Theorem cvgratnnlembern 12315

Description: Lemma for cvgratnn 12323. Upper bound for a geometric progression of positive ratio less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnnlembern.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnnlembern.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
cvgratnnlembern.gt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnnlembern.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlembern	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) < ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀))

Proof of Theorem cvgratnnlembern

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratnnlembern.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		cvgratnnlembern.gt0	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3	1, 2	gt0ap0d 8965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
4	1, 3	rerecclapd 9172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
5		1red 8347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6	4, 5	resubcld 8715	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
7		cvgratnnlembern.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
8	7	nnred 9326	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
9	6, 8	remulcld 8362	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) ∈ ℝ)
10	9	recnd 8360	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) ∈ ℂ)
11		cvgratnnlembern.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
12	1, 2	elrpd 10111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
13	12	reclt1d 10128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝐴)))
14	11, 13	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < (1 / 𝐴))
15	5, 4	posdifd 8867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 < (1 / 𝐴) ↔ 0 < ((1 / 𝐴) − 1)))
16	14, 15	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < ((1 / 𝐴) − 1))
17	6, 16	elrpd 10111	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ+)
18	7	nnrpd 10112	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ+)
19	17, 18	rpmulcld 10131	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) ∈ ℝ+)
20	19	rpap0d 10120	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) # 0)
21	10, 20	recrecapd 9123	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))) = (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))
22	9, 5	readdcld 8361	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ∈ ℝ)
23	7	nnnn0d 9631	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
24	1, 23	reexpcld 11149	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ)
25	1	recnd 8360	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
26	7	nnzd 9778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
27	25, 3, 26	expap0d 11138	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) # 0)
28	24, 27	rerecclapd 9172	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝐴↑𝑀)) ∈ ℝ)
29	9	ltp1d 9268	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) < ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1))
30		0le1 8816	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
31	30	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
32	5, 12, 31	divge0d 10155	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝐴))
33		bernneq2 11120	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ≤ ((1 / 𝐴)↑𝑀))
34	4, 23, 32, 33	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ≤ ((1 / 𝐴)↑𝑀))
35	25, 3, 26	exprecapd 11140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴)↑𝑀) = (1 / (𝐴↑𝑀)))
36	34, 35	breqtrd 4157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ≤ (1 / (𝐴↑𝑀)))
37	9, 22, 28, 29, 36	ltletrd 8758	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) < (1 / (𝐴↑𝑀)))
38	21, 37	eqbrtrd 4153	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))) < (1 / (𝐴↑𝑀)))
39	12, 26	rpexpcld 11156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ+)
40	19	rpreccld 10125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)) ∈ ℝ+)
41	39, 40	ltrecd 10133	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) < (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)) ↔ (1 / (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))) < (1 / (𝐴↑𝑀))))
42	38, 41	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) < (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)))
43	6	recnd 8360	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℂ)
44	7	nncnd 9327	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
45	17	rpap0d 10120	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) # 0)
46	18	rpap0d 10120	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 # 0)
47	43, 44, 45, 46	recdivap2d 9146	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀) = (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)))
48	42, 47	breqtrrd 4159	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) < ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  ℝcr 8184  0cc0 8185  1c1 8186   + caddc 8188   · cmul 8190   < clt 8366   ≤ cle 8367   − cmin 8504   / cdiv 9010  ℕcn 9313  ℕ₀cn0 9574  ↑cexp 10996

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072  df-seqfrec 10906  df-exp 10997

This theorem is used by:  cvgratnnlemfm  12321