Theorem aprcotr 14599

Description: The apartness relation given by df-apr 14592 for a local ring is cotransitive. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprcotr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
aprcotr.ap	⊢ (𝜑 → # = (#r‘𝑅))
aprcotr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)
aprcotr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
aprcotr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
aprcotr.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
aprcotr	⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 → (𝑋 # 𝑍 ∨ 𝑌 # 𝑍)))

Proof of Theorem aprcotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprcotr.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		eqidd 2239	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅))
4		eqidd 2239	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
5		aprcotr.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → 𝑅 ∈ LRing)
7		lringring 14503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	5, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	ringgrpd 14311	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
10		aprcotr.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	10, 1	eleqtrd 2317	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
12		aprcotr.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
13	12, 1	eleqtrd 2317	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑅))
14		aprcotr.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	14, 1	eleqtrd 2317	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
16		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
18		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
19	16, 17, 18	grpnpncan 13902	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍)(+g‘𝑅)(𝑍(-g‘𝑅)𝑌)) = (𝑋(-g‘𝑅)𝑌))
20	9, 11, 13, 15, 19	syl13anc 1280	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍)(+g‘𝑅)(𝑍(-g‘𝑅)𝑌)) = (𝑋(-g‘𝑅)𝑌))
21	20	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍)(+g‘𝑅)(𝑍(-g‘𝑅)𝑌)) = (𝑋(-g‘𝑅)𝑌))
22		aprcotr.ap	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → # = (#r‘𝑅))
23		eqidd 2239	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅))
24		eqidd 2239	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅))
25	1, 22, 23, 24, 8, 10, 14	aprval 14593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 ↔ (𝑋(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)))
26	25	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅))
27	21, 26	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍)(+g‘𝑅)(𝑍(-g‘𝑅)𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅))
28	16, 18	grpsubcl 13887	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Base‘𝑅))
29	9, 11, 13, 28	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Base‘𝑅))
30	29, 1	eleqtrrd 2318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵)
31	30	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵)
32	16, 18	grpsubcl 13887	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
33	9, 13, 15, 32	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
34	33, 1	eleqtrrd 2318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
35	34	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
36	2, 3, 4, 6, 27, 31, 35	lringuplu 14505	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Unit‘𝑅) ∨ (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)))
37	1, 22, 23, 24, 8, 10, 12	aprval 14593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑍 ↔ (𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Unit‘𝑅)))
38	37	biimprd 158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑋 # 𝑍))
39	38	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑋 # 𝑍))
40	1, 22, 23, 24, 8, 12, 14	aprval 14593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 # 𝑌 ↔ (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)))
41	1, 22, 8, 12, 14	aprsym 14598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 # 𝑌 → 𝑌 # 𝑍))
42	40, 41	sylbird 170	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑌 # 𝑍))
43	42	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑌 # 𝑍))
44	39, 43	orim12d 798	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (((𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Unit‘𝑅) ∨ (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋 # 𝑍 ∨ 𝑌 # 𝑍)))
45	36, 44	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑋 # 𝑍 ∨ 𝑌 # 𝑍))
46	45	ex 115	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 → (𝑋 # 𝑍 ∨ 𝑌 # 𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13354  +_gcplusg 13433  Grpcgrp 13807  -_gcsg 13809  Ringcrg 14302  Unitcui 14395  LRingclring 14499  #_rcapr 14591

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-tpos 6516  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-sets 13361  df-iress 13362  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-0g 13614  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-grp 13810  df-minusg 13811  df-sbg 13812  df-cmn 14091  df-abl 14092  df-mgp 14220  df-ur 14265  df-srg 14270  df-ring 14304  df-oppr 14375  df-dvdsr 14397  df-unit 14398  df-invr 14430  df-dvr 14441  df-nzr 14489  df-lring 14500  df-apr 14592

This theorem is used by:  aprap  14600