Theorem qbtwnrelemcalc 10487

Description: Lemma for qbtwnre 10488. Calculations involved in showing the constructed rational number is less than 𝐵. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
qbtwnrelemcalc.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
qbtwnrelemcalc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
qbtwnrelemcalc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
qbtwnrelemcalc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
qbtwnrelemcalc.lt	⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝐴 · (2 · 𝑁)))
qbtwnrelemcalc.1n	⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) < (𝐵 − 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
qbtwnrelemcalc	⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 2) / (2 · 𝑁)) < 𝐵)

Proof of Theorem qbtwnrelemcalc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9191	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		qbtwnrelemcalc.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		qbtwnrelemcalc.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnred 9134	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
6	2, 5	remulcld 8188	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
7	3, 6	remulcld 8188	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
8		qbtwnrelemcalc.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8, 6	remulcld 8188	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
10	7, 9	resubcld 8538	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − (𝐴 · (2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
11		qbtwnrelemcalc.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12	11	zred 9580	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
13	7, 12	resubcld 8538	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − 𝑀) ∈ ℝ)
14		2t1e2 9275	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 1) = 2
15	14	oveq1i 6017	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 1) / (2 · 𝑁)) = (2 / (2 · 𝑁))
16		1cnd 8173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
17	5	recnd 8186	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
18	2	recnd 8186	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
19	4	nnap0d 9167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 # 0)
20		2ap0 9214	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 # 0
21	20	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 # 0)
22	16, 17, 18, 19, 21	divcanap5d 8975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 1) / (2 · 𝑁)) = (1 / 𝑁))
23	15, 22	eqtr3id 2276	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 / (2 · 𝑁)) = (1 / 𝑁))
24		qbtwnrelemcalc.1n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) < (𝐵 − 𝐴))
25	23, 24	eqbrtrd 4105	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 / (2 · 𝑁)) < (𝐵 − 𝐴))
26	3, 8	resubcld 8538	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
27		2rp 9866	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
28	27	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
29	4	nnrpd 9902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
30	28, 29	rpmulcld 9921	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
31	2, 26, 30	ltdivmul2d 9957	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 / (2 · 𝑁)) < (𝐵 − 𝐴) ↔ 2 < ((𝐵 − 𝐴) · (2 · 𝑁))))
32	25, 31	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 < ((𝐵 − 𝐴) · (2 · 𝑁)))
33	3	recnd 8186	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
34	8	recnd 8186	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
35	18, 17	mulcld 8178	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
36	33, 34, 35	subdird 8572	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) · (2 · 𝑁)) = ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − (𝐴 · (2 · 𝑁))))
37	32, 36	breqtrd 4109	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 < ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − (𝐴 · (2 · 𝑁))))
38		qbtwnrelemcalc.lt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝐴 · (2 · 𝑁)))
39	12, 9, 7, 38	ltsub2dd 8716	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − (𝐴 · (2 · 𝑁))) < ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − 𝑀))
40	2, 10, 13, 37, 39	lttrd 8283	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 < ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − 𝑀))
41	12, 2, 7	ltaddsub2d 8704	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 2) < (𝐵 · (2 · 𝑁)) ↔ 2 < ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − 𝑀)))
42	40, 41	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 2) < (𝐵 · (2 · 𝑁)))
43	12, 2	readdcld 8187	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 2) ∈ ℝ)
44	43, 3, 30	ltdivmul2d 9957	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 2) / (2 · 𝑁)) < 𝐵 ↔ (𝑀 + 2) < (𝐵 · (2 · 𝑁))))
45	42, 44	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 2) / (2 · 𝑁)) < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  ℝcr 8009  0cc0 8010  1c1 8011   + caddc 8013   · cmul 8015   < clt 8192   − cmin 8328   # cap 8739   / cdiv 8830  ℕcn 9121  2c2 9172  ℤcz 9457  ℝ⁺crp 9861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-z 9458  df-rp 9862

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10488