ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemcvg GIF version

Theorem resqrexlemcvg 11028
Description: Lemma for resqrex 11035. The sequence has a limit. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (β„• Γ— {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcvg (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (π‘Ÿ + π‘₯) ∧ π‘Ÿ < ((πΉβ€˜π‘–) + π‘₯)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑖,𝐹,𝑗,π‘Ÿ,π‘₯   πœ‘,𝑖,𝑗,π‘Ÿ   πœ‘,𝑦,𝑧   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑖,𝑗,π‘Ÿ)   𝐹(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcvg
Dummy variables π‘˜ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . 4 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (β„• Γ— {(1 + 𝐴)}))
2 resqrexlemex.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemf 11016 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„+)
5 rpssre 9664 . . . 4 ℝ+ βŠ† ℝ
65a1i 9 . . 3 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
74, 6fssd 5379 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
8 1nn 8930 . . . . . . 7 1 ∈ β„•
98a1i 9 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•)
104, 9ffvelcdmd 5653 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ+)
11 2z 9281 . . . . . 6 2 ∈ β„€
1211a1i 9 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„€)
1310, 12rpexpcld 10678 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜1)↑2) ∈ ℝ+)
14 2rp 9658 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
1514a1i 9 . . . 4 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ+)
1613, 15rpmulcld 9713 . . 3 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) ∈ ℝ+)
1716, 15rpmulcld 9713 . 2 (πœ‘ β†’ ((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) ∈ ℝ+)
184ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„+)
19 simplr 528 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2018, 19ffvelcdmd 5653 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ+)
2120rpred 9696 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
22 eluznn 9600 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
2322adantll 476 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
2418, 23ffvelcdmd 5653 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+)
2524rpred 9696 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2621, 25resubcld 8338 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
2717ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) ∈ ℝ+)
2814a1i 9 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 2 ∈ ℝ+)
2919nnzd 9374 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
3028, 29rpexpcld 10678 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
3127, 30rpdivcld 9714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+)
3231rpred 9696 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
3319nnrpd 9694 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
3427, 33rpdivcld 9714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) / 𝑛) ∈ ℝ+)
3534rpred 9696 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) / 𝑛) ∈ ℝ)
362ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
373ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 0 ≀ 𝐴)
38 eluzle 9540 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) β†’ 𝑛 ≀ π‘˜)
3938adantl 277 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑛 ≀ π‘˜)
401, 36, 37, 19, 23, 39resqrexlemnm 11027 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜)) < ((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) / (2↑(𝑛 βˆ’ 1))))
41 2cn 8990 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„‚
42 expm1t 10548 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑛) = ((2↑(𝑛 βˆ’ 1)) Β· 2))
4341, 19, 42sylancr 414 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (2↑𝑛) = ((2↑(𝑛 βˆ’ 1)) Β· 2))
4443oveq2d 5891 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) / (2↑𝑛)) = (((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) / ((2↑(𝑛 βˆ’ 1)) Β· 2)))
458a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 1 ∈ β„•)
4618, 45ffvelcdmd 5653 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ+)
4711a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 2 ∈ β„€)
4846, 47rpexpcld 10678 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜1)↑2) ∈ ℝ+)
4948, 28rpmulcld 9713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) ∈ ℝ+)
5049rpcnd 9698 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) ∈ β„‚)
5141a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 2 ∈ β„‚)
52 nnm1nn0 9217 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
5319, 52syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
5451, 53expcld 10654 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (2↑(𝑛 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
55 2ap0 9012 . . . . . . . . . . . 12 2 # 0
5655a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 2 # 0)
57 1zzd 9280 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 1 ∈ β„€)
5829, 57zsubcld 9380 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ β„€)
5951, 56, 58expap0d 10660 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (2↑(𝑛 βˆ’ 1)) # 0)
6050, 54, 51, 59, 56divcanap5rd 8775 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) / ((2↑(𝑛 βˆ’ 1)) Β· 2)) = ((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) / (2↑(𝑛 βˆ’ 1))))
6144, 60eqtrd 2210 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) / (2↑𝑛)) = ((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) / (2↑(𝑛 βˆ’ 1))))
