ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rpmulcld GIF version

Theorem rpmulcld 9512
Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpmulcld (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpaddcld.1 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 rpmulcl 9478 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
41, 2, 3syl2anc 408 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1480  (class class class)co 5774   · cmul 7637  +crp 9453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1re 7726  ax-addrcl 7729  ax-mulrcl 7731  ax-rnegex 7741  ax-pre-mulgt0 7749
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-ltxr 7817  df-rp 9454
This theorem is referenced by:  qbtwnrelemcalc  10045  cvg1nlemcxze  10766  cvg1nlemres  10769  resqrexlemnm  10802  resqrexlemcvg  10803  reccn2ap  11094  cvgratnnlembern  11304  cvgratnnlemrate  11311  cvgratnn  11312  eirraplem  11494  cosordlem  12952
  Copyright terms: Public domain W3C validator