ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvgratnnlemseq GIF version

Theorem cvgratnnlemseq 11467
Description: Lemma for cvgratnn 11472. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnn.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4 (𝜑𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0 (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
cvgratnn.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
cvgratnn.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlemseq (𝜑 → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹𝑖))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑖,𝐹,𝑘   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem cvgratnnlemseq
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9501 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 9218 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 cvgratnn.6 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
41, 2, 3serf 10409 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
54adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑀 < 𝑁) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
6 cvgratnn.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
76adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
85, 7ffvelrnd 5621 . . . 4 ((𝜑𝑀 < 𝑁) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℂ)
9 eqid 2165 . . . . . . 7 (ℤ‘(𝑀 + 1)) = (ℤ‘(𝑀 + 1))
106nnzd 9312 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1110peano2zd 9316 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
12 fveq2 5486 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑥 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑥))
1312eleq1d 2235 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑥) ∈ ℂ))
143ralrimiva 2539 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1514adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
166peano2nnd 8872 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
17 eluznn 9538 . . . . . . . . 9 (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑥 ∈ ℕ)
1816, 17sylan 281 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑥 ∈ ℕ)
1913, 15, 18rspcdva 2835 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
209, 11, 19serf 10409 . . . . . 6 (𝜑 → seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹):(ℤ‘(𝑀 + 1))⟶ℂ)
2120adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑀 < 𝑁) → seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹):(ℤ‘(𝑀 + 1))⟶ℂ)
2211adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 < 𝑁) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
23 cvgratnn.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
24 eluzelz 9475 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2523, 24syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2625adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
27 zltp1le 9245 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
2810, 25, 27syl2anc 409 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
2928biimpa 294 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 < 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
30 eluz2 9472 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
3122, 26, 29, 30syl3anbrc 1171 . . . . 5 ((𝜑𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
3221, 31ffvelrnd 5621 . . . 4 ((𝜑𝑀 < 𝑁) → (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
338, 32pncan2d 8211 . . 3 ((𝜑𝑀 < 𝑁) → (((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁))
34 addcl 7878 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3534adantl 275 . . . . 5 (((𝜑𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
36 addass 7883 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
3736adantl 275 . . . . 5 (((𝜑𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
386, 1eleqtrdi 2259 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘1))
3938adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
4014ad2antrr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
41 simpr 109 . . . . . . 7 (((𝜑𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑥 ∈ (ℤ‘1))
4241, 1eleqtrrdi 2260 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑥 ∈ ℕ)
4313, 40, 42rspcdva 2835 . . . . 5 (((𝜑𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4435, 37, 31, 39, 43seq3split 10414 . . . 4 ((𝜑𝑀 < 𝑁) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁)))
4544oveq1d 5857 . . 3 ((𝜑𝑀 < 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = (((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)))
46 eqidd 2166 . . . 4 (((𝜑𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑖))
47 fveq2 5486 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑖))
4847eleq1d 2235 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑖) ∈ ℂ))
4914ad2antrr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5016ad2antrr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
51 simpr 109 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
52 eluznn 9538 . . . . . 6 (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
5350, 51, 52syl2anc 409 . . . . 5 (((𝜑𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
5448, 49, 53rspcdva 2835 . . . 4 (((𝜑𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
5546, 31, 54fsum3ser 11338 . . 3 ((𝜑𝑀 < 𝑁) → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹𝑖) = (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁))
5633, 45, 553eqtr4d 2208 . 2 ((𝜑𝑀 < 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹𝑖))
57 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 = 𝑁) → 𝑀 = 𝑁)
586nnred 8870 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
5958ltp1d 8825 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 < (𝑀 + 1))
6059adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 = 𝑁) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
6157, 60eqbrtrrd 4006 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 = 𝑁) → 𝑁 < (𝑀 + 1))
6211adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 = 𝑁) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
6325adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
64 fzn 9977 . . . . . . 7 (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1)...𝑁) = ∅))
6562, 63, 64syl2anc 409 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 = 𝑁) → (𝑁 < (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1)...𝑁) = ∅))
6661, 65mpbid 146 . . . . 5 ((𝜑𝑀 = 𝑁) → ((𝑀 + 1)...𝑁) = ∅)
6766sumeq1d 11307 . . . 4 ((𝜑𝑀 = 𝑁) → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹𝑖) = Σ𝑖 ∈ ∅ (𝐹𝑖))
68 sum0 11329 . . . 4 Σ𝑖 ∈ ∅ (𝐹𝑖) = 0
6967, 68eqtrdi 2215 . . 3 ((𝜑𝑀 = 𝑁) → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹𝑖) = 0)
704, 6ffvelrnd 5621 . . . . 5 (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℂ)
7170adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑀 = 𝑁) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℂ)
7271subidd 8197 . . 3 ((𝜑𝑀 = 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = 0)
7357fveq2d 5490 . . . 4 ((𝜑𝑀 = 𝑁) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑀) = (seq1( + , 𝐹)‘𝑁))
7473oveq1d 5857 . . 3 ((𝜑𝑀 = 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)))
7569, 72, 743eqtr2rd 2205 . 2 ((𝜑𝑀 = 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹𝑖))
76 eluzle 9478 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
7723, 76syl 14 . . 3 (𝜑𝑀𝑁)
78 zleloe 9238 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁)))
7910, 25, 78syl2anc 409 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁)))
8077, 79mpbid 146 . 2 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁))
8156, 75, 80mpjaodan 788 1 (𝜑 → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹𝑖))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698  w3a 968   = wceq 1343  wcel 2136  wral 2444  c0 3409   class class class wbr 3982  wf 5184  cfv 5188  (class class class)co 5842  cc 7751  cr 7752  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   · cmul 7758   < clt 7933  cle 7934  cmin 8069  cn 8857  cz 9191  cuz 9466  ...cfz 9944  seqcseq 10380  abscabs 10939  Σcsu 11294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295
This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  11471
  Copyright terms: Public domain W3C validator