ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  setsmstsetg GIF version

Theorem setsmstsetg 14606
Description: The topology of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 7-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x (𝜑𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d (𝜑𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k (𝜑𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
setsmsbasg.m (𝜑𝑀𝑉)
setsmsbasg.d (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ∈ 𝑊)
Assertion
Ref Expression
setsmstsetg (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopSet‘𝐾))

Proof of Theorem setsmstsetg
StepHypRef Expression
1 setsmsbasg.m . . 3 (𝜑𝑀𝑉)
2 setsmsbasg.d . . 3 (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ∈ 𝑊)
3 tsetslid 12779 . . . 4 (TopSet = Slot (TopSet‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ)
43setsslid 12643 . . 3 ((𝑀𝑉 ∧ (MetOpen‘𝐷) ∈ 𝑊) → (MetOpen‘𝐷) = (TopSet‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
51, 2, 4syl2anc 411 . 2 (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopSet‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
6 setsms.k . . 3 (𝜑𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
76fveq2d 5546 . 2 (𝜑 → (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
85, 7eqtr4d 2225 1 (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopSet‘𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1364  wcel 2160  cop 3617   × cxp 4649  cres 4653  cfv 5242  (class class class)co 5906  ndxcnx 12589   sSet csts 12590  Basecbs 12592  TopSetcts 12675  distcds 12678  MetOpencmopn 14001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-cnex 7949  ax-resscn 7950  ax-1re 7952  ax-addrcl 7955
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-nul 3443  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-id 4318  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fv 5250  df-ov 5909  df-oprab 5910  df-mpo 5911  df-inn 8969  df-2 9027  df-3 9028  df-4 9029  df-5 9030  df-6 9031  df-7 9032  df-8 9033  df-9 9034  df-ndx 12595  df-slot 12596  df-sets 12599  df-tset 12688
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator