ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprodmul GIF version

Theorem fprodmul 11598
Description: The product of two finite products. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodmul.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fprodmul.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
fprodmul.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
fprodmul (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 Β· 𝐢) = (βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 Β· βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘˜)   𝐢(π‘˜)

Proof of Theorem fprodmul
Dummy variables 𝑝 𝑓 π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1t1e1 9070 . . . . 5 (1 Β· 1) = 1
2 prod0 11592 . . . . . 6 βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 = 1
3 prod0 11592 . . . . . 6 βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 𝐢 = 1
42, 3oveq12i 5886 . . . . 5 (βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 Β· βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 𝐢) = (1 Β· 1)
5 prod0 11592 . . . . 5 βˆπ‘˜ ∈ βˆ… (𝐡 Β· 𝐢) = 1
61, 4, 53eqtr4ri 2209 . . . 4 βˆπ‘˜ ∈ βˆ… (𝐡 Β· 𝐢) = (βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 Β· βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 𝐢)
7 prodeq1 11560 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 Β· 𝐢) = βˆπ‘˜ ∈ βˆ… (𝐡 Β· 𝐢))
8 prodeq1 11560 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 𝐡)
9 prodeq1 11560 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 𝐢)
108, 9oveq12d 5892 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ (βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 Β· βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢) = (βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 Β· βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 𝐢))
116, 7, 103eqtr4a 2236 . . 3 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 Β· 𝐢) = (βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 Β· βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢))
1211a1i 9 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 = βˆ… β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 Β· 𝐢) = (βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 Β· βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)))
13 simprl 529 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•)
14 nnuz 9562 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
1513, 14eleqtrdi 2270 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
16 elnnuz 9563 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ β„• ↔ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
1716biimpri 133 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
1817adantl 277 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
19 fprodmul.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2019fmpttd 5671 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
2120adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
22 f1of 5461 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
2322ad2antll 491 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
24 fco 5381 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
2521, 23, 24syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
2625ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
27 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄))
28 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
2913ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•)
3029nnzd 9373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„€)
31 elfz5 10016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„€) β†’ (𝑝 ∈ (1...(β™―β€˜π΄)) ↔ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)))
3228, 30, 31syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ (𝑝 ∈ (1...(β™―β€˜π΄)) ↔ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)))
3327, 32mpbird 167 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ 𝑝 ∈ (1...(β™―β€˜π΄)))
3426, 33ffvelcdmd 5652 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘) ∈ β„‚)
35 1cnd 7972 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ 1 ∈ β„‚)
3618nnzd 9373 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 𝑝 ∈ β„€)
3713adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•)
3837nnzd 9373 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„€)
39 zdcle 9328 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„€) β†’ DECID 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄))
4036, 38, 39syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ DECID 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄))
4134, 35, 40ifcldadc 3563 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1) ∈ β„‚)
42 breq1 4006 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑝 β†’ (𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄) ↔ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)))
43 fveq2 5515 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑝 β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘))
4442, 43ifbieq1d 3556 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑝 β†’ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1) = if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1))
45 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1))
4644, 45fvmptg 5592 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ β„• ∧ if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1) ∈ β„‚) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1))β€˜π‘) = if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1))
4718, 41, 46syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1))β€˜π‘) = if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1))
4847, 41eqeltrd 2254 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1))β€˜π‘) ∈ β„‚)
49 fprodmul.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
5049fmpttd 5671 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
5150adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
52 fco 5381 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
5351, 23, 52syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
5453ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
5554, 33ffvelcdmd 5652 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘) ∈ β„‚)
5655, 35, 40ifcldadc 3563 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1) ∈ β„‚)
57 fveq2 5515 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑝 β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘))
5842, 57ifbieq1d 3556 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑝 β†’ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1) = if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1))
59 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1))
6058, 59fvmptg 5592 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ β„• ∧ if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1) ∈ β„‚) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1))β€˜π‘) = if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1))
6118, 56, 60syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1))β€˜π‘) = if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1))
6261, 56eqeltrd 2254 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1))β€˜π‘) ∈ β„‚)
6323ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
6463, 33ffvelcdmd 5652 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ (π‘“β€˜π‘) ∈ 𝐴)
65 csbov12g 5913 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘“β€˜π‘) ∈ 𝐴 β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦Œ(𝐡 Β· 𝐢) = (⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦Œπ΅ Β· ⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦ŒπΆ))
