Theorem aprsym 14419

Description: The apartness relation given by df-apr 14416 for a ring is symmetric. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprirr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
aprirr.ap	⊢ (𝜑 → # = (#r‘𝑅))
aprirr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
aprirr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
aprsym.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
aprsym	⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 → 𝑌 # 𝑋))

Proof of Theorem aprsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprirr.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		aprirr.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		aprirr.ap	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → # = (#r‘𝑅))
4		eqidd 2233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅))
5		eqidd 2233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅))
6		aprirr.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		aprsym.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	2, 3, 4, 5, 1, 6, 7	aprval 14417	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 ↔ (𝑋(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)))
9	8	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅))
10		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
11		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
12	10, 11	unitnegcl 14264	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋(-g‘𝑅)𝑌) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅))
13	1, 9, 12	syl2an2r 599	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → ((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅))
14	1	ringgrpd 14138	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
15	6, 2	eleqtrd 2311	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
16	7, 2	eleqtrd 2311	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
17		eqid 2232	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18		eqid 2232	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
19	17, 18, 11	grpinvsub 13784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) = (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
20	14, 15, 16, 19	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) = (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
21	20	eleq1d 2301	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
22	21	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (((invg‘𝑅)‘(𝑋(-g‘𝑅)𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
23	13, 22	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ (Unit‘𝑅))
24	2, 3, 4, 5, 1, 7, 6	aprval 14417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 # 𝑋 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
25	24	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → (𝑌 # 𝑋 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
26	23, 25	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 # 𝑌) → 𝑌 # 𝑋)
27	26	ex 115	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 𝑌 → 𝑌 # 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Basecbs 13201  Grpcgrp 13702  inv_gcminusg 13703  -_gcsg 13704  Ringcrg 14129  Unitcui 14220  #_rcapr 14415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-tpos 6475  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-ltxr 8309  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-sets 13208  df-plusg 13292  df-mulr 13293  df-0g 13460  df-mgm 13558  df-sgrp 13604  df-mnd 13619  df-grp 13705  df-minusg 13706  df-sbg 13707  df-cmn 13992  df-abl 13993  df-mgp 14054  df-ur 14093  df-srg 14097  df-ring 14131  df-oppr 14201  df-dvdsr 14222  df-unit 14223  df-apr 14416

This theorem is referenced by:  aprcotr  14420  aprap  14421