Theorem aprsym 13816

Description: The apartness relation given by df-apr 13813 for a ring is symmetric. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprirr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
aprirr.ap	⊢ (𝜑 → # = (#r‘𝑅))
aprirr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
aprirr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
aprsym.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
aprsym	⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 → 𝑌 # 𝑋))

Proof of Theorem aprsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprirr.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		aprirr.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		aprirr.ap	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → # = (#r‘𝑅))
4		eqidd 2197	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅))
5		eqidd 2197	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅))
6		aprirr.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		aprsym.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	2, 3, 4, 5, 1, 6, 7	aprval 13814	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 ↔ (𝑋(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)))
9	8	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅))
10		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
11		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
12	10, 11	unitnegcl 13662	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅))
13	1, 9, 12	syl2an2r 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅))
14	1	ringgrpd 13537	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
15	6, 2	eleqtrd 2275	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
16	7, 2	eleqtrd 2275	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
17		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
19	17, 18, 11	grpinvsub 13190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) = (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
20	14, 15, 16, 19	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) = (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
21	20	eleq1d 2265	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
22	21	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
23	13, 22	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ (Unit‘𝑅))
24	2, 3, 4, 5, 1, 7, 6	aprval 13814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 # 𝑋 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
25	24	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑌 # 𝑋 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
26	23, 25	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → 𝑌 # 𝑋)
27	26	ex 115	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 → 𝑌 # 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Basecbs 12654  Grpcgrp 13108  inv_gcminusg 13109  -_gcsg 13110  Ringcrg 13528  Unitcui 13619  #_rcapr 13812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-addcom 7977  ax-addass 7979  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-ltadd 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-tpos 6303  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-ltxr 8064  df-inn 8988  df-2 9046  df-3 9047  df-ndx 12657  df-slot 12658  df-base 12660  df-sets 12661  df-plusg 12744  df-mulr 12745  df-0g 12905  df-mgm 12975  df-sgrp 13021  df-mnd 13034  df-grp 13111  df-minusg 13112  df-sbg 13113  df-cmn 13392  df-abl 13393  df-mgp 13453  df-ur 13492  df-srg 13496  df-ring 13530  df-oppr 13600  df-dvdsr 13621  df-unit 13622  df-apr 13813

This theorem is referenced by:  aprcotr  13817  aprap  13818