Theorem setsmsdsg 15148

Description: The distance function of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
setsmsbasg.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
setsmsbasg.d	⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
setsmsdsg	⊢ (𝜑 → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))

Proof of Theorem setsmsdsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsmsbasg.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
2		setsmsbasg.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ∈ 𝑊)
3		dsslid 13245	. . . 4 ⊢ (dist = Slot (dist‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ∈ ℕ)
4		9re 9193	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
5		1nn 9117	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		2nn0 9382	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		9nn0 9389	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		9lt10 9704	. . . . . . 7 ⊢ 9 < ;10
9	5, 6, 7, 8	declti 9611	. . . . . 6 ⊢ 9 < ;12
10	4, 9	gtneii 8238	. . . . 5 ⊢ ;12 ≠ 9
11		dsndx 13243	. . . . . 6 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
12		tsetndx 13214	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
13	11, 12	neeq12i 2417	. . . . 5 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ 9)
14	10, 13	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
15		tsetslid 13216	. . . . 5 ⊢ (TopSet = Slot (TopSet‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ)
16	15	simpri 113	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ
17	3, 14, 16	setsslnid 13079	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (MetOpen‘𝐷) ∈ 𝑊) → (dist‘𝑀) = (dist‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
18	1, 2, 17	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑀) = (dist‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
19		setsms.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
20	19	fveq2d 5630	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
21	18, 20	eqtr4d 2265	1 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ⟨cop 3669   × cxp 4716   ↾ cres 4720  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  1c1 7996  ℕcn 9106  2c2 9157  9c9 9164  ;cdc 9574  ndxcnx 13024   sSet csts 13025  Slot cslot 13026  Basecbs 13027  TopSetcts 13111  distcds 13114  MetOpencmopn 14499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-9 9172  df-n0 9366  df-z 9443  df-dec 9575  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-sets 13034  df-tset 13124  df-ds 13127

This theorem is referenced by: (None)