Theorem cvgratnnlembern 10980

Description: Lemma for cvgratnn 10988. Upper bound for a geometric progression of positive ratio less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnnlembern.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnnlembern.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
cvgratnnlembern.gt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnnlembern.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlembern	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) < ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀))

Proof of Theorem cvgratnnlembern

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratnnlembern.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		cvgratnnlembern.gt0	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3	1, 2	gt0ap0d 8168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
4	1, 3	rerecclapd 8363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
5		1red 7566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6	4, 5	resubcld 7922	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
7		cvgratnnlembern.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
8	7	nnred 8498	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
9	6, 8	remulcld 7581	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) ∈ ℝ)
10	9	recnd 7579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) ∈ ℂ)
11		cvgratnnlembern.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
12	1, 2	elrpd 9234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
13	12	reclt1d 9250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝐴)))
14	11, 13	mpbid 146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < (1 / 𝐴))
15	5, 4	posdifd 8072	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 < (1 / 𝐴) ↔ 0 < ((1 / 𝐴) − 1)))
16	14, 15	mpbid 146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < ((1 / 𝐴) − 1))
17	6, 16	elrpd 9234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ+)
18	7	nnrpd 9235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ+)
19	17, 18	rpmulcld 9253	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) ∈ ℝ+)
20	19	rpap0d 9242	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) # 0)
21	10, 20	recrecapd 8315	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))) = (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))
22	9, 5	readdcld 7580	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ∈ ℝ)
23	7	nnnn0d 8789	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
24	1, 23	reexpcld 10166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ)
25	1	recnd 7579	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
26	7	nnzd 8930	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
27	25, 3, 26	expap0d 10155	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) # 0)
28	24, 27	rerecclapd 8363	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝐴↑𝑀)) ∈ ℝ)
29	9	ltp1d 8454	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) < ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1))
30		0le1 8022	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
31	30	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
32	5, 12, 31	divge0d 9277	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝐴))
33		bernneq2 10138	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ≤ ((1 / 𝐴)↑𝑀))
34	4, 23, 32, 33	syl3anc 1175	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ≤ ((1 / 𝐴)↑𝑀))
35	25, 3, 26	exprecapd 10157	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴)↑𝑀) = (1 / (𝐴↑𝑀)))
36	34, 35	breqtrd 3877	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) + 1) ≤ (1 / (𝐴↑𝑀)))
37	9, 22, 28, 29, 36	ltletrd 7964	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀) < (1 / (𝐴↑𝑀)))
38	21, 37	eqbrtrd 3873	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))) < (1 / (𝐴↑𝑀)))
39	12, 26	rpexpcld 10173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ+)
40	19	rpreccld 9247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)) ∈ ℝ+)
41	39, 40	ltrecd 9255	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) < (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)) ↔ (1 / (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀))) < (1 / (𝐴↑𝑀))))
42	38, 41	mpbird 166	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) < (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)))
43	6	recnd 7579	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℂ)
44	7	nncnd 8499	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
45	17	rpap0d 9242	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) # 0)
46	18	rpap0d 9242	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 # 0)
47	43, 44, 45, 46	recdivap2d 8338	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀) = (1 / (((1 / 𝐴) − 1) · 𝑀)))
48	42, 47	breqtrrd 3879	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) < ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1439   class class class wbr 3853  (class class class)co 5668  ℝcr 7412  0cc0 7413  1c1 7414   + caddc 7416   · cmul 7418   < clt 7585   ≤ cle 7586   − cmin 7716   / cdiv 8202  ℕcn 8485  ℕ₀cn0 8736  ↑cexp 10017

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-frec 6172  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-rp 9198  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemfm  10986