Theorem aprirr 13373

Description: The apartness relation given by df-apr 13371 for a nonzero ring is irreflexive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprirr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
aprirr.ap	⊢ (𝜑 → # = (#r‘𝑅))
aprirr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
aprirr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
aprirr.nz	⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
aprirr	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 # 𝑋)

Proof of Theorem aprirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprirr.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	ringgrpd 13188	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
3		aprirr.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		aprirr.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
5	3, 4	eleqtrd 2256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
6		eqid 2177	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2177	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8		eqid 2177	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
9	6, 7, 8	grpsubid 12954	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅))
10	2, 5, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅))
11		aprirr.nz	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
12	11	neneqd 2368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅))
13		eqid 2177	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
14		eqid 2177	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
15	13, 7, 14	0unit 13298	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((0g‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
16	1, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
17	12, 16	mtbird 673	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (0g‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
18	10, 17	eqneltrd 2273	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) ∈ (Unit‘𝑅))
19		aprirr.ap	. . 3 ⊢ (𝜑 → # = (#r‘𝑅))
20		eqidd 2178	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅))
21		eqidd 2178	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅))
22	4, 19, 20, 21, 1, 3, 3	aprval 13372	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑋 ↔ (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
23	18, 22	mtbird 673	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 # 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347   class class class wbr 4004  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  Basecbs 12462  0_gc0g 12705  Grpcgrp 12877  -_gcsg 12879  1_rcur 13142  Ringcrg 13179  Unitcui 13256  #_rcapr 13370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-tpos 6246  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-sets 12469  df-iress 12470  df-plusg 12549  df-mulr 12550  df-0g 12707  df-mgm 12775  df-sgrp 12808  df-mnd 12818  df-grp 12880  df-minusg 12881  df-sbg 12882  df-cmn 13090  df-abl 13091  df-mgp 13131  df-ur 13143  df-srg 13147  df-ring 13181  df-oppr 13240  df-dvdsr 13258  df-unit 13259  df-invr 13290  df-apr 13371

This theorem is referenced by:  aprap  13376