ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qbtwnrelemcalc GIF version

Theorem qbtwnrelemcalc 10253
Description: Lemma for qbtwnre 10254. Calculations involved in showing the constructed rational number is less than 𝐵. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
qbtwnrelemcalc.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
qbtwnrelemcalc.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
qbtwnrelemcalc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
qbtwnrelemcalc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
qbtwnrelemcalc.lt (𝜑𝑀 < (𝐴 · (2 · 𝑁)))
qbtwnrelemcalc.1n (𝜑 → (1 / 𝑁) < (𝐵𝐴))
Assertion
Ref Expression
qbtwnrelemcalc (𝜑 → ((𝑀 + 2) / (2 · 𝑁)) < 𝐵)

Proof of Theorem qbtwnrelemcalc
StepHypRef Expression
1 2re 8987 . . . . 5 2 ∈ ℝ
21a1i 9 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3 qbtwnrelemcalc.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 qbtwnrelemcalc.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnred 8930 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
62, 5remulcld 7986 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
73, 6remulcld 7986 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 · (2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
8 qbtwnrelemcalc.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
98, 6remulcld 7986 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · (2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
107, 9resubcld 8336 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − (𝐴 · (2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
11 qbtwnrelemcalc.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1211zred 9373 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
137, 12resubcld 8336 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − 𝑀) ∈ ℝ)
14 2t1e2 9070 . . . . . . . . 9 (2 · 1) = 2
1514oveq1i 5884 . . . . . . . 8 ((2 · 1) / (2 · 𝑁)) = (2 / (2 · 𝑁))
16 1cnd 7972 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
175recnd 7984 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
182recnd 7984 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
194nnap0d 8963 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 # 0)
20 2ap0 9010 . . . . . . . . . 10 2 # 0
2120a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 # 0)
2216, 17, 18, 19, 21divcanap5d 8772 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 1) / (2 · 𝑁)) = (1 / 𝑁))
2315, 22eqtr3id 2224 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 / (2 · 𝑁)) = (1 / 𝑁))
24 qbtwnrelemcalc.1n . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 𝑁) < (𝐵𝐴))
2523, 24eqbrtrd 4025 . . . . . 6 (𝜑 → (2 / (2 · 𝑁)) < (𝐵𝐴))
263, 8resubcld 8336 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
27 2rp 9656 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
2827a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
294nnrpd 9692 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
3028, 29rpmulcld 9711 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
312, 26, 30ltdivmul2d 9747 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 / (2 · 𝑁)) < (𝐵𝐴) ↔ 2 < ((𝐵𝐴) · (2 · 𝑁))))
3225, 31mpbid 147 . . . . 5 (𝜑 → 2 < ((𝐵𝐴) · (2 · 𝑁)))
333recnd 7984 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
348recnd 7984 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3518, 17mulcld 7976 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
3633, 34, 35subdird 8370 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐴) · (2 · 𝑁)) = ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − (𝐴 · (2 · 𝑁))))
3732, 36breqtrd 4029 . . . 4 (𝜑 → 2 < ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − (𝐴 · (2 · 𝑁))))
38 qbtwnrelemcalc.lt . . . . 5 (𝜑𝑀 < (𝐴 · (2 · 𝑁)))
3912, 9, 7, 38ltsub2dd 8513 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − (𝐴 · (2 · 𝑁))) < ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − 𝑀))
402, 10, 13, 37, 39lttrd 8081 . . 3 (𝜑 → 2 < ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − 𝑀))
4112, 2, 7ltaddsub2d 8501 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 + 2) < (𝐵 · (2 · 𝑁)) ↔ 2 < ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − 𝑀)))
4240, 41mpbird 167 . 2 (𝜑 → (𝑀 + 2) < (𝐵 · (2 · 𝑁)))
4312, 2readdcld 7985 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 2) ∈ ℝ)
4443, 3, 30ltdivmul2d 9747 . 2 (𝜑 → (((𝑀 + 2) / (2 · 𝑁)) < 𝐵 ↔ (𝑀 + 2) < (𝐵 · (2 · 𝑁))))
4542, 44mpbird 167 1 (𝜑 → ((𝑀 + 2) / (2 · 𝑁)) < 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   · cmul 7815   < clt 7990  cmin 8126   # cap 8536   / cdiv 8627  cn 8917  2c2 8968  cz 9251  +crp 9651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-z 9252  df-rp 9652
This theorem is referenced by:  qbtwnre  10254
  Copyright terms: Public domain W3C validator