Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvgratnnlembern GIF version

Theorem cvgratnnlembern 11324
 Description: Lemma for cvgratnn 11332. Upper bound for a geometric progression of positive ratio less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnnlembern.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnnlembern.4 (𝜑𝐴 < 1)
cvgratnnlembern.gt0 (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnnlembern.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlembern (𝜑 → (𝐴𝑀) < ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀))

Proof of Theorem cvgratnnlembern
StepHypRef Expression
1 cvgratnnlembern.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 cvgratnnlembern.gt0 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝐴)
31, 2gt0ap0d 8415 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 # 0)
41, 3rerecclapd 8617 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
5 1red 7805 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
64, 5resubcld 8167 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
7 cvgratnnlembern.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
87nnred 8757 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
96, 8remulcld 7820 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) ∈ ℝ)
109recnd 7818 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) ∈ ℂ)
11 cvgratnnlembern.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 < 1)
121, 2elrpd 9510 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
1312reclt1d 9527 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝐴)))
1411, 13mpbid 146 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (1 / 𝐴))
155, 4posdifd 8318 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 < (1 / 𝐴) ↔ 0 < ((1 / 𝐴) − 1)))
1614, 15mpbid 146 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < ((1 / 𝐴) − 1))
176, 16elrpd 9510 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ+)
187nnrpd 9511 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
1917, 18rpmulcld 9530 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) ∈ ℝ+)
2019rpap0d 9519 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) # 0)
2110, 20recrecapd 8569 . . . 4 (𝜑 → (1 / (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))) = (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))
229, 5readdcld 7819 . . . . 5 (𝜑 → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ∈ ℝ)
237nnnn0d 9054 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
241, 23reexpcld 10472 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ ℝ)
251recnd 7818 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
267nnzd 9196 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2725, 3, 26expap0d 10461 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑀) # 0)
2824, 27rerecclapd 8617 . . . . 5 (𝜑 → (1 / (𝐴𝑀)) ∈ ℝ)
299ltp1d 8712 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) < ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1))
30 0le1 8267 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
3130a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 1)
325, 12, 31divge0d 9554 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝐴))
33 bernneq2 10444 . . . . . . 7 (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ≤ ((1 / 𝐴)↑𝑀))
344, 23, 32, 33syl3anc 1217 . . . . . 6 (𝜑 → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ≤ ((1 / 𝐴)↑𝑀))
3525, 3, 26exprecapd 10463 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 𝐴)↑𝑀) = (1 / (𝐴𝑀)))
3634, 35breqtrd 3962 . . . . 5 (𝜑 → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ≤ (1 / (𝐴𝑀)))
379, 22, 28, 29, 36ltletrd 8209 . . . 4 (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) < (1 / (𝐴𝑀)))
3821, 37eqbrtrd 3958 . . 3 (𝜑 → (1 / (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))) < (1 / (𝐴𝑀)))
3912, 26rpexpcld 10479 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ ℝ+)
4019rpreccld 9524 . . . 4 (𝜑 → (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)) ∈ ℝ+)
4139, 40ltrecd 9532 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑀) < (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)) ↔ (1 / (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))) < (1 / (𝐴𝑀))))
4238, 41mpbird 166 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑀) < (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)))
436recnd 7818 . . 3 (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℂ)
447nncnd 8758 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
4517rpap0d 9519 . . 3 (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) # 0)
4618rpap0d 9519 . . 3 (𝜑𝑀 # 0)
4743, 44, 45, 46recdivap2d 8592 . 2 (𝜑 → ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀) = (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)))
4842, 47breqtrrd 3964 1 (𝜑 → (𝐴𝑀) < ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782  ℝcr 7643  0cc0 7644  1c1 7645   + caddc 7647   · cmul 7649   < clt 7824   ≤ cle 7825   − cmin 7957   / cdiv 8456  ℕcn 8744  ℕ0cn0 9001  ↑cexp 10323 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-rp 9471  df-seqfrec 10250  df-exp 10324 This theorem is referenced by:  cvgratnnlemfm  11330
 Copyright terms: Public domain W3C validator