ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pmresg GIF version

Theorem pmresg 6624
Description: Elementhood of a restricted function in the set of partial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
pmresg ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐴pm 𝐵))

Proof of Theorem pmresg
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-pm 6599 . . . 4 pm = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑓 ∈ 𝒫 (𝑦 × 𝑥) ∣ Fun 𝑓})
21elmpocl1 6022 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
32adantl 275 . 2 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → 𝐴 ∈ V)
4 simpl 108 . 2 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → 𝐵𝑉)
5 elpmi 6615 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶) → (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐶))
65simpld 111 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶) → 𝐹:dom 𝐹𝐴)
76adantl 275 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → 𝐹:dom 𝐹𝐴)
8 inss1 3328 . . . 4 (dom 𝐹𝐵) ⊆ dom 𝐹
9 fssres 5348 . . . 4 ((𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ (dom 𝐹𝐵) ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵)):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴)
107, 8, 9sylancl 410 . . 3 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → (𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵)):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴)
11 ffun 5325 . . . . 5 (𝐹:dom 𝐹𝐴 → Fun 𝐹)
12 resres 4881 . . . . . 6 ((𝐹 ↾ dom 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵))
13 funrel 5190 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
14 resdm 4908 . . . . . . 7 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ dom 𝐹) = 𝐹)
15 reseq1 4863 . . . . . . 7 ((𝐹 ↾ dom 𝐹) = 𝐹 → ((𝐹 ↾ dom 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝐹𝐵))
1613, 14, 153syl 17 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ dom 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝐹𝐵))
1712, 16eqtr3id 2204 . . . . 5 (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵)) = (𝐹𝐵))
187, 11, 173syl 17 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → (𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵)) = (𝐹𝐵))
1918feq1d 5309 . . 3 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → ((𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵)):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴 ↔ (𝐹𝐵):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴))
2010, 19mpbid 146 . 2 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → (𝐹𝐵):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴)
21 inss2 3329 . . 3 (dom 𝐹𝐵) ⊆ 𝐵
22 elpm2r 6614 . . 3 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) ∧ ((𝐹𝐵):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴 ∧ (dom 𝐹𝐵) ⊆ 𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐴pm 𝐵))
2321, 22mpanr2 435 . 2 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) ∧ (𝐹𝐵):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐴pm 𝐵))
243, 4, 20, 23syl21anc 1219 1 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐴pm 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1335  wcel 2128  {crab 2439  Vcvv 2712  cin 3101  wss 3102  𝒫 cpw 3544   × cxp 4587  dom cdm 4589  cres 4591  Rel wrel 4594  Fun wfun 5167  wf 5169  (class class class)co 5827  pm cpm 6597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4029  df-id 4256  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-fv 5181  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-pm 6599
This theorem is referenced by:  lmres  12744
  Copyright terms: Public domain W3C validator