Theorem cvg1nlemcxze 10991

Description: Lemma for cvg1n 10995. Rearranging an expression related to the rate of convergence. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvg1nlemcxze.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
cvg1nlemcxze.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
cvg1nlemcxze.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℕ)
cvg1nlemcxze.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
cvg1nlemcxze.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
cvg1nlemcxze.1	⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) + 𝐴) < 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
cvg1nlemcxze	⊢ (𝜑 → (𝐶 / (𝐸 · 𝑍)) < (𝑋 / 2))

Proof of Theorem cvg1nlemcxze

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvg1nlemcxze.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 9698	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3		2cnd 8992	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
4		cvg1nlemcxze.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
5	4	rpcnd 9698	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
6	4	rpap0d 9702	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 # 0)
7	2, 3, 5, 6	div23apd 8785	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 2) / 𝑋) = ((𝐶 / 𝑋) · 2))
8		2rp 9658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
10	1, 9	rpmulcld 9713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 2) ∈ ℝ+)
11	10, 4	rpdivcld 9714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 2) / 𝑋) ∈ ℝ+)
12		cvg1nlemcxze.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℕ)
13	12	nnrpd 9694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ+)
14	11, 13	rpdivcld 9714	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) ∈ ℝ+)
15	14	rpred 9696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) ∈ ℝ)
16		cvg1nlemcxze.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
17	16	nnred 8932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
18	15, 17	readdcld 7987	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) + 𝐴) ∈ ℝ)
19		cvg1nlemcxze.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
20	19	nnred 8932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
21	16	nnrpd 9694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
22	15, 21	ltaddrpd 9730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) < ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) + 𝐴))
23		cvg1nlemcxze.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) + 𝐴) < 𝐸)
24	15, 18, 20, 22, 23	lttrd 8083	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) < 𝐸)
25	11	rpred 9696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 2) / 𝑋) ∈ ℝ)
26	25, 20, 13	ltdivmul2d 9749	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) < 𝐸 ↔ ((𝐶 · 2) / 𝑋) < (𝐸 · 𝑍)))
27	24, 26	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 2) / 𝑋) < (𝐸 · 𝑍))
28	7, 27	eqbrtrrd 4028	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝑋) · 2) < (𝐸 · 𝑍))
29	1	rpred 9696	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
30	29, 4	rerpdivcld 9728	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝑋) ∈ ℝ)
31	19, 12	nnmulcld 8968	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℕ)
32	31	nnred 8932	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℝ)
33	30, 32, 9	ltmuldivd 9744	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 / 𝑋) · 2) < (𝐸 · 𝑍) ↔ (𝐶 / 𝑋) < ((𝐸 · 𝑍) / 2)))
34	28, 33	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝑋) < ((𝐸 · 𝑍) / 2))
35	29, 9, 32, 4	lt2mul2divd 9765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 2) < ((𝐸 · 𝑍) · 𝑋) ↔ (𝐶 / 𝑋) < ((𝐸 · 𝑍) / 2)))
36	34, 35	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 2) < ((𝐸 · 𝑍) · 𝑋))
37	31	nncnd 8933	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℂ)
38	37, 5	mulcomd 7979	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝑍) · 𝑋) = (𝑋 · (𝐸 · 𝑍)))
39	36, 38	breqtrd 4030	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 2) < (𝑋 · (𝐸 · 𝑍)))
40	4	rpred 9696	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
41	31	nnrpd 9694	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℝ+)
42	29, 9, 40, 41	lt2mul2divd 9765	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 2) < (𝑋 · (𝐸 · 𝑍)) ↔ (𝐶 / (𝐸 · 𝑍)) < (𝑋 / 2)))
43	39, 42	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / (𝐸 · 𝑍)) < (𝑋 / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875   + caddc 7814   · cmul 7816   < clt 7992   / cdiv 8629  ℕcn 8919  2c2 8970  ℝ⁺crp 9653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-rp 9654

This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  10994