Theorem cvgratnnlemseq 11708

Description: Lemma for cvgratnn 11713. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnn.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
cvgratnn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
cvgratnn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlemseq	⊢ (𝜑 → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑖,𝐹,𝑘   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem cvgratnnlemseq

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9654	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 9370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		cvgratnn.6	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	serf 10592	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
6		cvgratnn.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
8	5, 7	ffvelcdmd 5701	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℂ)
9		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑀 + 1))
10	6	nnzd 9464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11	10	peano2zd 9468	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
12		fveq2 5561	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
13	12	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ))
14	3	ralrimiva 2570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15	14	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	6	peano2nnd 9022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
17		eluznn 9691	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑥 ∈ ℕ)
18	16, 17	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑥 ∈ ℕ)
19	13, 15, 18	rspcdva 2873	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
20	9, 11, 19	serf 10592	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹):(ℤ≥‘(𝑀 + 1))⟶ℂ)
21	20	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹):(ℤ≥‘(𝑀 + 1))⟶ℂ)
22	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
23		cvgratnn.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
24		eluzelz 9627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
25	23, 24	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
26	25	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
27		zltp1le 9397	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
28	10, 25, 27	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
29	28	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
30		eluz2 9624	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
31	22, 26, 29, 30	syl3anbrc 1183	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
32	21, 31	ffvelcdmd 5701	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
33	8, 32	pncan2d 8356	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁))
34		addcl 8021	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
35	34	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
36		addass 8026	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
37	36	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
38	6, 1	eleqtrdi 2289	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
39	38	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
40	14	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
41		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1))
42	41, 1	eleqtrrdi 2290	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑥 ∈ ℕ)
43	13, 40, 42	rspcdva 2873	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
44	35, 37, 31, 39, 43	seq3split 10597	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁)))
45	44	oveq1d 5940	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = (((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)))
46		eqidd 2197	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
47		fveq2 5561	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
48	47	eleq1d 2265	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
49	14	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
50	16	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
51		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
52		eluznn 9691	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
53	50, 51, 52	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
54	48, 49, 53	rspcdva 2873	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
55	46, 31, 54	fsum3ser 11579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁))
56	33, 45, 55	3eqtr4d 2239	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖))
57		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 = 𝑁)
58	6	nnred 9020	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
59	58	ltp1d 8974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝑀 + 1))
60	59	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
61	57, 60	eqbrtrrd 4058	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑁 < (𝑀 + 1))
62	11	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
63	25	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
64		fzn 10134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1)...𝑁) = ∅))
65	62, 63, 64	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑁 < (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1)...𝑁) = ∅))
66	61, 65	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((𝑀 + 1)...𝑁) = ∅)
67	66	sumeq1d 11548	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ∅ (𝐹‘𝑖))
68		sum0 11570	. . . 4 ⊢ Σ𝑖 ∈ ∅ (𝐹‘𝑖) = 0
69	67, 68	eqtrdi 2245	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖) = 0)
70	4, 6	ffvelcdmd 5701	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℂ)
71	70	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℂ)
72	71	subidd 8342	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = 0)
73	57	fveq2d 5565	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑀) = (seq1( + , 𝐹)‘𝑁))
74	73	oveq1d 5940	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)))
75	69, 72, 74	3eqtr2rd 2236	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖))
76		eluzle 9630	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
77	23, 76	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
78		zleloe 9390	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁)))
79	10, 25, 78	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁)))
80	77, 79	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁))
81	56, 75, 80	mpjaodan 799	1 ⊢ (𝜑 → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∅c0 3451   class class class wbr 4034  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℂcc 7894  ℝcr 7895  0cc0 7896  1c1 7897   + caddc 7899   · cmul 7901   < clt 8078   ≤ cle 8079   − cmin 8214  ℕcn 9007  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618  ...cfz 10100  seqcseq 10556  abscabs 11179  Σcsu 11535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  11712