6240, 61breqtrrd 4032 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜)) < (((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) / (2↑𝑛)))
63 uzid 9542 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ β„€ β†’ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
6411, 63ax-mp 5 . . . . . . . . 9 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)
6519nnnn0d 9229 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
66 bernneq3 10643 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 < (2↑𝑛))
6764, 65, 66sylancr 414 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑛 < (2↑𝑛))
6833, 30, 27ltdiv2d 9720 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (𝑛 < (2↑𝑛) ↔ (((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) / (2↑𝑛)) < (((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) / 𝑛)))
6967, 68mpbid 147 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) / (2↑𝑛)) < (((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) / 𝑛))
7026, 32, 35, 62, 69lttrd 8083 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜)) < (((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) / 𝑛))
7121, 25, 35ltsubadd2d 8500 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜)) < (((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) / 𝑛) ↔ (πΉβ€˜π‘›) < ((πΉβ€˜π‘˜) + (((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) / 𝑛))))
7270, 71mpbid 147 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) < ((πΉβ€˜π‘˜) + (((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) / 𝑛)))
7321, 35readdcld 7987 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) + (((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) / 𝑛)) ∈ ℝ)
7425adantr 276 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) ∧ 𝑛 < π‘˜) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
7521adantr 276 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) ∧ 𝑛 < π‘˜) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
7636adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) ∧ 𝑛 < π‘˜) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
7737adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) ∧ 𝑛 < π‘˜) β†’ 0 ≀ 𝐴)
7819adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) ∧ 𝑛 < π‘˜) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
7923adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) ∧ 𝑛 < π‘˜) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
80 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) ∧ 𝑛 < π‘˜) β†’ 𝑛 < π‘˜)
811, 76, 77, 78, 79, 80resqrexlemdecn 11021 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) ∧ 𝑛 < π‘˜) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) < (πΉβ€˜π‘›))
8274, 75, 81ltled 8076 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) ∧ 𝑛 < π‘˜) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜π‘›))
83 fveq2 5516 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘˜))
8483eqcomd 2183 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›))
85 eqle 8049 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜π‘›))
8625, 84, 85syl2an 289 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜π‘›))
8723nnzd 9374 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
88 zleloe 9300 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝑛 ≀ π‘˜ ↔ (𝑛 < π‘˜ ∨ 𝑛 = π‘˜)))
8929, 87, 88syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (𝑛 ≀ π‘˜ ↔ (𝑛 < π‘˜ ∨ 𝑛 = π‘˜)))
9039, 89mpbid 147 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (𝑛 < π‘˜ ∨ 𝑛 = π‘˜))
9182, 86, 90mpjaodan 798 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜π‘›))
9221, 34ltaddrpd 9730 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) < ((πΉβ€˜π‘›) + (((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) / 𝑛)))
9325, 21, 73, 91, 92lelttrd 8082 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) < ((πΉβ€˜π‘›) + (((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) / 𝑛)))
9472, 93jca 306 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) < ((πΉβ€˜π‘˜) + (((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) / 𝑛)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < ((πΉβ€˜π‘›) + (((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) / 𝑛))))
9594ralrimiva 2550 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((πΉβ€˜π‘›) < ((πΉβ€˜π‘˜) + (((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) / 𝑛)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < ((πΉβ€˜π‘›) + (((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) / 𝑛))))
9695ralrimiva 2550 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((πΉβ€˜π‘›) < ((πΉβ€˜π‘˜) + (((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) / 𝑛)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < ((πΉβ€˜π‘›) + (((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· 2) / 𝑛))))
977, 17, 96cvg1n 10995 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (π‘Ÿ + π‘₯) ∧ π‘Ÿ < ((πΉβ€˜π‘–) + π‘₯)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456   βŠ† wss 3130  {csn 3593   class class class wbr 4004   Γ— cxp 4625  βŸΆwf 5213  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875   ∈ cmpo 5877  β„‚cc 7809  β„cr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   Β· cmul 7816   < clt 7992   ≀ cle 7993   βˆ’ cmin 8128   # cap 8538   / cdiv 8629  β„•cn 8919  2c2 8970  β„•0cn0 9176  β„€cz 9253  β„€β‰₯cuz 9528  β„+crp 9653  seqcseq 10445  β†‘cexp 10519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-rp 9654  df-seqfrec 10446  df-exp 10520
This theorem is referenced by:  resqrexlemex  11034
  Copyright terms: Public domain W3C validator