Theorem aprcotr 14457

Description: The apartness relation given by df-apr 14450 for a local ring is cotransitive. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprcotr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
aprcotr.ap	⊢ (𝜑 → # = (#r‘𝑅))
aprcotr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)
aprcotr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
aprcotr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
aprcotr.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
aprcotr	⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 → (𝑋 # 𝑍 ∨ 𝑌 # 𝑍)))

Proof of Theorem aprcotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprcotr.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		eqidd 2235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅))
4		eqidd 2235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
5		aprcotr.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → 𝑅 ∈ LRing)
7		lringring 14361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	5, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	ringgrpd 14170	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
10		aprcotr.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	10, 1	eleqtrd 2313	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
12		aprcotr.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
13	12, 1	eleqtrd 2313	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑅))
14		aprcotr.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	14, 1	eleqtrd 2313	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
16		eqid 2234	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17		eqid 2234	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
18		eqid 2234	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
19	16, 17, 18	grpnpncan 13829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍)(+g‘𝑅)(𝑍(-g‘𝑅)𝑌)) = (𝑋(-g‘𝑅)𝑌))
20	9, 11, 13, 15, 19	syl13anc 1276	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍)(+g‘𝑅)(𝑍(-g‘𝑅)𝑌)) = (𝑋(-g‘𝑅)𝑌))
21	20	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍)(+g‘𝑅)(𝑍(-g‘𝑅)𝑌)) = (𝑋(-g‘𝑅)𝑌))
22		aprcotr.ap	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → # = (#r‘𝑅))
23		eqidd 2235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅))
24		eqidd 2235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅))
25	1, 22, 23, 24, 8, 10, 14	aprval 14451	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 ↔ (𝑋(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)))
26	25	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅))
27	21, 26	eqeltrd 2311	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍)(+g‘𝑅)(𝑍(-g‘𝑅)𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅))
28	16, 18	grpsubcl 13814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Base‘𝑅))
29	9, 11, 13, 28	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Base‘𝑅))
30	29, 1	eleqtrrd 2314	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵)
31	30	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵)
32	16, 18	grpsubcl 13814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
33	9, 13, 15, 32	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
34	33, 1	eleqtrrd 2314	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
35	34	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
36	2, 3, 4, 6, 27, 31, 35	lringuplu 14363	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Unit‘𝑅) ∨ (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)))
37	1, 22, 23, 24, 8, 10, 12	aprval 14451	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑍 ↔ (𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Unit‘𝑅)))
38	37	biimprd 158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑋 # 𝑍))
39	38	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑋 # 𝑍))
40	1, 22, 23, 24, 8, 12, 14	aprval 14451	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 # 𝑌 ↔ (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)))
41	1, 22, 8, 12, 14	aprsym 14456	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 # 𝑌 → 𝑌 # 𝑍))
42	40, 41	sylbird 170	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑌 # 𝑍))
43	42	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑌 # 𝑍))
44	39, 43	orim12d 794	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (((𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Unit‘𝑅) ∨ (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋 # 𝑍 ∨ 𝑌 # 𝑍)))
45	36, 44	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑋 # 𝑍 ∨ 𝑌 # 𝑍))
46	45	ex 115	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 → (𝑋 # 𝑍 ∨ 𝑌 # 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  Basecbs 13233  +_gcplusg 13311  Grpcgrp 13734  -_gcsg 13736  Ringcrg 14161  Unitcui 14253  LRingclring 14357  #_rcapr 14449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-tpos 6478  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-ltxr 8318  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-sets 13240  df-iress 13241  df-plusg 13324  df-mulr 13325  df-0g 13492  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-grp 13737  df-minusg 13738  df-sbg 13739  df-cmn 14024  df-abl 14025  df-mgp 14086  df-ur 14125  df-srg 14129  df-ring 14163  df-oppr 14233  df-dvdsr 14255  df-unit 14256  df-invr 14288  df-dvr 14299  df-nzr 14347  df-lring 14358  df-apr 14450

This theorem is referenced by:  aprap  14458