Theorem setsmsdsg 15274

Description: The distance function of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
setsmsbasg.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
setsmsbasg.d	⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
setsmsdsg	⊢ (𝜑 → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))

Proof of Theorem setsmsdsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsmsbasg.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
2		setsmsbasg.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ∈ 𝑊)
3		dsslid 13363	. . . 4 ⊢ (dist = Slot (dist‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ∈ ℕ)
4		9re 9272	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
5		1nn 9196	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		2nn0 9461	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		9nn0 9468	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		9lt10 9785	. . . . . . 7 ⊢ 9 < ;10
9	5, 6, 7, 8	declti 9692	. . . . . 6 ⊢ 9 < ;12
10	4, 9	gtneii 8317	. . . . 5 ⊢ ;12 ≠ 9
11		dsndx 13361	. . . . . 6 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
12		tsetndx 13332	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
13	11, 12	neeq12i 2420	. . . . 5 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ 9)
14	10, 13	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
15		tsetslid 13334	. . . . 5 ⊢ (TopSet = Slot (TopSet‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ)
16	15	simpri 113	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ
17	3, 14, 16	setsslnid 13197	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (MetOpen‘𝐷) ∈ 𝑊) → (dist‘𝑀) = (dist‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
18	1, 2, 17	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑀) = (dist‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
19		setsms.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
20	19	fveq2d 5652	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
21	18, 20	eqtr4d 2267	1 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  ⟨cop 3676   × cxp 4729   ↾ cres 4733  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  1c1 8076  ℕcn 9185  2c2 9236  9c9 9243  ;cdc 9655  ndxcnx 13142   sSet csts 13143  Slot cslot 13144  Basecbs 13145  TopSetcts 13229  distcds 13232  MetOpencmopn 14620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-dec 9656  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-sets 13152  df-tset 13242  df-ds 13245

This theorem is referenced by: (None)