ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rpmulcld GIF version

Theorem rpmulcld 9468
Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpmulcld (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpaddcld.1 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 rpmulcl 9434 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
41, 2, 3syl2anc 408 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1465  (class class class)co 5742   · cmul 7593  +crp 9409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1re 7682  ax-addrcl 7685  ax-mulrcl 7687  ax-rnegex 7697  ax-pre-mulgt0 7705
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-ltxr 7773  df-rp 9410
This theorem is referenced by:  qbtwnrelemcalc  10001  cvg1nlemcxze  10722  cvg1nlemres  10725  resqrexlemnm  10758  resqrexlemcvg  10759  reccn2ap  11050  cvgratnnlembern  11260  cvgratnnlemrate  11267  cvgratnn  11268  eirraplem  11410  cosordlem  12857
  Copyright terms: Public domain W3C validator