Theorem cvgratnnlemseq 11669

Description: Lemma for cvgratnn 11674. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnn.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
cvgratnn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
cvgratnn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlemseq	⊢ (𝜑 → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑖,𝐹,𝑘   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem cvgratnnlemseq

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9628	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 9344	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		cvgratnn.6	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	serf 10554	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
6		cvgratnn.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
8	5, 7	ffvelcdmd 5694	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℂ)
9		eqid 2193	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑀 + 1))
10	6	nnzd 9438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11	10	peano2zd 9442	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
12		fveq2 5554	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
13	12	eleq1d 2262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ))
14	3	ralrimiva 2567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15	14	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	6	peano2nnd 8997	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
17		eluznn 9665	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑥 ∈ ℕ)
18	16, 17	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑥 ∈ ℕ)
19	13, 15, 18	rspcdva 2869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
20	9, 11, 19	serf 10554	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹):(ℤ≥‘(𝑀 + 1))⟶ℂ)
21	20	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹):(ℤ≥‘(𝑀 + 1))⟶ℂ)
22	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
23		cvgratnn.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
24		eluzelz 9601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
25	23, 24	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
26	25	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
27		zltp1le 9371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
28	10, 25, 27	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
29	28	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
30		eluz2 9598	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
31	22, 26, 29, 30	syl3anbrc 1183	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
32	21, 31	ffvelcdmd 5694	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
33	8, 32	pncan2d 8332	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁))
34		addcl 7997	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
35	34	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
36		addass 8002	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
37	36	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
38	6, 1	eleqtrdi 2286	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
39	38	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
40	14	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
41		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1))
42	41, 1	eleqtrrdi 2287	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑥 ∈ ℕ)
43	13, 40, 42	rspcdva 2869	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
44	35, 37, 31, 39, 43	seq3split 10559	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁)))
45	44	oveq1d 5933	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = (((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)))
46		eqidd 2194	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
47		fveq2 5554	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
48	47	eleq1d 2262	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
49	14	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
50	16	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
51		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
52		eluznn 9665	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
53	50, 51, 52	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
54	48, 49, 53	rspcdva 2869	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
55	46, 31, 54	fsum3ser 11540	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹)‘𝑁))
56	33, 45, 55	3eqtr4d 2236	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖))
57		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 = 𝑁)
58	6	nnred 8995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
59	58	ltp1d 8949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝑀 + 1))
60	59	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
61	57, 60	eqbrtrrd 4053	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑁 < (𝑀 + 1))
62	11	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
63	25	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
64		fzn 10108	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1)...𝑁) = ∅))
65	62, 63, 64	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑁 < (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1)...𝑁) = ∅))
66	61, 65	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((𝑀 + 1)...𝑁) = ∅)
67	66	sumeq1d 11509	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ∅ (𝐹‘𝑖))
68		sum0 11531	. . . 4 ⊢ Σ𝑖 ∈ ∅ (𝐹‘𝑖) = 0
69	67, 68	eqtrdi 2242	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖) = 0)
70	4, 6	ffvelcdmd 5694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℂ)
71	70	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℂ)
72	71	subidd 8318	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = 0)
73	57	fveq2d 5558	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑀) = (seq1( + , 𝐹)‘𝑁))
74	73	oveq1d 5933	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑀) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)))
75	69, 72, 74	3eqtr2rd 2233	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖))
76		eluzle 9604	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
77	23, 76	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
78		zleloe 9364	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁)))
79	10, 25, 78	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁)))
80	77, 79	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁))
81	56, 75, 80	mpjaodan 799	1 ⊢ (𝜑 → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∅c0 3446   class class class wbr 4029  ⟶wf 5250  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  ℝcr 7871  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877   < clt 8054   ≤ cle 8055   − cmin 8190  ℕcn 8982  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592  ...cfz 10074  seqcseq 10518  abscabs 11141  Σcsu 11496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  11673