Theorem aprsym 13780

Description: The apartness relation given by df-apr 13777 for a ring is symmetric. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprirr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
aprirr.ap	⊢ (𝜑 → # = (#r‘𝑅))
aprirr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
aprirr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
aprsym.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
aprsym	⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 → 𝑌 # 𝑋))

Proof of Theorem aprsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprirr.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		aprirr.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		aprirr.ap	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → # = (#r‘𝑅))
4		eqidd 2194	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅))
5		eqidd 2194	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅))
6		aprirr.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		aprsym.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	2, 3, 4, 5, 1, 6, 7	aprval 13778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 ↔ (𝑋(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)))
9	8	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅))
10		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
11		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
12	10, 11	unitnegcl 13626	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅))
13	1, 9, 12	syl2an2r 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅))
14	1	ringgrpd 13501	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
15	6, 2	eleqtrd 2272	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
16	7, 2	eleqtrd 2272	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
17		eqid 2193	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18		eqid 2193	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
19	17, 18, 11	grpinvsub 13154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) = (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
20	14, 15, 16, 19	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) = (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
21	20	eleq1d 2262	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
22	21	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
23	13, 22	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ (Unit‘𝑅))
24	2, 3, 4, 5, 1, 7, 6	aprval 13778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 # 𝑋 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
25	24	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑌 # 𝑋 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
26	23, 25	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → 𝑌 # 𝑋)
27	26	ex 115	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 → 𝑌 # 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Basecbs 12618  Grpcgrp 13072  inv_gcminusg 13073  -_gcsg 13074  Ringcrg 13492  Unitcui 13583  #_rcapr 13776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-tpos 6298  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-sbg 13077  df-cmn 13356  df-abl 13357  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-srg 13460  df-ring 13494  df-oppr 13564  df-dvdsr 13585  df-unit 13586  df-apr 13777

This theorem is referenced by:  aprcotr  13781  aprap  13782