, 115, 116	mpd3an23 1350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
118	111, 117	sylan9eqr 2251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 = (𝑁 + 1)) → (𝑁C𝐾) = 0)
119		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 = (𝑁 + 1) → (𝐾 − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
120	119, 42	sylan9eqr 2251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 = (𝑁 + 1)) → (𝐾 − 1) = 𝑁)
121	120	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 = (𝑁 + 1)) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = (𝑁C𝑁))
122		bcnn 10866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁C𝑁) = 1)
123	122	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 = (𝑁 + 1)) → (𝑁C𝑁) = 1)
124	121, 123	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 = (𝑁 + 1)) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = 1)
125	118, 124	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 = (𝑁 + 1)) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = (0 + 1))
126		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁 + 1)C(𝑁 + 1)))
127		bcnn 10866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ → ((𝑁 + 1)C(𝑁 + 1)) = 1)
128	1, 127	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → ((𝑁 + 1)C(𝑁 + 1)) = 1)
129	126, 128	sylan9eqr 2251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 = (𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = 1)
130	30, 125, 129	3eqtr4a 2255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 = (𝑁 + 1)) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
131	110, 130	jaodan 798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1)) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
132	38, 131	syldan 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
133	32, 132	syldan 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
134	133	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾)))
135	28, 134	jaod 718	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → ((𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾)))
136	5, 135	sylbid 150	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾)))
137	136	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
138	137	adantlr 477	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
139		00id 8184	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
140		fzelp1 10166	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
141	140	con3i 633	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁))
142		bcval3 10860	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
143	142	3expa 1205	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
144	141, 143	sylan2 286	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝐾) = 0)
145		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
146		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
147		peano2zm 9381	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
148	146, 147	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
149	39	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
150	149, 40, 41	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
151	150	oveq2d 5941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
152	151	eleq2d 2266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1)) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁)))
153		id 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℤ)
154	1	nn0zd 9463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
155	153, 154, 91	syl2anr 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))))
156		fzp1ss 10165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
157	8, 156	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
158	31, 157	eqsstrri 3217	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
159	158	sseli 3180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
160	155, 159	biimtrrdi 164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1)) → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
161	152, 160	sylbird 170	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
162	161	con3dimp 636	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ¬ (𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁))
163		bcval3 10860	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = 0)
164	145, 148, 162, 163	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = 0)
165	144, 164	oveq12d 5943	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = (0 + 0))
166	145, 1	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀)
167		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
168		bcval3 10860	. . . 4 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = 0)
169	166, 146, 167, 168	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = 0)
170	139, 165, 169	3eqtr4a 2255	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
171		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
172		0zd 9355	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
173	112	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
174		fzdcel 10132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
175		exmiddc 837	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
176	174, 175	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
177	171, 172, 173, 176	syl3anc 1249	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
178	138, 170, 177	mpjaodan 799	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 709 DECID wdc 835 ∧ w3a 980 = wceq 1364 ∈ wcel 2167 ⊆ wss 3157 class class class wbr 4034 ‘cfv 5259 (class class class)co 5925 ℂcc 7894 ℝcr 7895 0cc0 7896 1c1 7897 + caddc 7899 · cmul 7901 < clt 8078 − cmin 8214 / cdiv 8716 ℕcn 9007 ℕ₀cn0 9266 ℤcz 9343 ℤ_≥cuz 9618 ℝ⁺crp 9745 ...cfz 10100 Ccbc 10856

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625 ax-cnex 7987 ax-resscn 7988 ax-1cn 7989 ax-1re 7990 ax-icn 7991 ax-addcl 7992 ax-addrcl 7993 ax-mulcl 7994 ax-mulrcl 7995 ax-addcom 7996 ax-mulcom 7997 ax-addass 7998 ax-mulass 7999 ax-distr 8000 ax-i2m1 8001 ax-0lt1 8002 ax-1rid 8003 ax-0id 8004 ax-rnegex 8005 ax-precex 8006 ax-cnre 8007 ax-pre-ltirr 8008 ax-pre-ltwlin 8009 ax-pre-lttrn 8010 ax-pre-apti 8011 ax-pre-ltadd 8012 ax-pre-mulgt0 8013 ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-ilim 4405 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-frec 6458 df-pnf 8080 df-mnf 8081 df-xr 8082 df-ltxr 8083 df-le 8084 df-sub 8216 df-neg 8217 df-reap 8619 df-ap 8626 df-div 8717 df-inn 9008 df-n0 9267 df-z 9344 df-uz 9619 df-q 9711 df-rp 9746 df-fz 10101 df-seqfrec 10557 df-fac 10835 df-bc 10857

This theorem is referenced by: bccl 10876 bcn2m1 10878 bcn2p1 10879 binomlem 11665 bcxmas 11671 ex-bc 15459

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