Theorem cvgratnnlemseq 11518

Description: Lemma for cvgratnn 11523. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnn.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
cvgratnn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
cvgratnn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlemseq	⊢ (𝜑 → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑖,𝐹,𝑘   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem cvgratnnlemseq

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9552	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 9269	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		cvgratnn.6	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	serf 10460	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
6		cvgratnn.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
8	5, 7	ffvelcdmd 5648	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℂ)
9		eqid 2177	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑀 + 1))
10	6	nnzd 9363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11	10	peano2zd 9367	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
12		fveq2 5511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
13	12	eleq1d 2246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ))
14	3	ralrimiva 2550	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15	14	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	6	peano2nnd 8923	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
17		eluznn 9589	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑥 ∈ ℕ)
18	16, 17	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑥 ∈ ℕ)
19	13, 15, 18	rspcdva 2846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
20	9, 11, 19	serf 10460	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹):(ℤ≥‘(𝑀 + 1))⟶ℂ)
21	20	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹):(ℤ≥‘(𝑀 + 1))⟶ℂ)
22	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
23		cvgratnn.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
24		eluzelz 9526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
25	23, 24	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
26	25	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
27		zltp1le 9296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
28	10, 25, 27	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
29	28	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
30		eluz2 9523	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
31	22, 26, 29, 30	syl3anbrc 1181	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
32	21, 31	ffvelcdmd 5648	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
33	8, 32	pncan2d 8260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁))
34		addcl 7927	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
35	34	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
36		addass 7932	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
37	36	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
38	6, 1	eleqtrdi 2270	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
39	38	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
40	14	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
41		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1))
42	41, 1	eleqtrrdi 2271	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑥 ∈ ℕ)
43	13, 40, 42	rspcdva 2846	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
44	35, 37, 31, 39, 43	seq3split 10465	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁)))
45	44	oveq1d 5884	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = (((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)))
46		eqidd 2178	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
47		fveq2 5511	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
48	47	eleq1d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
49	14	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
50	16	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
51		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
52		eluznn 9589	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
53	50, 51, 52	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
54	48, 49, 53	rspcdva 2846	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
55	46, 31, 54	fsum3ser 11389	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁))
56	33, 45, 55	3eqtr4d 2220	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖))
57		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 = 𝑁)
58	6	nnred 8921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
59	58	ltp1d 8876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝑀 + 1))
60	59	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
61	57, 60	eqbrtrrd 4024	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑁 < (𝑀 + 1))
62	11	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
63	25	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
64		fzn 10028	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1)...𝑁) = ∅))
65	62, 63, 64	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑁 < (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1)...𝑁) = ∅))
66	61, 65	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((𝑀 + 1)...𝑁) = ∅)
67	66	sumeq1d 11358	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ∅ (𝐹‘𝑖))
68		sum0 11380	. . . 4 ⊢ Σ𝑖 ∈ ∅ (𝐹‘𝑖) = 0
69	67, 68	eqtrdi 2226	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖) = 0)
70	4, 6	ffvelcdmd 5648	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℂ)
71	70	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℂ)
72	71	subidd 8246	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = 0)
73	57	fveq2d 5515	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑀) = (seq1( + , 𝐹)‘𝑁))
74	73	oveq1d 5884	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)))
75	69, 72, 74	3eqtr2rd 2217	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖))
76		eluzle 9529	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
77	23, 76	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
78		zleloe 9289	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁)))
79	10, 25, 78	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁)))
80	77, 79	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁))
81	56, 75, 80	mpjaodan 798	1 ⊢ (𝜑 → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∅c0 3422   class class class wbr 4000  ⟶wf 5208  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869  ℂcc 7800  ℝcr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982   ≤ cle 7983   − cmin 8118  ℕcn 8908  ℤcz 9242  ℤ_≥cuz 9517  ...cfz 9995  seqcseq 10431  abscabs 10990  Σcsu 11345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  11522