Theorem cvgratnnlemabsle 11673

Description: Lemma for cvgratnn 11677. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnn.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
cvgratnn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
cvgratnn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlemabsle	⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖)) ≤ ((abs‘(𝐹‘𝑀)) · Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 − 𝑀))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑖,𝐹,𝑘   𝑖,𝑀,𝑘   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem cvgratnnlemabsle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratnn.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 9441	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	peano2zd 9445	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
4		cvgratnn.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		eluzelz 9604	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	3, 6	fzfigd 10505	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin)
8		fveq2 5555	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
9	8	eleq1d 2262	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
10		cvgratnn.6	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
11	10	ralrimiva 2567	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
12	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13		elfzelz 10094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 𝑖 ∈ ℤ)
14	13	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ)
15		0red 8022	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
16	1	peano2nnd 8999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
17	16	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
18	17	nnred 8997	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
19	14	zred 9442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
20	16	nngt0d 9028	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑀 + 1))
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 < (𝑀 + 1))
22		elfzle1 10096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑖)
23	22	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑖)
24	15, 18, 19, 21, 23	ltletrd 8444	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 < 𝑖)
25		elnnz 9330	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑖))
26	14, 24, 25	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ)
27	9, 12, 26	rspcdva 2870	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
28	7, 27	fsumcl 11546	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
29	28	abscld 11328	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖)) ∈ ℝ)
30	27	abscld 11328	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (abs‘(𝐹‘𝑖)) ∈ ℝ)
31	7, 30	fsumrecl 11547	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(abs‘(𝐹‘𝑖)) ∈ ℝ)
32		fveq2 5555	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
33	32	eleq1d 2262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ))
34	33, 11, 1	rspcdva 2870	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
35	34	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
36	35	abscld 11328	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (abs‘(𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
37		cvgratnn.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
38	37	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
39	2	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
40	14, 39	zsubcld 9447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑖 − 𝑀) ∈ ℤ)
41	1	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
42	41	nnred 8997	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
43	42	lep1d 8952	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
44	42, 18, 19, 43, 23	letrd 8145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑖)
45	19, 42	subge0d 8556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (0 ≤ (𝑖 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑖))
46	44, 45	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝑖 − 𝑀))
47		elnn0z 9333	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 − 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑖 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑖 − 𝑀)))
48	40, 46, 47	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑖 − 𝑀) ∈ ℕ0)
49	38, 48	reexpcld 10764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐴↑(𝑖 − 𝑀)) ∈ ℝ)
50	36, 49	remulcld 8052	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ((abs‘(𝐹‘𝑀)) · (𝐴↑(𝑖 − 𝑀))) ∈ ℝ)
51	7, 50	fsumrecl 11547	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((abs‘(𝐹‘𝑀)) · (𝐴↑(𝑖 − 𝑀))) ∈ ℝ)
52	7, 27	fsumabs 11611	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖)) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(abs‘(𝐹‘𝑖)))
53		cvgratnn.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
54	53	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 < 1)
55		cvgratnn.gt0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
56	55	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 < 𝐴)
57	10	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
58		cvgratnn.7	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
59	58	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
60		eluz2 9601	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑖))
61	39, 14, 44, 60	syl3anbrc 1183	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
62	38, 54, 56, 57, 59, 41, 61	cvgratnnlemmn 11671	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (abs‘(𝐹‘𝑖)) ≤ ((abs‘(𝐹‘𝑀)) · (𝐴↑(𝑖 − 𝑀))))
63	7, 30, 50, 62	fsumle 11609	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(abs‘(𝐹‘𝑖)) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((abs‘(𝐹‘𝑀)) · (𝐴↑(𝑖 − 𝑀))))
64	29, 31, 51, 52, 63	letrd 8145	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖)) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((abs‘(𝐹‘𝑀)) · (𝐴↑(𝑖 − 𝑀))))
65	34	abscld 11328	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
66	65	recnd 8050	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑀)) ∈ ℂ)
67	38	recnd 8050	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
68	67, 48	expcld 10747	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐴↑(𝑖 − 𝑀)) ∈ ℂ)
69	7, 66, 68	fsummulc2 11594	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘𝑀)) · Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 − 𝑀))) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((abs‘(𝐹‘𝑀)) · (𝐴↑(𝑖 − 𝑀))))
70	64, 69	breqtrrd 4058	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖)) ≤ ((abs‘(𝐹‘𝑀)) · Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 − 𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472   class class class wbr 4030  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  ℝcr 7873  0cc0 7874  1c1 7875   + caddc 7877   · cmul 7879   < clt 8056   ≤ cle 8057   − cmin 8192  ℕcn 8984  ℕ₀cn0 9243  ℤcz 9320  ℤ_≥cuz 9595  ...cfz 10077  ↑cexp 10612  abscabs 11144  Σcsu 11499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-ico 9963  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-ihash 10850  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  11676