Theorem aprcotr 14323

Description: The apartness relation given by df-apr 14319 for a local ring is cotransitive. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprcotr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
aprcotr.ap	⊢ (𝜑 → # = (#r‘𝑅))
aprcotr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)
aprcotr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
aprcotr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
aprcotr.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
aprcotr	⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 → (𝑋 # 𝑍 ∨ 𝑌 # 𝑍)))

Proof of Theorem aprcotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprcotr.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		eqidd 2231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅))
4		eqidd 2231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
5		aprcotr.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → 𝑅 ∈ LRing)
7		lringring 14232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	5, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	ringgrpd 14042	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
10		aprcotr.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	10, 1	eleqtrd 2309	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
12		aprcotr.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
13	12, 1	eleqtrd 2309	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑅))
14		aprcotr.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	14, 1	eleqtrd 2309	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
16		eqid 2230	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17		eqid 2230	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
18		eqid 2230	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
19	16, 17, 18	grpnpncan 13701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍)(+g‘𝑅)(𝑍(-g‘𝑅)𝑌)) = (𝑋(-g‘𝑅)𝑌))
20	9, 11, 13, 15, 19	syl13anc 1275	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍)(+g‘𝑅)(𝑍(-g‘𝑅)𝑌)) = (𝑋(-g‘𝑅)𝑌))
21	20	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍)(+g‘𝑅)(𝑍(-g‘𝑅)𝑌)) = (𝑋(-g‘𝑅)𝑌))
22		aprcotr.ap	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → # = (#r‘𝑅))
23		eqidd 2231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅))
24		eqidd 2231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅))
25	1, 22, 23, 24, 8, 10, 14	aprval 14320	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 ↔ (𝑋(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)))
26	25	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅))
27	21, 26	eqeltrd 2307	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍)(+g‘𝑅)(𝑍(-g‘𝑅)𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅))
28	16, 18	grpsubcl 13686	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Base‘𝑅))
29	9, 11, 13, 28	syl3anc 1273	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Base‘𝑅))
30	29, 1	eleqtrrd 2310	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵)
31	30	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵)
32	16, 18	grpsubcl 13686	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
33	9, 13, 15, 32	syl3anc 1273	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
34	33, 1	eleqtrrd 2310	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
35	34	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
36	2, 3, 4, 6, 27, 31, 35	lringuplu 14234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Unit‘𝑅) ∨ (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)))
37	1, 22, 23, 24, 8, 10, 12	aprval 14320	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑍 ↔ (𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Unit‘𝑅)))
38	37	biimprd 158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑋 # 𝑍))
39	38	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑋 # 𝑍))
40	1, 22, 23, 24, 8, 12, 14	aprval 14320	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 # 𝑌 ↔ (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)))
41	1, 22, 8, 12, 14	aprsym 14322	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 # 𝑌 → 𝑌 # 𝑍))
42	40, 41	sylbird 170	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑌 # 𝑍))
43	42	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑌 # 𝑍))
44	39, 43	orim12d 793	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (((𝑋(-g‘𝑅)𝑍) ∈ (Unit‘𝑅) ∨ (𝑍(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋 # 𝑍 ∨ 𝑌 # 𝑍)))
45	36, 44	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑋 # 𝑍 ∨ 𝑌 # 𝑍))
46	45	ex 115	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 → (𝑋 # 𝑍 ∨ 𝑌 # 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  Basecbs 13105  +_gcplusg 13183  Grpcgrp 13606  -_gcsg 13608  Ringcrg 14033  Unitcui 14124  LRingclring 14228  #_rcapr 14318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6416  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-ltxr 8224  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-sets 13112  df-iress 13113  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-0g 13364  df-mgm 13462  df-sgrp 13508  df-mnd 13523  df-grp 13609  df-minusg 13610  df-sbg 13611  df-cmn 13896  df-abl 13897  df-mgp 13958  df-ur 13997  df-srg 14001  df-ring 14035  df-oppr 14105  df-dvdsr 14126  df-unit 14127  df-invr 14159  df-dvr 14170  df-nzr 14218  df-lring 14229  df-apr 14319

This theorem is referenced by:  aprap  14324