Theorem aprcotr 13841

Description: The apartness relation given by df-apr 13837 for a local ring is cotransitive. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprcotr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
aprcotr.ap	⊢ (𝜑 → # = (#r‘𝑅))
aprcotr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)
aprcotr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
aprcotr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
aprcotr.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
aprcotr	⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 → (𝑋 # 𝑍 ∨ 𝑌 # 𝑍)))

Proof of Theorem aprcotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprcotr.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		eqidd 2197	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅))
4		eqidd 2197	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
5		aprcotr.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → 𝑅 ∈ LRing)
7		lringring 13750	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	5, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	ringgrpd 13561	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
10		aprcotr.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	10, 1	eleqtrd 2275	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
12		aprcotr.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
13	12, 1	eleqtrd 2275	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑅))
14		aprcotr.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	14, 1	eleqtrd 2275	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
16		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
18		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
19	16, 17, 18	grpnpncan 13227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍)(+g‘𝑅)(𝑍(-g‘𝑅)𝑌)) = (𝑋(-g‘𝑅)𝑌))
20	9, 11, 13, 15, 19	syl13anc 1251	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍)(+g‘𝑅)(𝑍(-g‘𝑅)𝑌)) = (𝑋(-g‘𝑅)𝑌))
21	20	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍)(+g‘𝑅)(𝑍(-g‘𝑅)𝑌)) = (𝑋(-g‘𝑅)𝑌))
22		aprcotr.ap	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → # = (#r‘𝑅))
23		eqidd 2197	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅))
24		eqidd 2197	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅))
25	1, 22, 23, 24, 8, 10, 14	aprval 13838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 ↔ (𝑋(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)))
26	25	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅))
27	21, 26	eqeltrd 2273	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍)(+g‘𝑅)(𝑍(-g‘𝑅)𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅))
28	16, 18	grpsubcl 13212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Base‘𝑅))
29	9, 11, 13, 28	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Base‘𝑅))
30	29, 1	eleqtrrd 2276	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵)
31	30	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵)
32	16, 18	grpsubcl 13212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
33	9, 13, 15, 32	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
34	33, 1	eleqtrrd 2276	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
35	34	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
36	2, 3, 4, 6, 27, 31, 35	lringuplu 13752	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Unit‘𝑅) ∨ (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)))
37	1, 22, 23, 24, 8, 10, 12	aprval 13838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑍 ↔ (𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Unit‘𝑅)))
38	37	biimprd 158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑋 # 𝑍))
39	38	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑋 # 𝑍))
40	1, 22, 23, 24, 8, 12, 14	aprval 13838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 # 𝑌 ↔ (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)))
41	1, 22, 8, 12, 14	aprsym 13840	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 # 𝑌 → 𝑌 # 𝑍))
42	40, 41	sylbird 170	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑌 # 𝑍))
43	42	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑌 # 𝑍))
44	39, 43	orim12d 787	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (((𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Unit‘𝑅) ∨ (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋 # 𝑍 ∨ 𝑌 # 𝑍)))
45	36, 44	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑋 # 𝑍 ∨ 𝑌 # 𝑍))
46	45	ex 115	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 → (𝑋 # 𝑍 ∨ 𝑌 # 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Basecbs 12678  +_gcplusg 12755  Grpcgrp 13132  -_gcsg 13134  Ringcrg 13552  Unitcui 13643  LRingclring 13746  #_rcapr 13836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-tpos 6303  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-sbg 13137  df-cmn 13416  df-abl 13417  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-srg 13520  df-ring 13554  df-oppr 13624  df-dvdsr 13645  df-unit 13646  df-invr 13677  df-dvr 13688  df-nzr 13736  df-lring 13747  df-apr 13837

This theorem is referenced by:  aprap  13842