ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvgratnnlembern GIF version

Theorem cvgratnnlembern 11534
Description: Lemma for cvgratnn 11542. Upper bound for a geometric progression of positive ratio less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnnlembern.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnnlembern.4 (𝜑𝐴 < 1)
cvgratnnlembern.gt0 (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnnlembern.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlembern (𝜑 → (𝐴𝑀) < ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀))

Proof of Theorem cvgratnnlembern
StepHypRef Expression
1 cvgratnnlembern.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 cvgratnnlembern.gt0 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝐴)
31, 2gt0ap0d 8589 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 # 0)
41, 3rerecclapd 8794 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
5 1red 7975 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
64, 5resubcld 8341 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
7 cvgratnnlembern.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
87nnred 8935 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
96, 8remulcld 7991 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) ∈ ℝ)
109recnd 7989 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) ∈ ℂ)
11 cvgratnnlembern.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 < 1)
121, 2elrpd 9696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
1312reclt1d 9713 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝐴)))
1411, 13mpbid 147 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (1 / 𝐴))
155, 4posdifd 8492 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 < (1 / 𝐴) ↔ 0 < ((1 / 𝐴) − 1)))
1614, 15mpbid 147 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < ((1 / 𝐴) − 1))
176, 16elrpd 9696 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ+)
187nnrpd 9697 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
1917, 18rpmulcld 9716 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) ∈ ℝ+)
2019rpap0d 9705 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) # 0)
2110, 20recrecapd 8745 . . . 4 (𝜑 → (1 / (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))) = (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))
229, 5readdcld 7990 . . . . 5 (𝜑 → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ∈ ℝ)
237nnnn0d 9232 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
241, 23reexpcld 10674 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ ℝ)
251recnd 7989 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
267nnzd 9377 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2725, 3, 26expap0d 10663 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑀) # 0)
2824, 27rerecclapd 8794 . . . . 5 (𝜑 → (1 / (𝐴𝑀)) ∈ ℝ)
299ltp1d 8890 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) < ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1))
30 0le1 8441 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
3130a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 1)
325, 12, 31divge0d 9740 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝐴))
33 bernneq2 10645 . . . . . . 7 (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ≤ ((1 / 𝐴)↑𝑀))
344, 23, 32, 33syl3anc 1238 . . . . . 6 (𝜑 → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ≤ ((1 / 𝐴)↑𝑀))
3525, 3, 26exprecapd 10665 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 𝐴)↑𝑀) = (1 / (𝐴𝑀)))
3634, 35breqtrd 4031 . . . . 5 (𝜑 → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ≤ (1 / (𝐴𝑀)))
379, 22, 28, 29, 36ltletrd 8383 . . . 4 (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) < (1 / (𝐴𝑀)))
3821, 37eqbrtrd 4027 . . 3 (𝜑 → (1 / (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))) < (1 / (𝐴𝑀)))
3912, 26rpexpcld 10681 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ ℝ+)
4019rpreccld 9710 . . . 4 (𝜑 → (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)) ∈ ℝ+)
4139, 40ltrecd 9718 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑀) < (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)) ↔ (1 / (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))) < (1 / (𝐴𝑀))))
4238, 41mpbird 167 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑀) < (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)))
436recnd 7989 . . 3 (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℂ)
447nncnd 8936 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
4517rpap0d 9705 . . 3 (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) # 0)
4618rpap0d 9705 . . 3 (𝜑𝑀 # 0)
4743, 44, 45, 46recdivap2d 8768 . 2 (𝜑 → ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀) = (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)))
4842, 47breqtrrd 4033 1 (𝜑 → (𝐴𝑀) < ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  cr 7813  0cc0 7814  1c1 7815   + caddc 7817   · cmul 7819   < clt 7995  cle 7996  cmin 8131   / cdiv 8632  cn 8922  0cn0 9179  cexp 10522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-rp 9657  df-seqfrec 10449  df-exp 10523
This theorem is referenced by:  cvgratnnlemfm  11540
  Copyright terms: Public domain W3C validator