Theorem cvgratnnlembern 11534

Description: Lemma for cvgratnn 11542. Upper bound for a geometric progression of positive ratio less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnnlembern.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnnlembern.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
cvgratnnlembern.gt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnnlembern.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlembern	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) < ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀))

Proof of Theorem cvgratnnlembern

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratnnlembern.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		cvgratnnlembern.gt0	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3	1, 2	gt0ap0d 8589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
4	1, 3	rerecclapd 8794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
5		1red 7975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6	4, 5	resubcld 8341	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
7		cvgratnnlembern.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
8	7	nnred 8935	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
9	6, 8	remulcld 7991	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) ∈ ℝ)
10	9	recnd 7989	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) ∈ ℂ)
11		cvgratnnlembern.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
12	1, 2	elrpd 9696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
13	12	reclt1d 9713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝐴)))
14	11, 13	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < (1 / 𝐴))
15	5, 4	posdifd 8492	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 < (1 / 𝐴) ↔ 0 < ((1 / 𝐴) − 1)))
16	14, 15	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < ((1 / 𝐴) − 1))
17	6, 16	elrpd 9696	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ+)
18	7	nnrpd 9697	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ+)
19	17, 18	rpmulcld 9716	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) ∈ ℝ+)
20	19	rpap0d 9705	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) # 0)
21	10, 20	recrecapd 8745	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))) = (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))
22	9, 5	readdcld 7990	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ∈ ℝ)
23	7	nnnn0d 9232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
24	1, 23	reexpcld 10674	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ)
25	1	recnd 7989	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
26	7	nnzd 9377	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
27	25, 3, 26	expap0d 10663	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) # 0)
28	24, 27	rerecclapd 8794	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝐴↑𝑀)) ∈ ℝ)
29	9	ltp1d 8890	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) < ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1))
30		0le1 8441	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
31	30	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
32	5, 12, 31	divge0d 9740	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝐴))
33		bernneq2 10645	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ≤ ((1 / 𝐴)↑𝑀))
34	4, 23, 32, 33	syl3anc 1238	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ≤ ((1 / 𝐴)↑𝑀))
35	25, 3, 26	exprecapd 10665	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴)↑𝑀) = (1 / (𝐴↑𝑀)))
36	34, 35	breqtrd 4031	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ≤ (1 / (𝐴↑𝑀)))
37	9, 22, 28, 29, 36	ltletrd 8383	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) < (1 / (𝐴↑𝑀)))
38	21, 37	eqbrtrd 4027	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))) < (1 / (𝐴↑𝑀)))
39	12, 26	rpexpcld 10681	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ+)
40	19	rpreccld 9710	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)) ∈ ℝ+)
41	39, 40	ltrecd 9718	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) < (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)) ↔ (1 / (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))) < (1 / (𝐴↑𝑀))))
42	38, 41	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) < (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)))
43	6	recnd 7989	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℂ)
44	7	nncnd 8936	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
45	17	rpap0d 9705	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) # 0)
46	18	rpap0d 9705	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 # 0)
47	43, 44, 45, 46	recdivap2d 8768	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀) = (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)))
48	42, 47	breqtrrd 4033	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) < ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  ℝcr 7813  0cc0 7814  1c1 7815   + caddc 7817   · cmul 7819   < clt 7995   ≤ cle 7996   − cmin 8131   / cdiv 8632  ℕcn 8922  ℕ₀cn0 9179  ↑cexp 10522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-rp 9657  df-seqfrec 10449  df-exp 10523

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemfm  11540