Theorem qbtwnrelemcalc 10396

Description: Lemma for qbtwnre 10397. Calculations involved in showing the constructed rational number is less than 𝐵. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
qbtwnrelemcalc.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
qbtwnrelemcalc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
qbtwnrelemcalc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
qbtwnrelemcalc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
qbtwnrelemcalc.lt	⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝐴 · (2 · 𝑁)))
qbtwnrelemcalc.1n	⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) < (𝐵 − 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
qbtwnrelemcalc	⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 2) / (2 · 𝑁)) < 𝐵)

Proof of Theorem qbtwnrelemcalc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9105	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		qbtwnrelemcalc.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		qbtwnrelemcalc.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnred 9048	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
6	2, 5	remulcld 8102	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
7	3, 6	remulcld 8102	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
8		qbtwnrelemcalc.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8, 6	remulcld 8102	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
10	7, 9	resubcld 8452	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − (𝐴 · (2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
11		qbtwnrelemcalc.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12	11	zred 9494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
13	7, 12	resubcld 8452	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − 𝑀) ∈ ℝ)
14		2t1e2 9189	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 1) = 2
15	14	oveq1i 5953	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 1) / (2 · 𝑁)) = (2 / (2 · 𝑁))
16		1cnd 8087	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
17	5	recnd 8100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
18	2	recnd 8100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
19	4	nnap0d 9081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 # 0)
20		2ap0 9128	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 # 0
21	20	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 # 0)
22	16, 17, 18, 19, 21	divcanap5d 8889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 1) / (2 · 𝑁)) = (1 / 𝑁))
23	15, 22	eqtr3id 2251	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 / (2 · 𝑁)) = (1 / 𝑁))
24		qbtwnrelemcalc.1n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) < (𝐵 − 𝐴))
25	23, 24	eqbrtrd 4065	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 / (2 · 𝑁)) < (𝐵 − 𝐴))
26	3, 8	resubcld 8452	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
27		2rp 9779	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
28	27	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
29	4	nnrpd 9815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
30	28, 29	rpmulcld 9834	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
31	2, 26, 30	ltdivmul2d 9870	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 / (2 · 𝑁)) < (𝐵 − 𝐴) ↔ 2 < ((𝐵 − 𝐴) · (2 · 𝑁))))
32	25, 31	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 < ((𝐵 − 𝐴) · (2 · 𝑁)))
33	3	recnd 8100	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
34	8	recnd 8100	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
35	18, 17	mulcld 8092	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
36	33, 34, 35	subdird 8486	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) · (2 · 𝑁)) = ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − (𝐴 · (2 · 𝑁))))
37	32, 36	breqtrd 4069	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 < ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − (𝐴 · (2 · 𝑁))))
38		qbtwnrelemcalc.lt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝐴 · (2 · 𝑁)))
39	12, 9, 7, 38	ltsub2dd 8630	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − (𝐴 · (2 · 𝑁))) < ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − 𝑀))
40	2, 10, 13, 37, 39	lttrd 8197	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 < ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − 𝑀))
41	12, 2, 7	ltaddsub2d 8618	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 2) < (𝐵 · (2 · 𝑁)) ↔ 2 < ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − 𝑀)))
42	40, 41	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 2) < (𝐵 · (2 · 𝑁)))
43	12, 2	readdcld 8101	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 2) ∈ ℝ)
44	43, 3, 30	ltdivmul2d 9870	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 2) / (2 · 𝑁)) < 𝐵 ↔ (𝑀 + 2) < (𝐵 · (2 · 𝑁))))
45	42, 44	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 2) / (2 · 𝑁)) < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  (class class class)co 5943  ℝcr 7923  0cc0 7924  1c1 7925   + caddc 7927   · cmul 7929   < clt 8106   − cmin 8242   # cap 8653   / cdiv 8744  ℕcn 9035  2c2 9086  ℤcz 9371  ℝ⁺crp 9774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-z 9372  df-rp 9775

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10397