6664, 65syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦Œ(𝐡 Β· 𝐢) = (⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦Œπ΅ Β· ⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦ŒπΆ))
6719, 49mulcld 7977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 Β· 𝐢) ∈ β„‚)
6867ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 Β· 𝐢) ∈ β„‚)
6968ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 Β· 𝐢) ∈ β„‚)
70 nfcsb1v 3090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘˜β¦‹(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦Œ(𝐡 Β· 𝐢)
7170nfel1 2330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘˜β¦‹(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦Œ(𝐡 Β· 𝐢) ∈ β„‚
72 csbeq1a 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘) β†’ (𝐡 Β· 𝐢) = ⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦Œ(𝐡 Β· 𝐢))
7372eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘) β†’ ((𝐡 Β· 𝐢) ∈ β„‚ ↔ ⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦Œ(𝐡 Β· 𝐢) ∈ β„‚))
7471, 73rspc 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘“β€˜π‘) ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 Β· 𝐢) ∈ β„‚ β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦Œ(𝐡 Β· 𝐢) ∈ β„‚))
7564, 69, 74sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦Œ(𝐡 Β· 𝐢) ∈ β„‚)
76 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢))
7776fvmpts 5594 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘“β€˜π‘) ∈ 𝐴 ∧ ⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦Œ(𝐡 Β· 𝐢) ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘)) = ⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦Œ(𝐡 Β· 𝐢))
7864, 75, 77syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘)) = ⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦Œ(𝐡 Β· 𝐢))
7919ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚)
8079ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚)
81 nfcsb1v 3090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘˜β¦‹(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦Œπ΅
8281nfel1 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘˜β¦‹(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚
83 csbeq1a 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘) β†’ 𝐡 = ⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦Œπ΅)
8483eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘) β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
8582, 84rspc 2835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘“β€˜π‘) ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚ β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
8664, 80, 85sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
87 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
8887fvmpts 5594 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘“β€˜π‘) ∈ 𝐴 ∧ ⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘)) = ⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦Œπ΅)
8964, 86, 88syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘)) = ⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦Œπ΅)
9049ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 ∈ β„‚)
9190ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 ∈ β„‚)
92 nfcsb1v 3090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘˜β¦‹(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦ŒπΆ
9392nfel1 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘˜β¦‹(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚
94 csbeq1a 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘) β†’ 𝐢 = ⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦ŒπΆ)
9594eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘) β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ↔ ⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
9693, 95rspc 2835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘“β€˜π‘) ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 ∈ β„‚ β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
9764, 91, 96sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
98 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
9998fvmpts 5594 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘“β€˜π‘) ∈ 𝐴 ∧ ⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘)) = ⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦ŒπΆ)
10064, 97, 99syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘)) = ⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦ŒπΆ)
10189, 100oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘)) Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = (⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦Œπ΅ Β· ⦋(π‘“β€˜π‘) / π‘˜β¦ŒπΆ))
10266, 78, 1013eqtr4d 2220 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘)) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘)) Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘))))
103 fvco3 5587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑝 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘)))
10463, 33, 103syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘)))
105 fvco3 5587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑝 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘)))
10663, 33, 105syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘)))
107 fvco3 5587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑝 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘)))
10863, 33, 107syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘)))
109106, 108oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ ((((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘) Β· (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘)) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘)) Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘))))
110102, 104, 1093eqtr4d 2220 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘) = ((((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘) Β· (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘)))
11127iftrued 3541 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘))
11227iftrued 3541 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘))
11327iftrued 3541 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘))
114112, 113oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ (if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1) Β· if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1)) = ((((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘) Β· (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘)))
115110, 111, 1143eqtr4d 2220 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1) = (if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1) Β· if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1)))
1161eqcomi 2181 . . . . . . . . . . 11 1 = (1 Β· 1)
117 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄))
118117iffalsed 3544 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1) = 1)
119117iffalsed 3544 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1) = 1)
120117iffalsed 3544 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1) = 1)
121119, 120oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ (if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1) Β· if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1)) = (1 Β· 1))
122116, 118, 1213eqtr4a 2236 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1) = (if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1) Β· if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1)))
123 exmiddc 836 . . . . . . . . . . 11 (DECID 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄) β†’ (𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄) ∨ Β¬ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)))
