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Theorem cvgratnnlemabsle 10984
 Description: Lemma for cvgratnn 10988. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnn.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4 (𝜑𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0 (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
cvgratnn.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
cvgratnn.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlemabsle (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹𝑖)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖𝑀))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑖,𝐹,𝑘   𝑖,𝑀,𝑘   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem cvgratnnlemabsle
StepHypRef Expression
1 cvgratnn.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21nnzd 8930 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
32peano2zd 8934 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
4 cvgratnn.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzelz 9091 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
64, 5syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
73, 6fzfigd 9901 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin)
8 fveq2 5320 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑖))
98eleq1d 2157 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑖) ∈ ℂ))
10 cvgratnn.6 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1110ralrimiva 2447 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1211adantr 271 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
13 elfzelz 9503 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 𝑖 ∈ ℤ)
1413adantl 272 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ)
15 0red 7552 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
161peano2nnd 8500 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
1716adantr 271 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
1817nnred 8498 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
1914zred 8931 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
2016nngt0d 8529 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (𝑀 + 1))
2120adantr 271 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 < (𝑀 + 1))
22 elfzle1 9504 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑖)
2322adantl 272 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑖)
2415, 18, 19, 21, 23ltletrd 7964 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 < 𝑖)
25 elnnz 8823 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑖))
2614, 24, 25sylanbrc 409 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ)
279, 12, 26rspcdva 2730 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
287, 27fsumcl 10857 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹𝑖) ∈ ℂ)
2928abscld 10677 . . 3 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹𝑖)) ∈ ℝ)
3027abscld 10677 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (abs‘(𝐹𝑖)) ∈ ℝ)
317, 30fsumrecl 10858 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(abs‘(𝐹𝑖)) ∈ ℝ)
32 fveq2 5320 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
3332eleq1d 2157 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℂ))
3433, 11, 1rspcdva 2730 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
3534adantr 271 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
3635abscld 10677 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (abs‘(𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
37 cvgratnn.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3837adantr 271 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
392adantr 271 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4014, 39zsubcld 8936 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑖𝑀) ∈ ℤ)
411adantr 271 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
4241nnred 8498 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
4342lep1d 8455 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
4442, 18, 19, 43, 23letrd 7670 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀𝑖)
4519, 42subge0d 8075 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (0 ≤ (𝑖𝑀) ↔ 𝑀𝑖))
4644, 45mpbird 166 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝑖𝑀))
47 elnn0z 8826 . . . . . . 7 ((𝑖𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑖𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑖𝑀)))
4840, 46, 47sylanbrc 409 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑖𝑀) ∈ ℕ0)
4938, 48reexpcld 10166 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐴↑(𝑖𝑀)) ∈ ℝ)
5036, 49remulcld 7581 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑖𝑀))) ∈ ℝ)
517, 50fsumrecl 10858 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑖𝑀))) ∈ ℝ)
527, 27fsumabs 10922 . . 3 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹𝑖)) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(abs‘(𝐹𝑖)))
53 cvgratnn.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 1)
5453adantr 271 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 < 1)
55 cvgratnn.gt0 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝐴)
5655adantr 271 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 < 𝐴)
5710adantlr 462 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
58 cvgratnn.7 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
5958adantlr 462 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
60 eluz2 9088 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑖))
6139, 14, 44, 60syl3anbrc 1128 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
6238, 54, 56, 57, 59, 41, 61cvgratnnlemmn 10982 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (abs‘(𝐹𝑖)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑖𝑀))))
637, 30, 50, 62fsumle 10920 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(abs‘(𝐹𝑖)) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑖𝑀))))
6429, 31, 51, 52, 63letrd 7670 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹𝑖)) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑖𝑀))))
6534abscld 10677 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
6665recnd 7579 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ∈ ℂ)
6738recnd 7579 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6867, 48expcld 10149 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐴↑(𝑖𝑀)) ∈ ℂ)
697, 66, 68fsummulc2 10905 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝑀)) · Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖𝑀))) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑖𝑀))))
7064, 69breqtrrd 3879 1 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹𝑖)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖𝑀))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  ∀wral 2360   class class class wbr 3853  ‘cfv 5030  (class class class)co 5668  ℂcc 7411  ℝcr 7412  0cc0 7413  1c1 7414   + caddc 7416   · cmul 7418   < clt 7585   ≤ cle 7586   − cmin 7716  ℕcn 8485  ℕ0cn0 8736  ℤcz 8813  ℤ≥cuz 9082  ...cfz 9487  ↑cexp 10017  abscabs 10493  Σcsu 10805 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-ico 9375  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-ihash 10247  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806 This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  10987
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