ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isxmet2d GIF version
Theorem isxmet2d 13887
Description: It is safe to only require the triangle inequality when the values are real (so that we can use the standard addition over the reals), but in this case the nonnegativity constraint cannot be deduced and must be provided separately. (Counterexample: 𝐷(π‘₯, 𝑦) = if(π‘₯ = 𝑦, 0, -∞) satisfies all hypotheses except nonnegativity.) (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isxmetd.0 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
isxmetd.1 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
isxmet2d.2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦))
isxmet2d.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) ≀ 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
isxmet2d.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))
Assertion
Ref Expression
isxmet2d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐷   πœ‘,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑧
Proof of Theorem isxmet2d
StepHypRef Expression
1 isxmetd.0 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
2 isxmetd.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
32fovcdmda 6020 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
4 0xr 8006 . . . 4 0 ∈ ℝ*
5 xrletri3 9806 . . . 4 (((π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ ((π‘₯𝐷𝑦) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦))))
63, 4, 5sylancl 413 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ ((π‘₯𝐷𝑦) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦))))
7 isxmet2d.2 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦))
87biantrud 304 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) ≀ 0 ↔ ((π‘₯𝐷𝑦) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦))))
9 isxmet2d.3 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) ≀ 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
106, 8, 93bitr2d 216 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
11 isxmet2d.4 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))
12113expa 1203 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))
13 rexadd 9854 . . . . . . 7 (((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))
1413adantl 277 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))
1512, 14breqtrrd 4033 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
1615anassrs 400 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
1733adantr3 1158 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
18 pnfge 9791 . . . . . . 7 ((π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ* β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ +∞)
1917, 18syl 14 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ +∞)
2019ad2antrr 488 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) = +∞) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ +∞)
21 oveq2 5885 . . . . . 6 ((𝑧𝐷𝑦) = +∞ β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 +∞))
222ffnd 5368 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
23 elxrge0 9980 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦)))
243, 7, 23sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞))
2524ralrimivva 2559 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞))
26 ffnov 5981 . . . . . . . . . . 11 (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]+∞) ↔ (𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞)))
2722, 25, 26sylanbrc 417 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]+∞))
2827adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]+∞))
29 simpr3 1005 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
30 simpr1 1003 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
3128, 29, 30fovcdmd 6021 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
32 elxrge0 9980 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷π‘₯)))
3332simplbi 274 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ (0[,]+∞) β†’ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
3431, 33syl 14 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
35 renemnf 8008 . . . . . . 7 ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ β†’ (𝑧𝐷π‘₯) β‰  -∞)
36 xaddpnf1 9848 . . . . . . 7 (((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ* ∧ (𝑧𝐷π‘₯) β‰  -∞) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 +∞) = +∞)
3734, 35, 36syl2an 289 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 +∞) = +∞)
3821, 37sylan9eqr 2232 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) = +∞) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = +∞)
3920, 38breqtrrd 4033 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) = +∞) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
40 simpr2 1004 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
4128, 29, 40fovcdmd 6021 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞))
42 elxrge0 9980 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑦)))
4342simplbi 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞) β†’ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
4441, 43syl 14 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
4542simprbi 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑦))
4641, 45syl 14 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑦))
47 ge0nemnf 9826 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑦)) β†’ (𝑧𝐷𝑦) β‰  -∞)
4844, 46, 47syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝐷𝑦) β‰  -∞)
4948neneqd 2368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ Β¬ (𝑧𝐷𝑦) = -∞)
5049pm2.21d 619 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑧𝐷𝑦) = -∞ β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
5150adantr 276 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((𝑧𝐷𝑦) = -∞ β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
5251imp 124 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) = -∞) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
5344adantr 276 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
54 elxr 9778 . . . . 5 ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ ∨ (𝑧𝐷𝑦) = +∞ ∨ (𝑧𝐷𝑦) = -∞))
5553, 54sylib 122 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ ∨ (𝑧𝐷𝑦) = +∞ ∨ (𝑧𝐷𝑦) = -∞))
5616, 39, 52, 55mpjao3dan 1307 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
5719adantr 276 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) = +∞) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ +∞)
58 oveq1 5884 . . . . 5 ((𝑧𝐷π‘₯) = +∞ β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = (+∞ +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
59 xaddpnf2 9849 . . . . . 6 (((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ (𝑧𝐷𝑦) β‰  -∞) β†’ (+∞ +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = +∞)
6044, 48, 59syl2anc 411 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (+∞ +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = +∞)
6158, 60sylan9eqr 2232 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) = +∞) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = +∞)
6257, 61breqtrrd 4033 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) = +∞) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
6332simprbi 275 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (𝑧𝐷π‘₯))
6431, 63syl 14 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (𝑧𝐷π‘₯))
65 ge0nemnf 9826 . . . . . . 7 (((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷π‘₯)) β†’ (𝑧𝐷π‘₯) β‰  -∞)
6634, 64, 65syl2anc 411 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝐷π‘₯) β‰  -∞)
6766neneqd 2368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ Β¬ (𝑧𝐷π‘₯) = -∞)
6867pm2.21d 619 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) = -∞ β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
6968imp 124 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) = -∞) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
70 elxr 9778 . . . 4 ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ* ↔ ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ ∨ (𝑧𝐷π‘₯) = +∞ ∨ (𝑧𝐷π‘₯) = -∞))
7134, 70sylib 122 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ ∨ (𝑧𝐷π‘₯) = +∞ ∨ (𝑧𝐷π‘₯) = -∞))
7256, 62, 69, 71mpjao3dan 1307 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
731, 2, 10, 72isxmetd 13886 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 977   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   β‰  wne 2347  βˆ€wral 2455  Vcvv 2739   class class class wbr 4005   Γ— cxp 4626   Fn wfn 5213  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  β„cr 7812  0cc0 7813   + caddc 7816  +∞cpnf 7991  -∞cmnf 7992  β„*cxr 7993   ≀ cle 7995   +𝑒 cxad 9772  [,]cicc 9893  βˆžMetcxmet 13479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-xadd 9775  df-icc 9897  df-xmet 13487
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator