Theorem cvgratnnlembern 12102

Description: Lemma for cvgratnn 12110. Upper bound for a geometric progression of positive ratio less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnnlembern.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnnlembern.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
cvgratnnlembern.gt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnnlembern.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlembern	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) < ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀))

Proof of Theorem cvgratnnlembern

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratnnlembern.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		cvgratnnlembern.gt0	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3	1, 2	gt0ap0d 8809	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
4	1, 3	rerecclapd 9014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
5		1red 8194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6	4, 5	resubcld 8560	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
7		cvgratnnlembern.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
8	7	nnred 9156	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
9	6, 8	remulcld 8210	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) ∈ ℝ)
10	9	recnd 8208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) ∈ ℂ)
11		cvgratnnlembern.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
12	1, 2	elrpd 9928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
13	12	reclt1d 9945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝐴)))
14	11, 13	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < (1 / 𝐴))
15	5, 4	posdifd 8712	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 < (1 / 𝐴) ↔ 0 < ((1 / 𝐴) − 1)))
16	14, 15	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < ((1 / 𝐴) − 1))
17	6, 16	elrpd 9928	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ+)
18	7	nnrpd 9929	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ+)
19	17, 18	rpmulcld 9948	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) ∈ ℝ+)
20	19	rpap0d 9937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) # 0)
21	10, 20	recrecapd 8965	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))) = (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))
22	9, 5	readdcld 8209	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ∈ ℝ)
23	7	nnnn0d 9455	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
24	1, 23	reexpcld 10953	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ)
25	1	recnd 8208	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
26	7	nnzd 9601	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
27	25, 3, 26	expap0d 10942	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) # 0)
28	24, 27	rerecclapd 9014	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝐴↑𝑀)) ∈ ℝ)
29	9	ltp1d 9110	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) < ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1))
30		0le1 8661	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
31	30	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
32	5, 12, 31	divge0d 9972	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝐴))
33		bernneq2 10924	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ≤ ((1 / 𝐴)↑𝑀))
34	4, 23, 32, 33	syl3anc 1273	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ≤ ((1 / 𝐴)↑𝑀))
35	25, 3, 26	exprecapd 10944	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴)↑𝑀) = (1 / (𝐴↑𝑀)))
36	34, 35	breqtrd 4114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ≤ (1 / (𝐴↑𝑀)))
37	9, 22, 28, 29, 36	ltletrd 8603	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) < (1 / (𝐴↑𝑀)))
38	21, 37	eqbrtrd 4110	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))) < (1 / (𝐴↑𝑀)))
39	12, 26	rpexpcld 10960	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ+)
40	19	rpreccld 9942	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)) ∈ ℝ+)
41	39, 40	ltrecd 9950	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) < (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)) ↔ (1 / (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))) < (1 / (𝐴↑𝑀))))
42	38, 41	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) < (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)))
43	6	recnd 8208	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℂ)
44	7	nncnd 9157	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
45	17	rpap0d 9937	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) # 0)
46	18	rpap0d 9937	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 # 0)
47	43, 44, 45, 46	recdivap2d 8988	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀) = (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)))
48	42, 47	breqtrrd 4116	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) < ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  ℝcr 8031  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   · cmul 8037   < clt 8214   ≤ cle 8215   − cmin 8350   / cdiv 8852  ℕcn 9143  ℕ₀cn0 9402  ↑cexp 10801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-rp 9889  df-seqfrec 10711  df-exp 10802

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemfm  12108