Theorem cvgratnnlemseq 12023

Description: Lemma for cvgratnn 12028. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnn.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
cvgratnn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
cvgratnn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlemseq	⊢ (𝜑 → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑖,𝐹,𝑘   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem cvgratnnlemseq

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9746	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 9461	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		cvgratnn.6	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	serf 10692	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
6		cvgratnn.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
8	5, 7	ffvelcdmd 5764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℂ)
9		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑀 + 1))
10	6	nnzd 9556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11	10	peano2zd 9560	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
12		fveq2 5623	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
13	12	eleq1d 2298	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ))
14	3	ralrimiva 2603	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15	14	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	6	peano2nnd 9113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
17		eluznn 9783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑥 ∈ ℕ)
18	16, 17	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑥 ∈ ℕ)
19	13, 15, 18	rspcdva 2912	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
20	9, 11, 19	serf 10692	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹):(ℤ≥‘(𝑀 + 1))⟶ℂ)
21	20	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹):(ℤ≥‘(𝑀 + 1))⟶ℂ)
22	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
23		cvgratnn.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
24		eluzelz 9719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
25	23, 24	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
26	25	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
27		zltp1le 9489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
28	10, 25, 27	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
29	28	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
30		eluz2 9716	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
31	22, 26, 29, 30	syl3anbrc 1205	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
32	21, 31	ffvelcdmd 5764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
33	8, 32	pncan2d 8447	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁))
34		addcl 8112	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
35	34	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
36		addass 8117	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
37	36	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
38	6, 1	eleqtrdi 2322	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
39	38	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
40	14	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
41		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1))
42	41, 1	eleqtrrdi 2323	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑥 ∈ ℕ)
43	13, 40, 42	rspcdva 2912	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
44	35, 37, 31, 39, 43	seq3split 10697	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁)))
45	44	oveq1d 6009	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = (((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)))
46		eqidd 2230	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
47		fveq2 5623	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
48	47	eleq1d 2298	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
49	14	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
50	16	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
51		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
52		eluznn 9783	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
53	50, 51, 52	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
54	48, 49, 53	rspcdva 2912	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
55	46, 31, 54	fsum3ser 11894	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁))
56	33, 45, 55	3eqtr4d 2272	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖))
57		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 = 𝑁)
58	6	nnred 9111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
59	58	ltp1d 9065	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝑀 + 1))
60	59	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
61	57, 60	eqbrtrrd 4106	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑁 < (𝑀 + 1))
62	11	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
63	25	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
64		fzn 10226	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1)...𝑁) = ∅))
65	62, 63, 64	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑁 < (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1)...𝑁) = ∅))
66	61, 65	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((𝑀 + 1)...𝑁) = ∅)
67	66	sumeq1d 11863	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ∅ (𝐹‘𝑖))
68		sum0 11885	. . . 4 ⊢ Σ𝑖 ∈ ∅ (𝐹‘𝑖) = 0
69	67, 68	eqtrdi 2278	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖) = 0)
70	4, 6	ffvelcdmd 5764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℂ)
71	70	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℂ)
72	71	subidd 8433	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = 0)
73	57	fveq2d 5627	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑀) = (seq1( + , 𝐹)‘𝑁))
74	73	oveq1d 6009	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)))
75	69, 72, 74	3eqtr2rd 2269	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖))
76		eluzle 9722	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
77	23, 76	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
78		zleloe 9481	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁)))
79	10, 25, 78	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁)))
80	77, 79	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁))
81	56, 75, 80	mpjaodan 803	1 ⊢ (𝜑 → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∅c0 3491   class class class wbr 4082  ⟶wf 5310  ‘cfv 5314  (class class class)co 5994  ℂcc 7985  ℝcr 7986  0cc0 7987  1c1 7988   + caddc 7990   · cmul 7992   < clt 8169   ≤ cle 8170   − cmin 8305  ℕcn 9098  ℤcz 9434  ℤ_≥cuz 9710  ...cfz 10192  seqcseq 10656  abscabs 11494  Σcsu 11850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-isom 5323  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-irdg 6506  df-frec 6527  df-1o 6552  df-oadd 6556  df-er 6670  df-en 6878  df-dom 6879  df-fin 6880  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-ihash 10985  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-clim 11776  df-sumdc 11851

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  12027