ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1nen2 GIF version

Theorem 1nen2 6506
Description: One and two are not equinumerous. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
1nen2 ¬ 1𝑜 ≈ 2𝑜

Proof of Theorem 1nen2
StepHypRef Expression
1 1onn 6208 . . 3 1𝑜 ∈ ω
2 php5 6503 . . 3 (1𝑜 ∈ ω → ¬ 1𝑜 ≈ suc 1𝑜)
31, 2ax-mp 7 . 2 ¬ 1𝑜 ≈ suc 1𝑜
4 df-2o 6113 . . 3 2𝑜 = suc 1𝑜
54breq2i 3819 . 2 (1𝑜 ≈ 2𝑜 ↔ 1𝑜 ≈ suc 1𝑜)
63, 5mtbir 629 1 ¬ 1𝑜 ≈ 2𝑜
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 1434   class class class wbr 3811  suc csuc 4155  ωcom 4367  1𝑜c1o 6105  2𝑜c2o 6106  cen 6384
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-tr 3902  df-id 4083  df-iord 4156  df-on 4158  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4406  df-rel 4407  df-cnv 4408  df-co 4409  df-dm 4410  df-rn 4411  df-res 4412  df-ima 4413  df-iota 4933  df-fun 4970  df-fn 4971  df-f 4972  df-f1 4973  df-fo 4974  df-f1o 4975  df-fv 4976  df-1o 6112  df-2o 6113  df-er 6221  df-en 6387
This theorem is referenced by:  pm54.43  6720  pr2ne  6722  1nprm  10875
  Copyright terms: Public domain W3C validator