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Theorem resqrexlemcvg 10759
Description: Lemma for resqrex 10766. The sequence has a limit. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcvg (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑟 + 𝑥) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑖,𝐹,𝑗,𝑟,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑟   𝜑,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑖,𝑗,𝑟)   𝐹(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcvg
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . 4 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2 resqrexlemex.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemf 10747 . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
5 rpssre 9420 . . . 4 + ⊆ ℝ
65a1i 9 . . 3 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
74, 6fssd 5255 . 2 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
8 1nn 8699 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
98a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
104, 9ffvelrnd 5524 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ+)
11 2z 9050 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
1211a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
1310, 12rpexpcld 10416 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ+)
14 2rp 9414 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
1514a1i 9 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
1613, 15rpmulcld 9468 . . 3 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) · 2) ∈ ℝ+)
1716, 15rpmulcld 9468 . 2 (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) ∈ ℝ+)
184ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
19 simplr 504 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2018, 19ffvelrnd 5524 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ+)
2120rpred 9451 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
22 eluznn 9362 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2322adantll 467 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2418, 23ffvelrnd 5524 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
2524rpred 9451 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2621, 25resubcld 8111 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) − (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
2717ad2antrr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) ∈ ℝ+)
2814a1i 9 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 2 ∈ ℝ+)
2919nnzd 9140 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
3028, 29rpexpcld 10416 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
3127, 30rpdivcld 9469 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+)
3231rpred 9451 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
3319nnrpd 9450 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
3427, 33rpdivcld 9469 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛) ∈ ℝ+)
3534rpred 9451 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛) ∈ ℝ)
362ad2antrr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐴 ∈ ℝ)
373ad2antrr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 0 ≤ 𝐴)
38 eluzle 9306 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑛𝑘)
3938adantl 275 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛𝑘)
401, 36, 37, 19, 23, 39resqrexlemnm 10758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) − (𝐹𝑘)) < ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑛 − 1))))
41 2cn 8759 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
42 expm1t 10289 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) = ((2↑(𝑛 − 1)) · 2))
4341, 19, 42sylancr 410 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (2↑𝑛) = ((2↑(𝑛 − 1)) · 2))
4443oveq2d 5758 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / (2↑𝑛)) = (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / ((2↑(𝑛 − 1)) · 2)))
458a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 1 ∈ ℕ)
4618, 45ffvelrnd 5524 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹‘1) ∈ ℝ+)
4711a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 2 ∈ ℤ)
4846, 47rpexpcld 10416 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ+)
4948, 28rpmulcld 9468 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((𝐹‘1)↑2) · 2) ∈ ℝ+)
5049rpcnd 9453 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((𝐹‘1)↑2) · 2) ∈ ℂ)
5141a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 2 ∈ ℂ)
52 nnm1nn0 8986 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
5319, 52syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
5451, 53expcld 10392 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (2↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
55 2ap0 8781 . . . . . . . . . . . 12 2 # 0
5655a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 2 # 0)
57 1zzd 9049 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 1 ∈ ℤ)
5829, 57zsubcld 9146 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛 − 1) ∈ ℤ)
5951, 56, 58expap0d 10398 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (2↑(𝑛 − 1)) # 0)
6050, 54, 51, 59, 56divcanap5rd 8546 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / ((2↑(𝑛 − 1)) · 2)) = ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑛 − 1))))
6144, 60eqtrd 2150 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / (2↑𝑛)) = ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑛 − 1))))
6240, 61breqtrrd 3926 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) − (𝐹𝑘)) < (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / (2↑𝑛)))
63 uzid 9308 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
6411, 63ax-mp 5 . . . . . . . . 9 2 ∈ (ℤ‘2)
6519nnnn0d 8998 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
66 bernneq3 10382 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 < (2↑𝑛))
6764, 65, 66sylancr 410 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 < (2↑𝑛))
6833, 30, 27ltdiv2d 9475 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛 < (2↑𝑛) ↔ (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / (2↑𝑛)) < (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛)))
6967, 68mpbid 146 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / (2↑𝑛)) < (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛))
7026, 32, 35, 62, 69lttrd 7856 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) − (𝐹𝑘)) < (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛))
7121, 25, 35ltsubadd2d 8273 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((𝐹𝑛) − (𝐹𝑘)) < (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛))))
7270, 71mpbid 146 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛)))
7321, 35readdcld 7763 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛)) ∈ ℝ)
7425adantr 274 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 < 𝑘) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7521adantr 274 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 < 𝑘) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
7636adantr 274 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 < 𝑘) → 𝐴 ∈ ℝ)
7737adantr 274 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 < 𝑘) → 0 ≤ 𝐴)
7819adantr 274 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 < 𝑘) → 𝑛 ∈ ℕ)
7923adantr 274 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
80 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 < 𝑘) → 𝑛 < 𝑘)
811, 76, 77, 78, 79, 80resqrexlemdecn 10752 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 < 𝑘) → (𝐹𝑘) < (𝐹𝑛))
8274, 75, 81ltled 7849 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 < 𝑘) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹𝑛))
83 fveq2 5389 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
8483eqcomd 2123 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
85 eqle 7823 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛)) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹𝑛))
8625, 84, 85syl2an 287 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹𝑛))
8723nnzd 9140 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℤ)
88 zleloe 9069 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑛𝑘 ↔ (𝑛 < 𝑘𝑛 = 𝑘)))
8929, 87, 88syl2anc 408 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛𝑘 ↔ (𝑛 < 𝑘𝑛 = 𝑘)))
9039, 89mpbid 146 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛 < 𝑘𝑛 = 𝑘))
9182, 86, 90mpjaodan 772 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹𝑛))
9221, 34ltaddrpd 9485 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑛) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛)))
9325, 21, 73, 91, 92lelttrd 7855 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛)))
9472, 93jca 304 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛))))
9594ralrimiva 2482 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛))))
9695ralrimiva 2482 . 2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛))))
977, 17, 96cvg1n 10726 1 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑟 + 𝑥) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 682   = wceq 1316  wcel 1465  wral 2393  wrex 2394  wss 3041  {csn 3497   class class class wbr 3899   × cxp 4507  wf 5089  cfv 5093  (class class class)co 5742  cmpo 5744  cc 7586  cr 7587  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591   · cmul 7593   < clt 7768  cle 7769  cmin 7901   # cap 8311   / cdiv 8400  cn 8688  2c2 8739  0cn0 8945  cz 9022  cuz 9294  +crp 9409  seqcseq 10186  cexp 10260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-rp 9410  df-seqfrec 10187  df-exp 10261
This theorem is referenced by:  resqrexlemex  10765
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