Theorem cvgratnnlemabsle 12319

Description: Lemma for cvgratnn 12323. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnn.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
cvgratnn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
cvgratnn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlemabsle	⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖)) ≤ ((abs‘(𝐹‘𝑀)) · Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 − 𝑀))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑖,𝐹,𝑘   𝑖,𝑀,𝑘   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem cvgratnnlemabsle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratnn.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 9778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	peano2zd 9782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
4		cvgratnn.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		eluzelz 9947	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	3, 6	fzfigd 10889	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin)
8		fveq2 5698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
9	8	eleq1d 2307	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
10		cvgratnn.6	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
11	10	ralrimiva 2623	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
12	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13		elfzelz 10445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 𝑖 ∈ ℤ)
14	13	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ)
15		0red 8333	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
16	1	peano2nnd 9328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
17	16	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
18	17	nnred 9326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
19	14	zred 9779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
20	16	nngt0d 9357	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑀 + 1))
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 < (𝑀 + 1))
22		elfzle1 10448	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑖)
23	22	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑖)
24	15, 18, 19, 21, 23	ltletrd 8758	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 < 𝑖)
25		elnnz 9665	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑖))
26	14, 24, 25	sylanbrc 421	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ)
27	9, 12, 26	rspcdva 2934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
28	7, 27	fsumcl 12192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
29	28	abscld 11970	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖)) ∈ ℝ)
30	27	abscld 11970	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (abs‘(𝐹‘𝑖)) ∈ ℝ)
31	7, 30	fsumrecl 12193	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(abs‘(𝐹‘𝑖)) ∈ ℝ)
32		fveq2 5698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
33	32	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ))
34	33, 11, 1	rspcdva 2934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
35	34	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
36	35	abscld 11970	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (abs‘(𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
37		cvgratnn.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
38	37	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
39	2	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
40	14, 39	zsubcld 9784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑖 − 𝑀) ∈ ℤ)
41	1	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
42	41	nnred 9326	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
43	42	lep1d 9269	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
44	42, 18, 19, 43, 23	letrd 8457	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑖)
45	19, 42	subge0d 8870	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (0 ≤ (𝑖 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑖))
46	44, 45	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝑖 − 𝑀))
47		elnn0z 9668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 − 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑖 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑖 − 𝑀)))
48	40, 46, 47	sylanbrc 421	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑖 − 𝑀) ∈ ℕ0)
49	38, 48	reexpcld 11149	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐴↑(𝑖 − 𝑀)) ∈ ℝ)
50	36, 49	remulcld 8362	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ((abs‘(𝐹‘𝑀)) · (𝐴↑(𝑖 − 𝑀))) ∈ ℝ)
51	7, 50	fsumrecl 12193	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((abs‘(𝐹‘𝑀)) · (𝐴↑(𝑖 − 𝑀))) ∈ ℝ)
52	7, 27	fsumabs 12257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖)) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(abs‘(𝐹‘𝑖)))
53		cvgratnn.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
54	53	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 < 1)
55		cvgratnn.gt0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
56	55	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 < 𝐴)
57	10	adantlr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
58		cvgratnn.7	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
59	58	adantlr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
60		eluz2 9943	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑖))
61	39, 14, 44, 60	syl3anbrc 1212	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
62	38, 54, 56, 57, 59, 41, 61	cvgratnnlemmn 12317	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (abs‘(𝐹‘𝑖)) ≤ ((abs‘(𝐹‘𝑀)) · (𝐴↑(𝑖 − 𝑀))))
63	7, 30, 50, 62	fsumle 12255	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(abs‘(𝐹‘𝑖)) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((abs‘(𝐹‘𝑀)) · (𝐴↑(𝑖 − 𝑀))))
64	29, 31, 51, 52, 63	letrd 8457	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖)) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((abs‘(𝐹‘𝑀)) · (𝐴↑(𝑖 − 𝑀))))
65	34	abscld 11970	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
66	65	recnd 8360	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑀)) ∈ ℂ)
67	38	recnd 8360	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
68	67, 48	expcld 11132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐴↑(𝑖 − 𝑀)) ∈ ℂ)
69	7, 66, 68	fsummulc2 12240	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘𝑀)) · Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 − 𝑀))) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)((abs‘(𝐹‘𝑀)) · (𝐴↑(𝑖 − 𝑀))))
70	64, 69	breqtrrd 4159	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑖)) ≤ ((abs‘(𝐹‘𝑀)) · Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 − 𝑀))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8183  ℝcr 8184  0cc0 8185  1c1 8186   + caddc 8188   · cmul 8190   < clt 8366   ≤ cle 8367   − cmin 8504  ℕcn 9313  ℕ₀cn0 9574  ℤcz 9655  ℤ_≥cuz 9937  ...cfz 10428  ↑cexp 10996  abscabs 11785  Σcsu 12144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-ico 10313  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-sumdc 12145

This theorem is used by:  cvgratnnlemrate  12322