Theorem cvgratnnlemabsle 11519

Description: Lemma for cvgratnn 11523. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnn.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
cvgratnn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
cvgratnn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlemabsle	⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖)) ≤ ((abs‘(𝐹‘𝑀)) · Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 − 𝑀))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑖,𝐹,𝑘   𝑖,𝑀,𝑘   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem cvgratnnlemabsle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratnn.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 9363	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	peano2zd 9367	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
4		cvgratnn.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		eluzelz 9526	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	3, 6	fzfigd 10417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin)
8		fveq2 5511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
9	8	eleq1d 2246	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
10		cvgratnn.6	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
11	10	ralrimiva 2550	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
12	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13		elfzelz 10011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 𝑖 ∈ ℤ)
14	13	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ)
15		0red 7949	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
16	1	peano2nnd 8923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
17	16	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
18	17	nnred 8921	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
19	14	zred 9364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
20	16	nngt0d 8952	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑀 + 1))
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 < (𝑀 + 1))
22		elfzle1 10013	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑖)
23	22	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑖)
24	15, 18, 19, 21, 23	ltletrd 8370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 < 𝑖)
25		elnnz 9252	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑖))
26	14, 24, 25	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ)
27	9, 12, 26	rspcdva 2846	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
28	7, 27	fsumcl 11392	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
29	28	abscld 11174	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖)) ∈ ℝ)
30	27	abscld 11174	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (abs‘(𝐹‘𝑖)) ∈ ℝ)
31	7, 30	fsumrecl 11393	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(abs‘(𝐹‘𝑖)) ∈ ℝ)
32		fveq2 5511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
33	32	eleq1d 2246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ))
34	33, 11, 1	rspcdva 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
35	34	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
36	35	abscld 11174	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (abs‘(𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
37		cvgratnn.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
38	37	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
39	2	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
40	14, 39	zsubcld 9369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑖 − 𝑀) ∈ ℤ)
41	1	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
42	41	nnred 8921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
43	42	lep1d 8877	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
44	42, 18, 19, 43, 23	letrd 8071	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑖)
45	19, 42	subge0d 8482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (0 ≤ (𝑖 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑖))
46	44, 45	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝑖 − 𝑀))
47		elnn0z 9255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 − 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑖 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑖 − 𝑀)))
48	40, 46, 47	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑖 − 𝑀) ∈ ℕ0)
49	38, 48	reexpcld 10656	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐴↑(𝑖 − 𝑀)) ∈ ℝ)
50	36, 49	remulcld 7978	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ((abs‘(𝐹‘𝑀)) · (𝐴↑(𝑖 − 𝑀))) ∈ ℝ)
51	7, 50	fsumrecl 11393	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((abs‘(𝐹‘𝑀)) · (𝐴↑(𝑖 − 𝑀))) ∈ ℝ)
52	7, 27	fsumabs 11457	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖)) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(abs‘(𝐹‘𝑖)))
53		cvgratnn.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
54	53	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 < 1)
55		cvgratnn.gt0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
56	55	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 < 𝐴)
57	10	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
58		cvgratnn.7	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
59	58	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
60		eluz2 9523	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑖))
61	39, 14, 44, 60	syl3anbrc 1181	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
62	38, 54, 56, 57, 59, 41, 61	cvgratnnlemmn 11517	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (abs‘(𝐹‘𝑖)) ≤ ((abs‘(𝐹‘𝑀)) · (𝐴↑(𝑖 − 𝑀))))
63	7, 30, 50, 62	fsumle 11455	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(abs‘(𝐹‘𝑖)) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((abs‘(𝐹‘𝑀)) · (𝐴↑(𝑖 − 𝑀))))
64	29, 31, 51, 52, 63	letrd 8071	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖)) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((abs‘(𝐹‘𝑀)) · (𝐴↑(𝑖 − 𝑀))))
65	34	abscld 11174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
66	65	recnd 7976	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑀)) ∈ ℂ)
67	38	recnd 7976	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
68	67, 48	expcld 10639	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐴↑(𝑖 − 𝑀)) ∈ ℂ)
69	7, 66, 68	fsummulc2 11440	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘𝑀)) · Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 − 𝑀))) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((abs‘(𝐹‘𝑀)) · (𝐴↑(𝑖 − 𝑀))))
70	64, 69	breqtrrd 4028	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖)) ≤ ((abs‘(𝐹‘𝑀)) · Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 − 𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455   class class class wbr 4000  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869  ℂcc 7800  ℝcr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982   ≤ cle 7983   − cmin 8118  ℕcn 8908  ℕ₀cn0 9165  ℤcz 9242  ℤ_≥cuz 9517  ...cfz 9995  ↑cexp 10505  abscabs 10990  Σcsu 11345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-ico 9881  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  11522