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Theorem bcpasc 10519
Description: Pascal's rule for the binomial coefficient, generalized to all integers 𝐾. Equation 2 of [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 13-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcpasc ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))

Proof of Theorem bcpasc
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 9024 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2 elfzp12 9886 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
3 nn0uz 9367 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
42, 3eleq2s 2234 . . . . . 6 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
51, 4syl 14 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
6 1p0e1 8843 . . . . . . . 8 (1 + 0) = 1
7 bcn0 10508 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C0) = 1)
8 0z 9072 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
9 1z 9087 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
10 zsubcl 9102 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 − 1) ∈ ℤ)
118, 9, 10mp2an 422 . . . . . . . . . 10 (0 − 1) ∈ ℤ
12 0re 7773 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
13 ltm1 8611 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℝ → (0 − 1) < 0)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (0 − 1) < 0
1514orci 720 . . . . . . . . . 10 ((0 − 1) < 0 ∨ 𝑁 < (0 − 1))
16 bcval4 10505 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (0 − 1) ∈ ℤ ∧ ((0 − 1) < 0 ∨ 𝑁 < (0 − 1))) → (𝑁C(0 − 1)) = 0)
1711, 15, 16mp3an23 1307 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C(0 − 1)) = 0)
187, 17oveq12d 5792 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁C0) + (𝑁C(0 − 1))) = (1 + 0))
19 bcn0 10508 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C0) = 1)
201, 19syl 14 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C0) = 1)
216, 18, 203eqtr4a 2198 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁C0) + (𝑁C(0 − 1))) = ((𝑁 + 1)C0))
22 oveq2 5782 . . . . . . . . 9 (𝐾 = 0 → (𝑁C𝐾) = (𝑁C0))
23 oveq1 5781 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = 0 → (𝐾 − 1) = (0 − 1))
2423oveq2d 5790 . . . . . . . . 9 (𝐾 = 0 → (𝑁C(𝐾 − 1)) = (𝑁C(0 − 1)))
2522, 24oveq12d 5792 . . . . . . . 8 (𝐾 = 0 → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁C0) + (𝑁C(0 − 1))))
26 oveq2 5782 . . . . . . . 8 (𝐾 = 0 → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁 + 1)C0))
2725, 26eqeq12d 2154 . . . . . . 7 (𝐾 = 0 → (((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾) ↔ ((𝑁C0) + (𝑁C(0 − 1))) = ((𝑁 + 1)C0)))
2821, 27syl5ibrcom 156 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾)))
29 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
30 0p1e1 8841 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
3130oveq1i 5784 . . . . . . . . 9 ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))
3229, 31eleqtrdi 2232 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
33 nn0p1nn 9023 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
34 nnuz 9368 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
3533, 34eleqtrdi 2232 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1))
36 fzm1 9887 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1) → (𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1)) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1))))
3736biimpa 294 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1)) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1)))
3835, 37sylan 281 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1)) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1)))
39 nn0cn 8994 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
40 ax-1cn 7720 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
41 pncan 7975 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
4239, 40, 41sylancl 409 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
4342oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...((𝑁 + 1) − 1)) = (1...𝑁))
4443eleq2d 2209 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1)) ↔ 𝐾 ∈ (1...𝑁)))
4544biimpa 294 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))) → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
46 1eluzge0 9376 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ (ℤ‘0)
47 fzss1 9850 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
4948sseli 3093 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
50 bcp1n 10514 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
5149, 50syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
52 bcrpcl 10506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)
5349, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)
5453rpcnd 9492 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℂ)
55 elfzuz2 9816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
5655, 34eleqtrrdi 2233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
5756peano2nnd 8742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
5857nncnd 8741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
5956nncnd 8741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
60 1cnd 7789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
61 elfzelz 9813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
6261zcnd 9181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
6359, 60, 62addsubd 8101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) = ((𝑁𝐾) + 1))
64 fznn0sub 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
65 nn0p1nn 9023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ)
6664, 65syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ)
6763, 66eqeltrd 2216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ)
6867nncnd 8741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ)
6967nnap0d 8773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) # 0)
7054, 58, 68, 69div12apd 8594 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = ((𝑁 + 1) · ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
7167nnrpd 9489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℝ+)
7253, 71rpdivcld 9508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) ∈ ℝ+)
7372rpcnd 9492 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) ∈ ℂ)
7458, 73mulcomd 7794 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) · ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (𝑁 + 1)))
7570, 74eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (𝑁 + 1)))
7658, 62npcand 8084 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) + 𝐾) = (𝑁 + 1))
7776oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) + 𝐾)) = (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (𝑁 + 1)))
7873, 68, 62adddid 7797 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) + 𝐾)) = ((((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) + (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · 𝐾)))
7975, 77, 783eqtr2d 2178 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = ((((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) + (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · 𝐾)))
8054, 68, 69divcanap1d 8558 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) = (𝑁C𝐾))
81 elfznn 9841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)
8281nnap0d 8773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 # 0)
8354, 68, 62, 69, 82divdivap2d 8590 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) / (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾)) = (((𝑁C𝐾) · 𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
84 bcm1k 10513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
8559, 62, 60subsub3d 8110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − (𝐾 − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝐾))
8685oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) = (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾))
8786oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾)))
8884, 87eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾)))
89 fzelp1 9861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
9057nnzd 9179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
91 elfzm1b 9885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))))
9261, 90, 91syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))))
9389, 92mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1)))
9459, 40, 41sylancl 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
9594oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
9693, 95eleqtrd 2218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁))
97 bcrpcl 10506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) ∈ ℝ+)
9896, 97syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) ∈ ℝ+)
9998rpcnd 9492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
10081nnrpd 9489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ+)
10171, 100rpdivcld 9508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾) ∈ ℝ+)
102101rpcnd 9492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾) ∈ ℂ)
10368, 62, 69, 82divap0d 8573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾) # 0)
10454, 99, 102, 103divmulap3d 8592 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁C𝐾) / (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾)) = (𝑁C(𝐾 − 1)) ↔ (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾))))
10588, 104mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) / (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾)) = (𝑁C(𝐾 − 1)))
10654, 62, 68, 69div23apd 8595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁C𝐾) · 𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) = (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · 𝐾))
10783, 105, 1063eqtr3rd 2181 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · 𝐾) = (𝑁C(𝐾 − 1)))
10880, 107oveq12d 5792 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) + (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · 𝐾)) = ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))))
10951, 79, 1083eqtrrd 2177 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
11045, 109syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
111 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 = (𝑁 + 1) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 + 1)))
11233nnzd 9179 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
113 nn0re 8993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
114113ltp1d 8695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < (𝑁 + 1))
115114olcd 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1)))
116 bcval4 10505 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
117112, 115, 116mpd3an23 1317 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
118111, 117sylan9eqr 2194 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 = (𝑁 + 1)) → (𝑁C𝐾) = 0)
119 oveq1 5781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 = (𝑁 + 1) → (𝐾 − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
120119, 42sylan9eqr 2194 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 = (𝑁 + 1)) → (𝐾 − 1) = 𝑁)
121120oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 = (𝑁 + 1)) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = (𝑁C𝑁))
122 bcnn 10510 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C𝑁) = 1)
123122adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 = (𝑁 + 1)) → (𝑁C𝑁) = 1)
124121, 123eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 = (𝑁 + 1)) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = 1)
125118, 124oveq12d 5792 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 = (𝑁 + 1)) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = (0 + 1))
126 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁 + 1)C(𝑁 + 1)))
127 bcnn 10510 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 + 1)) = 1)
1281, 127syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 + 1)) = 1)
129126, 128sylan9eqr 2194 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 = (𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = 1)
13030, 125, 1293eqtr4a 2198 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 = (𝑁 + 1)) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
131110, 130jaodan 786 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1)) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
13238, 131syldan 280 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
13332, 132syldan 280 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
134133ex 114 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾)))
13528, 134jaod 706 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾)))
1365, 135sylbid 149 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾)))
137136imp 123 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
138137adantlr 468 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
139 00id 7910 . . 3 (0 + 0) = 0
140 fzelp1 9861 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
141140con3i 621 . . . . 5 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁))
142 bcval3 10504 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
1431423expa 1181 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
144141, 143sylan2 284 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝐾) = 0)
145 simpll 518 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
146 simplr 519 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
147 peano2zm 9099 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
148146, 147syl 14 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
14939adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
150149, 40, 41sylancl 409 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
151150oveq2d 5790 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
152151eleq2d 2209 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1)) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁)))
153 id 19 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℤ)
1541nn0zd 9178 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
155153, 154, 91syl2anr 288 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))))
156 fzp1ss 9860 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
1578, 156ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
15831, 157eqsstrri 3130 . . . . . . . . 9 (1...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
159158sseli 3093 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
160155, 159syl6bir 163 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1)) → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
161152, 160sylbird 169 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
162161con3dimp 624 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ¬ (𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁))
163 bcval3 10504 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = 0)
164145, 148, 162, 163syl3anc 1216 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = 0)
165144, 164oveq12d 5792 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = (0 + 0))
166145, 1syl 14 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
167 simpr 109 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
168 bcval3 10504 . . . 4 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = 0)
169166, 146, 167, 168syl3anc 1216 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = 0)
170139, 165, 1693eqtr4a 2198 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
171 simpr 109 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
172 0zd 9073 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
173112adantr 274 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
174 fzdcel 9827 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
175 exmiddc 821 . . . 4 (DECID 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
176174, 175syl 14 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
177171, 172, 173, 176syl3anc 1216 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
178138, 170, 177mpjaodan 787 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 697  DECID wdc 819  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  wss 3071   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7625  cr 7626  0cc0 7627  1c1 7628   + caddc 7630   · cmul 7632   < clt 7807  cmin 7940   / cdiv 8439  cn 8727  0cn0 8984  cz 9061  cuz 9333  +crp 9448  ...cfz 9797  Ccbc 10500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-fz 9798  df-seqfrec 10226  df-fac 10479  df-bc 10501
This theorem is referenced by:  bccl  10520  bcn2m1  10522  bcn2p1  10523  binomlem  11259  bcxmas  11265  ex-bc  12971
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