Theorem qbtwnrelemcalc 10242

Description: Lemma for qbtwnre 10243. Calculations involved in showing the constructed rational number is less than 𝐵. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
qbtwnrelemcalc.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
qbtwnrelemcalc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
qbtwnrelemcalc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
qbtwnrelemcalc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
qbtwnrelemcalc.lt	⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝐴 · (2 · 𝑁)))
qbtwnrelemcalc.1n	⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) < (𝐵 − 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
qbtwnrelemcalc	⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 2) / (2 · 𝑁)) < 𝐵)

Proof of Theorem qbtwnrelemcalc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 8978	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		qbtwnrelemcalc.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		qbtwnrelemcalc.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnred 8921	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
6	2, 5	remulcld 7978	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
7	3, 6	remulcld 7978	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
8		qbtwnrelemcalc.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8, 6	remulcld 7978	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
10	7, 9	resubcld 8328	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − (𝐴 · (2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
11		qbtwnrelemcalc.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12	11	zred 9364	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
13	7, 12	resubcld 8328	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − 𝑀) ∈ ℝ)
14		2t1e2 9061	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 1) = 2
15	14	oveq1i 5879	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 1) / (2 · 𝑁)) = (2 / (2 · 𝑁))
16		1cnd 7964	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
17	5	recnd 7976	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
18	2	recnd 7976	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
19	4	nnap0d 8954	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 # 0)
20		2ap0 9001	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 # 0
21	20	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 # 0)
22	16, 17, 18, 19, 21	divcanap5d 8763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 1) / (2 · 𝑁)) = (1 / 𝑁))
23	15, 22	eqtr3id 2224	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 / (2 · 𝑁)) = (1 / 𝑁))
24		qbtwnrelemcalc.1n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) < (𝐵 − 𝐴))
25	23, 24	eqbrtrd 4022	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 / (2 · 𝑁)) < (𝐵 − 𝐴))
26	3, 8	resubcld 8328	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
27		2rp 9645	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
28	27	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
29	4	nnrpd 9681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
30	28, 29	rpmulcld 9700	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
31	2, 26, 30	ltdivmul2d 9736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 / (2 · 𝑁)) < (𝐵 − 𝐴) ↔ 2 < ((𝐵 − 𝐴) · (2 · 𝑁))))
32	25, 31	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 < ((𝐵 − 𝐴) · (2 · 𝑁)))
33	3	recnd 7976	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
34	8	recnd 7976	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
35	18, 17	mulcld 7968	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
36	33, 34, 35	subdird 8362	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) · (2 · 𝑁)) = ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − (𝐴 · (2 · 𝑁))))
37	32, 36	breqtrd 4026	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 < ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − (𝐴 · (2 · 𝑁))))
38		qbtwnrelemcalc.lt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝐴 · (2 · 𝑁)))
39	12, 9, 7, 38	ltsub2dd 8505	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − (𝐴 · (2 · 𝑁))) < ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − 𝑀))
40	2, 10, 13, 37, 39	lttrd 8073	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 < ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − 𝑀))
41	12, 2, 7	ltaddsub2d 8493	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 2) < (𝐵 · (2 · 𝑁)) ↔ 2 < ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − 𝑀)))
42	40, 41	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 2) < (𝐵 · (2 · 𝑁)))
43	12, 2	readdcld 7977	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 2) ∈ ℝ)
44	43, 3, 30	ltdivmul2d 9736	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 2) / (2 · 𝑁)) < 𝐵 ↔ (𝑀 + 2) < (𝐵 · (2 · 𝑁))))
45	42, 44	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 2) / (2 · 𝑁)) < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  ℝcr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982   − cmin 8118   # cap 8528   / cdiv 8618  ℕcn 8908  2c2 8959  ℤcz 9242  ℝ⁺crp 9640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-z 9243  df-rp 9641

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10243