Theorem cvgratnnlemseq 11327

Description: Lemma for cvgratnn 11332. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnn.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
cvgratnn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
cvgratnn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlemseq	⊢ (𝜑 → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑖,𝐹,𝑘   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem cvgratnnlemseq

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9385	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 9105	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		cvgratnn.6	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	serf 10278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
5	4	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
6		cvgratnn.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
7	6	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
8	5, 7	ffvelrnd 5564	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℂ)
9		eqid 2140	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑀 + 1))
10	6	nnzd 9196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11	10	peano2zd 9200	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
12		fveq2 5429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
13	12	eleq1d 2209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ))
14	3	ralrimiva 2508	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15	14	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	6	peano2nnd 8759	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
17		eluznn 9421	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑥 ∈ ℕ)
18	16, 17	sylan 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑥 ∈ ℕ)
19	13, 15, 18	rspcdva 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
20	9, 11, 19	serf 10278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹):(ℤ≥‘(𝑀 + 1))⟶ℂ)
21	20	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹):(ℤ≥‘(𝑀 + 1))⟶ℂ)
22	11	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
23		cvgratnn.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
24		eluzelz 9359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
25	23, 24	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
26	25	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
27		zltp1le 9132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
28	10, 25, 27	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
29	28	biimpa 294	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
30		eluz2 9356	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
31	22, 26, 29, 30	syl3anbrc 1166	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
32	21, 31	ffvelrnd 5564	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
33	8, 32	pncan2d 8099	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁))
34		addcl 7769	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
35	34	adantl 275	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
36		addass 7774	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
37	36	adantl 275	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
38	6, 1	eleqtrdi 2233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
39	38	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
40	14	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
41		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1))
42	41, 1	eleqtrrdi 2234	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑥 ∈ ℕ)
43	13, 40, 42	rspcdva 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
44	35, 37, 31, 39, 43	seq3split 10283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁)))
45	44	oveq1d 5797	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = (((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)))
46		eqidd 2141	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
47		fveq2 5429	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
48	47	eleq1d 2209	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
49	14	ad2antrr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
50	16	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
51		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
52		eluznn 9421	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
53	50, 51, 52	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
54	48, 49, 53	rspcdva 2798	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
55	46, 31, 54	fsum3ser 11198	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁))
56	33, 45, 55	3eqtr4d 2183	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖))
57		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 = 𝑁)
58	6	nnred 8757	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
59	58	ltp1d 8712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝑀 + 1))
60	59	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
61	57, 60	eqbrtrrd 3960	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑁 < (𝑀 + 1))
62	11	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
63	25	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
64		fzn 9853	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1)...𝑁) = ∅))
65	62, 63, 64	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑁 < (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1)...𝑁) = ∅))
66	61, 65	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((𝑀 + 1)...𝑁) = ∅)
67	66	sumeq1d 11167	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ∅ (𝐹‘𝑖))
68		sum0 11189	. . . 4 ⊢ Σ𝑖 ∈ ∅ (𝐹‘𝑖) = 0
69	67, 68	eqtrdi 2189	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖) = 0)
70	4, 6	ffvelrnd 5564	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℂ)
71	70	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℂ)
72	71	subidd 8085	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = 0)
73	57	fveq2d 5433	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑀) = (seq1( + , 𝐹)‘𝑁))
74	73	oveq1d 5797	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)))
75	69, 72, 74	3eqtr2rd 2180	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖))
76		eluzle 9362	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
77	23, 76	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
78		zleloe 9125	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁)))
79	10, 25, 78	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁)))
80	77, 79	mpbid 146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁))
81	56, 75, 80	mpjaodan 788	1 ⊢ (𝜑 → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ∅c0 3368   class class class wbr 3937  ⟶wf 5127  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  ℂcc 7642  ℝcr 7643  0cc0 7644  1c1 7645   + caddc 7647   · cmul 7649   < clt 7824   ≤ cle 7825   − cmin 7957  ℕcn 8744  ℤcz 9078  ℤ_≥cuz 9350  ...cfz 9821  seqcseq 10249  abscabs 10801  Σcsu 11154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-ihash 10554  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  11331