ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ringgrpd GIF version

Theorem ringgrpd 13479
Description: A ring is a group. (Contributed by SN, 16-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
ringgrpd.1 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
ringgrpd (𝜑𝑅 ∈ Grp)

Proof of Theorem ringgrpd
StepHypRef Expression
1 ringgrpd.1 . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 ringgrp 13475 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
31, 2syl 14 1 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2164  Grpcgrp 13059  Ringcrg 13470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1re 7956  ax-addrcl 7959
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-fv 5254  df-ov 5913  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-ndx 12608  df-slot 12609  df-base 12611  df-plusg 12695  df-mulr 12696  df-ring 13472
This theorem is referenced by:  crnggrpd  13484  mulgass3  13559  rhmopp  13650  lringuplu  13670  aprirr  13757  aprsym  13758  aprcotr  13759  lssvnegcl  13850  sralmod  13924
  Copyright terms: Public domain W3C validator