12440, 123syl 14 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄) ∨ Β¬ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)))
125115, 122, 124mpjaodan 798 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1) = (if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1) Β· if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1)))
12678, 75eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘)) ∈ β„‚)
127104, 126eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘) ∈ β„‚)
128127, 35, 40ifcldadc 3563 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1) ∈ β„‚)
129 fveq2 5515 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑝 β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘))
13042, 129ifbieq1d 3556 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑝 β†’ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1) = if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1))
131 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1))
132130, 131fvmptg 5592 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ β„• ∧ if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1) ∈ β„‚) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1))β€˜π‘) = if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1))
13318, 128, 132syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1))β€˜π‘) = if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1))
13447, 61oveq12d 5892 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1))β€˜π‘) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1))β€˜π‘)) = (if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1) Β· if(𝑝 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘), 1)))
135125, 133, 1343eqtr4d 2220 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1))β€˜π‘) = (((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1))β€˜π‘) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1))β€˜π‘)))
13615, 48, 62, 135prod3fmul 11548 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1)))β€˜(β™―β€˜π΄)) = ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1)))β€˜(β™―β€˜π΄)) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1)))β€˜(β™―β€˜π΄))))
137 fveq2 5515 . . . . . . . 8 (π‘š = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
138 simprr 531 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)
13967fmpttd 5671 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)):π΄βŸΆβ„‚)
140139adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)):π΄βŸΆβ„‚)
141140ffvelcdmda 5651 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
142 fvco3 5587 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
14323, 142sylan 283 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
144137, 13, 138, 141, 143fprodseq 11590 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢))β€˜π‘š) = (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1)))β€˜(β™―β€˜π΄)))
145 fveq2 5515 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
14621ffvelcdmda 5651 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
147 fvco3 5587 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
14823, 147sylan 283 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
149145, 13, 138, 146, 148fprodseq 11590 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1)))β€˜(β™―β€˜π΄)))
150 fveq2 5515 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
15151ffvelcdmda 5651 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
152 fvco3 5587 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
15323, 152sylan 283 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
154150, 13, 138, 151, 153fprodseq 11590 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1)))β€˜(β™―β€˜π΄)))
155149, 154oveq12d 5892 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) Β· βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š)) = ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1)))β€˜(β™―β€˜π΄)) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 1)))β€˜(β™―β€˜π΄))))
156136, 144, 1553eqtr4d 2220 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢))β€˜π‘š) = (βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) Β· βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š)))
157 prodfct 11594 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 Β· 𝐢) ∈ β„‚ β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢))β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 Β· 𝐢))
15868, 157syl 14 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢))β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 Β· 𝐢))
159158adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢))β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 Β· 𝐢))
160 prodfct 11594 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚ β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
16179, 160syl 14 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
162 prodfct 11594 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 ∈ β„‚ β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)
16390, 162syl 14 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)
164161, 163oveq12d 5892 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) Β· βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š)) = (βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 Β· βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢))
165164adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) Β· βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š)) = (βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 Β· βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢))
166156, 159, 1653eqtr3d 2218 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 Β· 𝐢) = (βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 Β· βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢))
167166expr 375 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 Β· 𝐢) = (βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 Β· βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)))
168167exlimdv 1819 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 Β· 𝐢) = (βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 Β· βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)))
169168expimpd 363 . 2 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 Β· 𝐢) = (βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 Β· βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)))
170 fprodmul.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
171 fz1f1o 11382 . . 3 (𝐴 ∈ Fin β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)))
172170, 171syl 14 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)))
17312, 169, 172mpjaod 718 1 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 Β· 𝐢) = (βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 Β· βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353  βˆƒwex 1492   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  β¦‹csb 3057  βˆ…c0 3422  ifcif 3534   class class class wbr 4003   ↦ cmpt 4064   ∘ ccom 4630  βŸΆwf 5212  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 5215  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  Fincfn 6739  β„‚cc 7808  1c1 7811   Β· cmul 7815   ≀ cle 7992  β„•cn 8918  β„€cz 9252  β„€β‰₯cuz 9527  ...cfz 10007  seqcseq 10444  β™―chash 10754  βˆcprod 11557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-ihash 10755  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-proddc 11558
This theorem is referenced by:  fprodsplitdc  11603  fproddivap  11637
  Copyright terms: Public domain W3C validator