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Theorem cvgratnnlemabsle 11567
Description: Lemma for cvgratnn 11571. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnn.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4 (𝜑𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0 (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
cvgratnn.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
cvgratnn.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlemabsle (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹𝑖)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖𝑀))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑖,𝐹,𝑘   𝑖,𝑀,𝑘   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem cvgratnnlemabsle
StepHypRef Expression
1 cvgratnn.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21nnzd 9404 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
32peano2zd 9408 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
4 cvgratnn.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzelz 9567 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
64, 5syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
73, 6fzfigd 10462 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin)
8 fveq2 5534 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑖))
98eleq1d 2258 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑖) ∈ ℂ))
10 cvgratnn.6 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1110ralrimiva 2563 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1211adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
13 elfzelz 10055 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 𝑖 ∈ ℤ)
1413adantl 277 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ)
15 0red 7988 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
161peano2nnd 8964 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
1716adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
1817nnred 8962 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
1914zred 9405 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
2016nngt0d 8993 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (𝑀 + 1))
2120adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 < (𝑀 + 1))
22 elfzle1 10057 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑖)
2322adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑖)
2415, 18, 19, 21, 23ltletrd 8410 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 < 𝑖)
25 elnnz 9293 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑖))
2614, 24, 25sylanbrc 417 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ)
279, 12, 26rspcdva 2861 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
287, 27fsumcl 11440 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹𝑖) ∈ ℂ)
2928abscld 11222 . . 3 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹𝑖)) ∈ ℝ)
3027abscld 11222 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (abs‘(𝐹𝑖)) ∈ ℝ)
317, 30fsumrecl 11441 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(abs‘(𝐹𝑖)) ∈ ℝ)
32 fveq2 5534 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
3332eleq1d 2258 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℂ))
3433, 11, 1rspcdva 2861 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
3534adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
3635abscld 11222 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (abs‘(𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
37 cvgratnn.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3837adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
392adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4014, 39zsubcld 9410 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑖𝑀) ∈ ℤ)
411adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
4241nnred 8962 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
4342lep1d 8918 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
4442, 18, 19, 43, 23letrd 8111 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀𝑖)
4519, 42subge0d 8522 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (0 ≤ (𝑖𝑀) ↔ 𝑀𝑖))
4644, 45mpbird 167 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝑖𝑀))
47 elnn0z 9296 . . . . . . 7 ((𝑖𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑖𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑖𝑀)))
4840, 46, 47sylanbrc 417 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑖𝑀) ∈ ℕ0)
4938, 48reexpcld 10702 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐴↑(𝑖𝑀)) ∈ ℝ)
5036, 49remulcld 8018 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑖𝑀))) ∈ ℝ)
517, 50fsumrecl 11441 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑖𝑀))) ∈ ℝ)
527, 27fsumabs 11505 . . 3 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹𝑖)) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(abs‘(𝐹𝑖)))
53 cvgratnn.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 1)
5453adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 < 1)
55 cvgratnn.gt0 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝐴)
5655adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 < 𝐴)
5710adantlr 477 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
58 cvgratnn.7 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
5958adantlr 477 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
60 eluz2 9564 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑖))
6139, 14, 44, 60syl3anbrc 1183 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
6238, 54, 56, 57, 59, 41, 61cvgratnnlemmn 11565 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (abs‘(𝐹𝑖)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑖𝑀))))
637, 30, 50, 62fsumle 11503 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(abs‘(𝐹𝑖)) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑖𝑀))))
6429, 31, 51, 52, 63letrd 8111 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹𝑖)) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑖𝑀))))
6534abscld 11222 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
6665recnd 8016 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ∈ ℂ)
6738recnd 8016 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6867, 48expcld 10685 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐴↑(𝑖𝑀)) ∈ ℂ)
697, 66, 68fsummulc2 11488 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝑀)) · Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖𝑀))) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑖𝑀))))
7064, 69breqtrrd 4046 1 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹𝑖)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖𝑀))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160  wral 2468   class class class wbr 4018  cfv 5235  (class class class)co 5896  cc 7839  cr 7840  0cc0 7841  1c1 7842   + caddc 7844   · cmul 7846   < clt 8022  cle 8023  cmin 8158  cn 8949  0cn0 9206  cz 9283  cuz 9558  ...cfz 10038  cexp 10550  abscabs 11038  Σcsu 11393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-frec 6416  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-er 6559  df-en 6767  df-dom 6768  df-fin 6769  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-ico 9924  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-ihash 10788  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-clim 11319  df-sumdc 11394
This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  11570
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