ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvgratnnlembern GIF version

Theorem cvgratnnlembern 10980
Description: Lemma for cvgratnn 10988. Upper bound for a geometric progression of positive ratio less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnnlembern.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnnlembern.4 (𝜑𝐴 < 1)
cvgratnnlembern.gt0 (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnnlembern.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlembern (𝜑 → (𝐴𝑀) < ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀))

Proof of Theorem cvgratnnlembern
StepHypRef Expression
1 cvgratnnlembern.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 cvgratnnlembern.gt0 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝐴)
31, 2gt0ap0d 8168 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 # 0)
41, 3rerecclapd 8363 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
5 1red 7566 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
64, 5resubcld 7922 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
7 cvgratnnlembern.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
87nnred 8498 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
96, 8remulcld 7581 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) ∈ ℝ)
109recnd 7579 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) ∈ ℂ)
11 cvgratnnlembern.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 < 1)
121, 2elrpd 9234 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
1312reclt1d 9250 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝐴)))
1411, 13mpbid 146 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (1 / 𝐴))
155, 4posdifd 8072 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 < (1 / 𝐴) ↔ 0 < ((1 / 𝐴) − 1)))
1614, 15mpbid 146 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < ((1 / 𝐴) − 1))
176, 16elrpd 9234 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ+)
187nnrpd 9235 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
1917, 18rpmulcld 9253 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) ∈ ℝ+)
2019rpap0d 9242 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) # 0)
2110, 20recrecapd 8315 . . . 4 (𝜑 → (1 / (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))) = (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))
229, 5readdcld 7580 . . . . 5 (𝜑 → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ∈ ℝ)
237nnnn0d 8789 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
241, 23reexpcld 10166 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ ℝ)
251recnd 7579 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
267nnzd 8930 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2725, 3, 26expap0d 10155 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑀) # 0)
2824, 27rerecclapd 8363 . . . . 5 (𝜑 → (1 / (𝐴𝑀)) ∈ ℝ)
299ltp1d 8454 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) < ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1))
30 0le1 8022 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
3130a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 1)
325, 12, 31divge0d 9277 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝐴))
33 bernneq2 10138 . . . . . . 7 (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ≤ ((1 / 𝐴)↑𝑀))
344, 23, 32, 33syl3anc 1175 . . . . . 6 (𝜑 → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ≤ ((1 / 𝐴)↑𝑀))
3525, 3, 26exprecapd 10157 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 𝐴)↑𝑀) = (1 / (𝐴𝑀)))
3634, 35breqtrd 3877 . . . . 5 (𝜑 → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ≤ (1 / (𝐴𝑀)))
379, 22, 28, 29, 36ltletrd 7964 . . . 4 (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) < (1 / (𝐴𝑀)))
3821, 37eqbrtrd 3873 . . 3 (𝜑 → (1 / (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))) < (1 / (𝐴𝑀)))
3912, 26rpexpcld 10173 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ ℝ+)
4019rpreccld 9247 . . . 4 (𝜑 → (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)) ∈ ℝ+)
4139, 40ltrecd 9255 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑀) < (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)) ↔ (1 / (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))) < (1 / (𝐴𝑀))))
4238, 41mpbird 166 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑀) < (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)))
436recnd 7579 . . 3 (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℂ)
447nncnd 8499 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
4517rpap0d 9242 . . 3 (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) # 0)
4618rpap0d 9242 . . 3 (𝜑𝑀 # 0)
4743, 44, 45, 46recdivap2d 8338 . 2 (𝜑 → ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀) = (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)))
4842, 47breqtrrd 3879 1 (𝜑 → (𝐴𝑀) < ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1439   class class class wbr 3853  (class class class)co 5668  cr 7412  0cc0 7413  1c1 7414   + caddc 7416   · cmul 7418   < clt 7585  cle 7586  cmin 7716   / cdiv 8202  cn 8485  0cn0 8736  cexp 10017
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-frec 6172  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-rp 9198  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018
This theorem is referenced by:  cvgratnnlemfm  10986
  Copyright terms: Public domain W3C validator