Theorem cvgratnnlemabsle 11567

Description: Lemma for cvgratnn 11571. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnn.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
cvgratnn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
cvgratnn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlemabsle	⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖)) ≤ ((abs‘(𝐹‘𝑀)) · Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 − 𝑀))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑖,𝐹,𝑘   𝑖,𝑀,𝑘   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem cvgratnnlemabsle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratnn.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 9404	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	peano2zd 9408	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
4		cvgratnn.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		eluzelz 9567	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	3, 6	fzfigd 10462	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin)
8		fveq2 5534	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
9	8	eleq1d 2258	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
10		cvgratnn.6	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
11	10	ralrimiva 2563	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
12	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13		elfzelz 10055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 𝑖 ∈ ℤ)
14	13	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ)
15		0red 7988	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
16	1	peano2nnd 8964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
17	16	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
18	17	nnred 8962	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
19	14	zred 9405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
20	16	nngt0d 8993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑀 + 1))
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 < (𝑀 + 1))
22		elfzle1 10057	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑖)
23	22	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑖)
24	15, 18, 19, 21, 23	ltletrd 8410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 < 𝑖)
25		elnnz 9293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑖))
26	14, 24, 25	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ)
27	9, 12, 26	rspcdva 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
28	7, 27	fsumcl 11440	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
29	28	abscld 11222	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖)) ∈ ℝ)
30	27	abscld 11222	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (abs‘(𝐹‘𝑖)) ∈ ℝ)
31	7, 30	fsumrecl 11441	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(abs‘(𝐹‘𝑖)) ∈ ℝ)
32		fveq2 5534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
33	32	eleq1d 2258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ))
34	33, 11, 1	rspcdva 2861	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
35	34	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
36	35	abscld 11222	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (abs‘(𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
37		cvgratnn.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
38	37	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
39	2	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
40	14, 39	zsubcld 9410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑖 − 𝑀) ∈ ℤ)
41	1	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
42	41	nnred 8962	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
43	42	lep1d 8918	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
44	42, 18, 19, 43, 23	letrd 8111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑖)
45	19, 42	subge0d 8522	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (0 ≤ (𝑖 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑖))
46	44, 45	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝑖 − 𝑀))
47		elnn0z 9296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 − 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑖 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑖 − 𝑀)))
48	40, 46, 47	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑖 − 𝑀) ∈ ℕ0)
49	38, 48	reexpcld 10702	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐴↑(𝑖 − 𝑀)) ∈ ℝ)
50	36, 49	remulcld 8018	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ((abs‘(𝐹‘𝑀)) · (𝐴↑(𝑖 − 𝑀))) ∈ ℝ)
51	7, 50	fsumrecl 11441	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((abs‘(𝐹‘𝑀)) · (𝐴↑(𝑖 − 𝑀))) ∈ ℝ)
52	7, 27	fsumabs 11505	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖)) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(abs‘(𝐹‘𝑖)))
53		cvgratnn.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
54	53	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 < 1)
55		cvgratnn.gt0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
56	55	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 < 𝐴)
57	10	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
58		cvgratnn.7	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
59	58	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
60		eluz2 9564	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑖))
61	39, 14, 44, 60	syl3anbrc 1183	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
62	38, 54, 56, 57, 59, 41, 61	cvgratnnlemmn 11565	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (abs‘(𝐹‘𝑖)) ≤ ((abs‘(𝐹‘𝑀)) · (𝐴↑(𝑖 − 𝑀))))
63	7, 30, 50, 62	fsumle 11503	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(abs‘(𝐹‘𝑖)) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((abs‘(𝐹‘𝑀)) · (𝐴↑(𝑖 − 𝑀))))
64	29, 31, 51, 52, 63	letrd 8111	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖)) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((abs‘(𝐹‘𝑀)) · (𝐴↑(𝑖 − 𝑀))))
65	34	abscld 11222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
66	65	recnd 8016	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑀)) ∈ ℂ)
67	38	recnd 8016	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
68	67, 48	expcld 10685	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐴↑(𝑖 − 𝑀)) ∈ ℂ)
69	7, 66, 68	fsummulc2 11488	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘𝑀)) · Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 − 𝑀))) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((abs‘(𝐹‘𝑀)) · (𝐴↑(𝑖 − 𝑀))))
70	64, 69	breqtrrd 4046	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖)) ≤ ((abs‘(𝐹‘𝑀)) · Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 − 𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468   class class class wbr 4018  ‘cfv 5235  (class class class)co 5896  ℂcc 7839  ℝcr 7840  0cc0 7841  1c1 7842   + caddc 7844   · cmul 7846   < clt 8022   ≤ cle 8023   − cmin 8158  ℕcn 8949  ℕ₀cn0 9206  ℤcz 9283  ℤ_≥cuz 9558  ...cfz 10038  ↑cexp 10550  abscabs 11038  Σcsu 11393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-frec 6416  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-er 6559  df-en 6767  df-dom 6768  df-fin 6769  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-ico 9924  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-ihash 10788  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-clim 11319  df-sumdc 11394

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  11570