Theorem cvg1nlemcxze 10910

Description: Lemma for cvg1n 10914. Rearranging an expression related to the rate of convergence. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvg1nlemcxze.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
cvg1nlemcxze.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
cvg1nlemcxze.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℕ)
cvg1nlemcxze.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
cvg1nlemcxze.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
cvg1nlemcxze.1	⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) + 𝐴) < 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
cvg1nlemcxze	⊢ (𝜑 → (𝐶 / (𝐸 · 𝑍)) < (𝑋 / 2))

Proof of Theorem cvg1nlemcxze

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvg1nlemcxze.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 9625	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3		2cnd 8921	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
4		cvg1nlemcxze.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
5	4	rpcnd 9625	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
6	4	rpap0d 9629	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 # 0)
7	2, 3, 5, 6	div23apd 8715	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 2) / 𝑋) = ((𝐶 / 𝑋) · 2))
8		2rp 9585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
10	1, 9	rpmulcld 9640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 2) ∈ ℝ+)
11	10, 4	rpdivcld 9641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 2) / 𝑋) ∈ ℝ+)
12		cvg1nlemcxze.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℕ)
13	12	nnrpd 9621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ+)
14	11, 13	rpdivcld 9641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) ∈ ℝ+)
15	14	rpred 9623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) ∈ ℝ)
16		cvg1nlemcxze.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
17	16	nnred 8861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
18	15, 17	readdcld 7919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) + 𝐴) ∈ ℝ)
19		cvg1nlemcxze.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
20	19	nnred 8861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
21	16	nnrpd 9621	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
22	15, 21	ltaddrpd 9657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) < ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) + 𝐴))
23		cvg1nlemcxze.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) + 𝐴) < 𝐸)
24	15, 18, 20, 22, 23	lttrd 8015	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) < 𝐸)
25	11	rpred 9623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 2) / 𝑋) ∈ ℝ)
26	25, 20, 13	ltdivmul2d 9676	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) < 𝐸 ↔ ((𝐶 · 2) / 𝑋) < (𝐸 · 𝑍)))
27	24, 26	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 2) / 𝑋) < (𝐸 · 𝑍))
28	7, 27	eqbrtrrd 4000	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝑋) · 2) < (𝐸 · 𝑍))
29	1	rpred 9623	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
30	29, 4	rerpdivcld 9655	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝑋) ∈ ℝ)
31	19, 12	nnmulcld 8897	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℕ)
32	31	nnred 8861	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℝ)
33	30, 32, 9	ltmuldivd 9671	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 / 𝑋) · 2) < (𝐸 · 𝑍) ↔ (𝐶 / 𝑋) < ((𝐸 · 𝑍) / 2)))
34	28, 33	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝑋) < ((𝐸 · 𝑍) / 2))
35	29, 9, 32, 4	lt2mul2divd 9692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 2) < ((𝐸 · 𝑍) · 𝑋) ↔ (𝐶 / 𝑋) < ((𝐸 · 𝑍) / 2)))
36	34, 35	mpbird 166	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 2) < ((𝐸 · 𝑍) · 𝑋))
37	31	nncnd 8862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℂ)
38	37, 5	mulcomd 7911	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝑍) · 𝑋) = (𝑋 · (𝐸 · 𝑍)))
39	36, 38	breqtrd 4002	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 2) < (𝑋 · (𝐸 · 𝑍)))
40	4	rpred 9623	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
41	31	nnrpd 9621	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℝ+)
42	29, 9, 40, 41	lt2mul2divd 9692	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 2) < (𝑋 · (𝐸 · 𝑍)) ↔ (𝐶 / (𝐸 · 𝑍)) < (𝑋 / 2)))
43	39, 42	mpbid 146	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / (𝐸 · 𝑍)) < (𝑋 / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2135   class class class wbr 3976  (class class class)co 5836   + caddc 7747   · cmul 7749   < clt 7924   / cdiv 8559  ℕcn 8848  2c2 8899  ℝ⁺crp 9580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-inn 8849  df-2 8907  df-rp 9581

This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  10913