Theorem setsmsdsg 15194

Description: The distance function of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
setsmsbasg.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
setsmsbasg.d	⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
setsmsdsg	⊢ (𝜑 → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))

Proof of Theorem setsmsdsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsmsbasg.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
2		setsmsbasg.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ∈ 𝑊)
3		dsslid 13290	. . . 4 ⊢ (dist = Slot (dist‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ∈ ℕ)
4		9re 9220	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
5		1nn 9144	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		2nn0 9409	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		9nn0 9416	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		9lt10 9731	. . . . . . 7 ⊢ 9 < ;10
9	5, 6, 7, 8	declti 9638	. . . . . 6 ⊢ 9 < ;12
10	4, 9	gtneii 8265	. . . . 5 ⊢ ;12 ≠ 9
11		dsndx 13288	. . . . . 6 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
12		tsetndx 13259	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
13	11, 12	neeq12i 2417	. . . . 5 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ 9)
14	10, 13	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
15		tsetslid 13261	. . . . 5 ⊢ (TopSet = Slot (TopSet‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ)
16	15	simpri 113	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ
17	3, 14, 16	setsslnid 13124	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (MetOpen‘𝐷) ∈ 𝑊) → (dist‘𝑀) = (dist‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
18	1, 2, 17	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑀) = (dist‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
19		setsms.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
20	19	fveq2d 5639	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
21	18, 20	eqtr4d 2265	1 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ⟨cop 3670   × cxp 4721   ↾ cres 4725  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  1c1 8023  ℕcn 9133  2c2 9184  9c9 9191  ;cdc 9601  ndxcnx 13069   sSet csts 13070  Slot cslot 13071  Basecbs 13072  TopSetcts 13156  distcds 13159  MetOpencmopn 14545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-9 9199  df-n0 9393  df-z 9470  df-dec 9602  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-sets 13079  df-tset 13169  df-ds 13172

This theorem is referenced by: (None)