Theorem aprcotr 14214

Description: The apartness relation given by df-apr 14210 for a local ring is cotransitive. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprcotr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
aprcotr.ap	⊢ (𝜑 → # = (#r‘𝑅))
aprcotr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)
aprcotr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
aprcotr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
aprcotr.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
aprcotr	⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 → (𝑋 # 𝑍 ∨ 𝑌 # 𝑍)))

Proof of Theorem aprcotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprcotr.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		eqidd 2210	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅))
4		eqidd 2210	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
5		aprcotr.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → 𝑅 ∈ LRing)
7		lringring 14123	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	5, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	ringgrpd 13934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
10		aprcotr.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	10, 1	eleqtrd 2288	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
12		aprcotr.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
13	12, 1	eleqtrd 2288	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑅))
14		aprcotr.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	14, 1	eleqtrd 2288	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
16		eqid 2209	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17		eqid 2209	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
18		eqid 2209	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
19	16, 17, 18	grpnpncan 13594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍)(+g‘𝑅)(𝑍(-g‘𝑅)𝑌)) = (𝑋(-g‘𝑅)𝑌))
20	9, 11, 13, 15, 19	syl13anc 1254	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍)(+g‘𝑅)(𝑍(-g‘𝑅)𝑌)) = (𝑋(-g‘𝑅)𝑌))
21	20	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍)(+g‘𝑅)(𝑍(-g‘𝑅)𝑌)) = (𝑋(-g‘𝑅)𝑌))
22		aprcotr.ap	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → # = (#r‘𝑅))
23		eqidd 2210	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅))
24		eqidd 2210	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅))
25	1, 22, 23, 24, 8, 10, 14	aprval 14211	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 ↔ (𝑋(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)))
26	25	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅))
27	21, 26	eqeltrd 2286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍)(+g‘𝑅)(𝑍(-g‘𝑅)𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅))
28	16, 18	grpsubcl 13579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Base‘𝑅))
29	9, 11, 13, 28	syl3anc 1252	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Base‘𝑅))
30	29, 1	eleqtrrd 2289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵)
31	30	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵)
32	16, 18	grpsubcl 13579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
33	9, 13, 15, 32	syl3anc 1252	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
34	33, 1	eleqtrrd 2289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
35	34	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
36	2, 3, 4, 6, 27, 31, 35	lringuplu 14125	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Unit‘𝑅) ∨ (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)))
37	1, 22, 23, 24, 8, 10, 12	aprval 14211	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑍 ↔ (𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Unit‘𝑅)))
38	37	biimprd 158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑋 # 𝑍))
39	38	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑋 # 𝑍))
40	1, 22, 23, 24, 8, 12, 14	aprval 14211	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 # 𝑌 ↔ (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)))
41	1, 22, 8, 12, 14	aprsym 14213	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 # 𝑌 → 𝑌 # 𝑍))
42	40, 41	sylbird 170	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑌 # 𝑍))
43	42	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑌 # 𝑍))
44	39, 43	orim12d 790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (((𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Unit‘𝑅) ∨ (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋 # 𝑍 ∨ 𝑌 # 𝑍)))
45	36, 44	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑋 # 𝑍 ∨ 𝑌 # 𝑍))
46	45	ex 115	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 → (𝑋 # 𝑍 ∨ 𝑌 # 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 712   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   class class class wbr 4062  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  Basecbs 12998  +_gcplusg 13076  Grpcgrp 13499  -_gcsg 13501  Ringcrg 13925  Unitcui 14016  LRingclring 14119  #_rcapr 14209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-tpos 6361  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-ltxr 8154  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-iress 13006  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-0g 13257  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-grp 13502  df-minusg 13503  df-sbg 13504  df-cmn 13789  df-abl 13790  df-mgp 13850  df-ur 13889  df-srg 13893  df-ring 13927  df-oppr 13997  df-dvdsr 14018  df-unit 14019  df-invr 14050  df-dvr 14061  df-nzr 14109  df-lring 14120  df-apr 14210

This theorem is referenced by:  aprap  14215