ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcomprg GIF version

Theorem mulcomprg 7592
Description: Multiplication of positive reals is commutative. Proposition 9-3.7(ii) of [Gleason] p. 124. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcomprg ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) = (๐ต ยทP ๐ด))

Proof of Theorem mulcomprg
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prop 7487 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ P โ†’ โŸจ(1st โ€˜๐ต), (2nd โ€˜๐ต)โŸฉ โˆˆ P)
2 elprnql 7493 . . . . . . . . 9 ((โŸจ(1st โ€˜๐ต), (2nd โ€˜๐ต)โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ต)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Q)
31, 2sylan 283 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ต)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Q)
4 prop 7487 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ P โ†’ โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P)
5 elprnql 7493 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Q)
64, 5sylan 283 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Q)
7 mulcomnqg 7395 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง))
87eqeq2d 2199 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)))
96, 8sylan2 286 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ Q โˆง (๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1st โ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)))
109anassrs 400 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐ด โˆˆ P) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)))
1110rexbidva 2484 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐ด โˆˆ P) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)))
1211ancoms 268 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)))
133, 12sylan2 286 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)))
1413anassrs 400 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ต)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)))
1514rexbidva 2484 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)))
16 rexcom 2651 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง))
1715, 16bitrdi 196 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)))
1817rabbidv 2738 . . 3 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)} = {๐‘ฅ โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)})
19 elprnqu 7494 . . . . . . . . 9 ((โŸจ(1st โ€˜๐ต), (2nd โ€˜๐ต)โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Q)
201, 19sylan 283 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Q)
21 elprnqu 7494 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Q)
224, 21sylan 283 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Q)
2322, 8sylan2 286 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ Q โˆง (๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)))
2423anassrs 400 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐ด โˆˆ P) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)))
2524rexbidva 2484 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐ด โˆˆ P) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)))
2625ancoms 268 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)))
2720, 26sylan2 286 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)))
2827anassrs 400 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)))
2928rexbidva 2484 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)))
30 rexcom 2651 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง))
3129, 30bitrdi 196 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)))
3231rabbidv 2738 . . 3 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)} = {๐‘ฅ โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)})
3318, 32opeq12d 3798 . 2 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ โŸจ{๐‘ฅ โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)}, {๐‘ฅ โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)}โŸฉ = โŸจ{๐‘ฅ โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)}, {๐‘ฅ โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)}โŸฉ)
34 mpvlu 7551 . . 3 ((๐ต โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ P) โ†’ (๐ต ยทP ๐ด) = โŸจ{๐‘ฅ โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)}, {๐‘ฅ โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)}โŸฉ)
3534ancoms 268 . 2 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐ต ยทP ๐ด) = โŸจ{๐‘ฅ โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)}, {๐‘ฅ โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)}โŸฉ)
36 mpvlu 7551 . 2 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) = โŸจ{๐‘ฅ โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)}, {๐‘ฅ โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)}โŸฉ)
3733, 35, 363eqtr4rd 2231 1 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) = (๐ต ยทP ๐ด))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  โˆƒwrex 2466  {crab 2469  โŸจcop 3607  โ€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  1st c1st 6152  2nd c2nd 6153  Qcnq 7292   ยทQ cmq 7295  Pcnp 7303   ยทP cmp 7306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-oadd 6434  df-omul 6435  df-er 6548  df-ec 6550  df-qs 6554  df-ni 7316  df-mi 7318  df-mpq 7357  df-enq 7359  df-nqqs 7360  df-mqqs 7362  df-inp 7478  df-imp 7481
This theorem is referenced by:  ltmprr  7654  mulcmpblnrlemg  7752  mulcomsrg  7769  mulasssrg  7770  m1m1sr  7773  recexgt0sr  7785  mulgt0sr  7790  mulextsr1lem  7792  recidpirqlemcalc  7869
  Copyright terms: Public domain W3C validator