Theorem cvg1nlemcxze 11692

Description: Lemma for cvg1n 11696. Rearranging an expression related to the rate of convergence. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvg1nlemcxze.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
cvg1nlemcxze.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
cvg1nlemcxze.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℕ)
cvg1nlemcxze.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
cvg1nlemcxze.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
cvg1nlemcxze.1	⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) + 𝐴) < 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
cvg1nlemcxze	⊢ (𝜑 → (𝐶 / (𝐸 · 𝑍)) < (𝑋 / 2))

Proof of Theorem cvg1nlemcxze

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvg1nlemcxze.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 10049	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3		2cnd 9327	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
4		cvg1nlemcxze.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
5	4	rpcnd 10049	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
6	4	rpap0d 10053	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 # 0)
7	2, 3, 5, 6	div23apd 9119	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 2) / 𝑋) = ((𝐶 / 𝑋) · 2))
8		2rp 10009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
10	1, 9	rpmulcld 10064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 2) ∈ ℝ+)
11	10, 4	rpdivcld 10065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 2) / 𝑋) ∈ ℝ+)
12		cvg1nlemcxze.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℕ)
13	12	nnrpd 10045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ+)
14	11, 13	rpdivcld 10065	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) ∈ ℝ+)
15	14	rpred 10047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) ∈ ℝ)
16		cvg1nlemcxze.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
17	16	nnred 9267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
18	15, 17	readdcld 8319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) + 𝐴) ∈ ℝ)
19		cvg1nlemcxze.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
20	19	nnred 9267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
21	16	nnrpd 10045	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
22	15, 21	ltaddrpd 10081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) < ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) + 𝐴))
23		cvg1nlemcxze.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) + 𝐴) < 𝐸)
24	15, 18, 20, 22, 23	lttrd 8415	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) < 𝐸)
25	11	rpred 10047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 2) / 𝑋) ∈ ℝ)
26	25, 20, 13	ltdivmul2d 10100	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) < 𝐸 ↔ ((𝐶 · 2) / 𝑋) < (𝐸 · 𝑍)))
27	24, 26	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 2) / 𝑋) < (𝐸 · 𝑍))
28	7, 27	eqbrtrrd 4138	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝑋) · 2) < (𝐸 · 𝑍))
29	1	rpred 10047	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
30	29, 4	rerpdivcld 10079	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝑋) ∈ ℝ)
31	19, 12	nnmulcld 9303	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℕ)
32	31	nnred 9267	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℝ)
33	30, 32, 9	ltmuldivd 10095	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 / 𝑋) · 2) < (𝐸 · 𝑍) ↔ (𝐶 / 𝑋) < ((𝐸 · 𝑍) / 2)))
34	28, 33	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝑋) < ((𝐸 · 𝑍) / 2))
35	29, 9, 32, 4	lt2mul2divd 10116	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 2) < ((𝐸 · 𝑍) · 𝑋) ↔ (𝐶 / 𝑋) < ((𝐸 · 𝑍) / 2)))
36	34, 35	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 2) < ((𝐸 · 𝑍) · 𝑋))
37	31	nncnd 9268	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℂ)
38	37, 5	mulcomd 8311	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝑍) · 𝑋) = (𝑋 · (𝐸 · 𝑍)))
39	36, 38	breqtrd 4140	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 2) < (𝑋 · (𝐸 · 𝑍)))
40	4	rpred 10047	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
41	31	nnrpd 10045	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℝ+)
42	29, 9, 40, 41	lt2mul2divd 10116	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 2) < (𝑋 · (𝐸 · 𝑍)) ↔ (𝐶 / (𝐸 · 𝑍)) < (𝑋 / 2)))
43	39, 42	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / (𝐸 · 𝑍)) < (𝑋 / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   + caddc 8146   · cmul 8148   < clt 8324   / cdiv 8963  ℕcn 9254  2c2 9305  ℝ⁺crp 10004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-rp 10005

This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  11695