Theorem aprsym 14456

Description: The apartness relation given by df-apr 14450 for a ring is symmetric. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprirr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
aprirr.ap	⊢ (𝜑 → # = (#r‘𝑅))
aprirr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
aprirr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
aprsym.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
aprsym	⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 → 𝑌 # 𝑋))

Proof of Theorem aprsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprirr.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		aprirr.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		aprirr.ap	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → # = (#r‘𝑅))
4		eqidd 2235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅))
5		eqidd 2235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅))
6		aprirr.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		aprsym.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	2, 3, 4, 5, 1, 6, 7	aprval 14451	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 ↔ (𝑋(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)))
9	8	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅))
10		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
11		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
12	10, 11	unitnegcl 14297	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅))
13	1, 9, 12	syl2an2r 599	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅))
14	1	ringgrpd 14170	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
15	6, 2	eleqtrd 2313	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
16	7, 2	eleqtrd 2313	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
17		eqid 2234	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18		eqid 2234	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
19	17, 18, 11	grpinvsub 13816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) = (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
20	14, 15, 16, 19	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) = (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
21	20	eleq1d 2303	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
22	21	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
23	13, 22	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ (Unit‘𝑅))
24	2, 3, 4, 5, 1, 7, 6	aprval 14451	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 # 𝑋 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
25	24	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑌 # 𝑋 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
26	23, 25	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → 𝑌 # 𝑋)
27	26	ex 115	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 → 𝑌 # 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  Basecbs 13233  Grpcgrp 13734  inv_gcminusg 13735  -_gcsg 13736  Ringcrg 14161  Unitcui 14253  #_rcapr 14449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-tpos 6478  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-ltxr 8318  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-sets 13240  df-plusg 13324  df-mulr 13325  df-0g 13492  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-grp 13737  df-minusg 13738  df-sbg 13739  df-cmn 14024  df-abl 14025  df-mgp 14086  df-ur 14125  df-srg 14129  df-ring 14163  df-oppr 14233  df-dvdsr 14255  df-unit 14256  df-apr 14450

This theorem is referenced by:  aprcotr  14457  aprap  14458