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Theorem resqrexlemcvg 11012
Description: Lemma for resqrex 11019. The sequence has a limit. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcvg (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑟 + 𝑥) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑖,𝐹,𝑗,𝑟,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑟   𝜑,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑖,𝑗,𝑟)   𝐹(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcvg
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . 4 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2 resqrexlemex.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemf 11000 . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
5 rpssre 9651 . . . 4 + ⊆ ℝ
65a1i 9 . . 3 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
74, 6fssd 5374 . 2 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
8 1nn 8919 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
98a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
104, 9ffvelcdmd 5648 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ+)
11 2z 9270 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
1211a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
1310, 12rpexpcld 10663 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ+)
14 2rp 9645 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
1514a1i 9 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
1613, 15rpmulcld 9700 . . 3 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) · 2) ∈ ℝ+)
1716, 15rpmulcld 9700 . 2 (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) ∈ ℝ+)
184ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
19 simplr 528 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2018, 19ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ+)
2120rpred 9683 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
22 eluznn 9589 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2322adantll 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2418, 23ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
2524rpred 9683 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2621, 25resubcld 8328 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) − (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
2717ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) ∈ ℝ+)
2814a1i 9 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 2 ∈ ℝ+)
2919nnzd 9363 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
3028, 29rpexpcld 10663 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
3127, 30rpdivcld 9701 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+)
3231rpred 9683 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
3319nnrpd 9681 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
3427, 33rpdivcld 9701 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛) ∈ ℝ+)
3534rpred 9683 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛) ∈ ℝ)
362ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐴 ∈ ℝ)
373ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 0 ≤ 𝐴)
38 eluzle 9529 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑛𝑘)
3938adantl 277 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛𝑘)
401, 36, 37, 19, 23, 39resqrexlemnm 11011 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) − (𝐹𝑘)) < ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑛 − 1))))
41 2cn 8979 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
42 expm1t 10534 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) = ((2↑(𝑛 − 1)) · 2))
4341, 19, 42sylancr 414 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (2↑𝑛) = ((2↑(𝑛 − 1)) · 2))
4443oveq2d 5885 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / (2↑𝑛)) = (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / ((2↑(𝑛 − 1)) · 2)))
458a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 1 ∈ ℕ)
4618, 45ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹‘1) ∈ ℝ+)
4711a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 2 ∈ ℤ)
4846, 47rpexpcld 10663 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ+)
4948, 28rpmulcld 9700 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((𝐹‘1)↑2) · 2) ∈ ℝ+)
5049rpcnd 9685 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((𝐹‘1)↑2) · 2) ∈ ℂ)
5141a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 2 ∈ ℂ)
52 nnm1nn0 9206 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
5319, 52syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
5451, 53expcld 10639 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (2↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
55 2ap0 9001 . . . . . . . . . . . 12 2 # 0
5655a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 2 # 0)
57 1zzd 9269 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 1 ∈ ℤ)
5829, 57zsubcld 9369 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛 − 1) ∈ ℤ)
5951, 56, 58expap0d 10645 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (2↑(𝑛 − 1)) # 0)
6050, 54, 51, 59, 56divcanap5rd 8764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / ((2↑(𝑛 − 1)) · 2)) = ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑛 − 1))))
6144, 60eqtrd 2210 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / (2↑𝑛)) = ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑛 − 1))))
6240, 61breqtrrd 4028 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) − (𝐹𝑘)) < (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / (2↑𝑛)))
63 uzid 9531 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
6411, 63ax-mp 5 . . . . . . . . 9 2 ∈ (ℤ‘2)
6519nnnn0d 9218 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
66 bernneq3 10628 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 < (2↑𝑛))
6764, 65, 66sylancr 414 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 < (2↑𝑛))
6833, 30, 27ltdiv2d 9707 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛 < (2↑𝑛) ↔ (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / (2↑𝑛)) < (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛)))
6967, 68mpbid 147 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / (2↑𝑛)) < (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛))
7026, 32, 35, 62, 69lttrd 8073 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) − (𝐹𝑘)) < (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛))
7121, 25, 35ltsubadd2d 8490 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((𝐹𝑛) − (𝐹𝑘)) < (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛))))
7270, 71mpbid 147 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛)))
7321, 35readdcld 7977 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛)) ∈ ℝ)
7425adantr 276 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 < 𝑘) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7521adantr 276 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 < 𝑘) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
7636adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 < 𝑘) → 𝐴 ∈ ℝ)
7737adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 < 𝑘) → 0 ≤ 𝐴)
7819adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 < 𝑘) → 𝑛 ∈ ℕ)
7923adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
80 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 < 𝑘) → 𝑛 < 𝑘)
811, 76, 77, 78, 79, 80resqrexlemdecn 11005 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 < 𝑘) → (𝐹𝑘) < (𝐹𝑛))
8274, 75, 81ltled 8066 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 < 𝑘) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹𝑛))
83 fveq2 5511 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
8483eqcomd 2183 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
85 eqle 8039 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛)) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹𝑛))
8625, 84, 85syl2an 289 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹𝑛))
8723nnzd 9363 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℤ)
88 zleloe 9289 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑛𝑘 ↔ (𝑛 < 𝑘𝑛 = 𝑘)))
8929, 87, 88syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛𝑘 ↔ (𝑛 < 𝑘𝑛 = 𝑘)))
9039, 89mpbid 147 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛 < 𝑘𝑛 = 𝑘))
9182, 86, 90mpjaodan 798 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹𝑛))
9221, 34ltaddrpd 9717 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑛) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛)))
9325, 21, 73, 91, 92lelttrd 8072 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛)))
9472, 93jca 306 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛))))
9594ralrimiva 2550 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛))))
9695ralrimiva 2550 . 2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛))))
977, 17, 96cvg1n 10979 1 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑟 + 𝑥) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  wss 3129  {csn 3591   class class class wbr 4000   × cxp 4621  wf 5208  cfv 5212  (class class class)co 5869  cmpo 5871  cc 7800  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982  cle 7983  cmin 8118   # cap 8528   / cdiv 8618  cn 8908  2c2 8959  0cn0 9165  cz 9242  cuz 9517  +crp 9640  seqcseq 10431  cexp 10505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-seqfrec 10432  df-exp 10506
This theorem is referenced by:  resqrexlemex  11018
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