Theorem aprsym 13380

Description: The apartness relation given by df-apr 13377 for a ring is symmetric. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprirr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
aprirr.ap	⊢ (𝜑 → # = (#r‘𝑅))
aprirr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
aprirr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
aprsym.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
aprsym	⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 → 𝑌 # 𝑋))

Proof of Theorem aprsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprirr.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		aprirr.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		aprirr.ap	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → # = (#r‘𝑅))
4		eqidd 2178	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅))
5		eqidd 2178	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅))
6		aprirr.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		aprsym.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	2, 3, 4, 5, 1, 6, 7	aprval 13378	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 ↔ (𝑋(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)))
9	8	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅))
10		eqid 2177	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
11		eqid 2177	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
12	10, 11	unitnegcl 13305	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅))
13	1, 9, 12	syl2an2r 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅))
14	1	ringgrpd 13194	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
15	6, 2	eleqtrd 2256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
16	7, 2	eleqtrd 2256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
17		eqid 2177	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18		eqid 2177	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
19	17, 18, 11	grpinvsub 12958	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) = (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
20	14, 15, 16, 19	syl3anc 1238	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) = (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
21	20	eleq1d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
22	21	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
23	13, 22	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ (Unit‘𝑅))
24	2, 3, 4, 5, 1, 7, 6	aprval 13378	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 # 𝑋 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
25	24	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑌 # 𝑋 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
26	23, 25	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → 𝑌 # 𝑋)
27	26	ex 115	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 → 𝑌 # 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5878  Basecbs 12465  Grpcgrp 12883  inv_gcminusg 12884  -_gcsg 12885  Ringcrg 13185  Unitcui 13262  #_rcapr 13376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-tpos 6249  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-ltxr 8000  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-base 12471  df-sets 12472  df-plusg 12552  df-mulr 12553  df-0g 12713  df-mgm 12781  df-sgrp 12814  df-mnd 12824  df-grp 12886  df-minusg 12887  df-sbg 12888  df-cmn 13096  df-abl 13097  df-mgp 13137  df-ur 13149  df-srg 13153  df-ring 13187  df-oppr 13246  df-dvdsr 13264  df-unit 13265  df-apr 13377

This theorem is referenced by:  aprcotr  13381  aprap  13382