ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvg1nlemcxze GIF version

Theorem cvg1nlemcxze 10986
Description: Lemma for cvg1n 10990. Rearranging an expression related to the rate of convergence. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cvg1nlemcxze.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
cvg1nlemcxze.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
cvg1nlemcxze.z (𝜑𝑍 ∈ ℕ)
cvg1nlemcxze.e (𝜑𝐸 ∈ ℕ)
cvg1nlemcxze.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
cvg1nlemcxze.1 (𝜑 → ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) + 𝐴) < 𝐸)
Assertion
Ref Expression
cvg1nlemcxze (𝜑 → (𝐶 / (𝐸 · 𝑍)) < (𝑋 / 2))

Proof of Theorem cvg1nlemcxze
StepHypRef Expression
1 cvg1nlemcxze.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
21rpcnd 9696 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3 2cnd 8990 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
4 cvg1nlemcxze.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
54rpcnd 9696 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
64rpap0d 9700 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 # 0)
72, 3, 5, 6div23apd 8783 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 · 2) / 𝑋) = ((𝐶 / 𝑋) · 2))
8 2rp 9656 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
98a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
101, 9rpmulcld 9711 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 · 2) ∈ ℝ+)
1110, 4rpdivcld 9712 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶 · 2) / 𝑋) ∈ ℝ+)
12 cvg1nlemcxze.z . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑍 ∈ ℕ)
1312nnrpd 9692 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
1411, 13rpdivcld 9712 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) ∈ ℝ+)
1514rpred 9694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) ∈ ℝ)
16 cvg1nlemcxze.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
1716nnred 8930 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1815, 17readdcld 7985 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) + 𝐴) ∈ ℝ)
19 cvg1nlemcxze.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℕ)
2019nnred 8930 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
2116nnrpd 9692 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2215, 21ltaddrpd 9728 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) < ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) + 𝐴))
23 cvg1nlemcxze.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) + 𝐴) < 𝐸)
2415, 18, 20, 22, 23lttrd 8081 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) < 𝐸)
2511rpred 9694 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 · 2) / 𝑋) ∈ ℝ)
2625, 20, 13ltdivmul2d 9747 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) < 𝐸 ↔ ((𝐶 · 2) / 𝑋) < (𝐸 · 𝑍)))
2724, 26mpbid 147 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 · 2) / 𝑋) < (𝐸 · 𝑍))
287, 27eqbrtrrd 4027 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 / 𝑋) · 2) < (𝐸 · 𝑍))
291rpred 9694 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
3029, 4rerpdivcld 9726 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 / 𝑋) ∈ ℝ)
3119, 12nnmulcld 8966 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℕ)
3231nnred 8930 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℝ)
3330, 32, 9ltmuldivd 9742 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶 / 𝑋) · 2) < (𝐸 · 𝑍) ↔ (𝐶 / 𝑋) < ((𝐸 · 𝑍) / 2)))
3428, 33mpbid 147 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 / 𝑋) < ((𝐸 · 𝑍) / 2))
3529, 9, 32, 4lt2mul2divd 9763 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 · 2) < ((𝐸 · 𝑍) · 𝑋) ↔ (𝐶 / 𝑋) < ((𝐸 · 𝑍) / 2)))
3634, 35mpbird 167 . . 3 (𝜑 → (𝐶 · 2) < ((𝐸 · 𝑍) · 𝑋))
3731nncnd 8931 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℂ)
3837, 5mulcomd 7977 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑍) · 𝑋) = (𝑋 · (𝐸 · 𝑍)))
3936, 38breqtrd 4029 . 2 (𝜑 → (𝐶 · 2) < (𝑋 · (𝐸 · 𝑍)))
404rpred 9694 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4131nnrpd 9692 . . 3 (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℝ+)
4229, 9, 40, 41lt2mul2divd 9763 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · 2) < (𝑋 · (𝐸 · 𝑍)) ↔ (𝐶 / (𝐸 · 𝑍)) < (𝑋 / 2)))
4339, 42mpbid 147 1 (𝜑 → (𝐶 / (𝐸 · 𝑍)) < (𝑋 / 2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   + caddc 7813   · cmul 7815   < clt 7990   / cdiv 8627  cn 8917  2c2 8968  +crp 9651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-rp 9652
This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  10989
  Copyright terms: Public domain W3C validator