Theorem setsmsdsg 15210

Description: The distance function of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
setsmsbasg.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
setsmsbasg.d	⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
setsmsdsg	⊢ (𝜑 → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))

Proof of Theorem setsmsdsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsmsbasg.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
2		setsmsbasg.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ∈ 𝑊)
3		dsslid 13305	. . . 4 ⊢ (dist = Slot (dist‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ∈ ℕ)
4		9re 9230	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
5		1nn 9154	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		2nn0 9419	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		9nn0 9426	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		9lt10 9741	. . . . . . 7 ⊢ 9 < ;10
9	5, 6, 7, 8	declti 9648	. . . . . 6 ⊢ 9 < ;12
10	4, 9	gtneii 8275	. . . . 5 ⊢ ;12 ≠ 9
11		dsndx 13303	. . . . . 6 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
12		tsetndx 13274	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
13	11, 12	neeq12i 2419	. . . . 5 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ 9)
14	10, 13	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
15		tsetslid 13276	. . . . 5 ⊢ (TopSet = Slot (TopSet‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ)
16	15	simpri 113	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ
17	3, 14, 16	setsslnid 13139	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (MetOpen‘𝐷) ∈ 𝑊) → (dist‘𝑀) = (dist‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
18	1, 2, 17	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑀) = (dist‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
19		setsms.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
20	19	fveq2d 5643	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
21	18, 20	eqtr4d 2267	1 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  ⟨cop 3672   × cxp 4723   ↾ cres 4727  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  1c1 8033  ℕcn 9143  2c2 9194  9c9 9201  ;cdc 9611  ndxcnx 13084   sSet csts 13085  Slot cslot 13086  Basecbs 13087  TopSetcts 13171  distcds 13174  MetOpencmopn 14561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-sets 13094  df-tset 13184  df-ds 13187

This theorem is referenced by: (None)