Theorem 1nen2 7166

Description: One and two are not equinumerous. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
1nen2	⊢ ¬ 1o ≈ 2o

Proof of Theorem 1nen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6797	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
2		php5 7163	. . 3 ⊢ (1o ∈ ω → ¬ 1o ≈ suc 1o)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ¬ 1o ≈ suc 1o
4		df-2o 6692	. . 3 ⊢ 2o = suc 1o
5	4	breq2i 4139	. 2 ⊢ (1o ≈ 2o ↔ 1o ≈ suc 1o)
6	3, 5	mtbir 682	1 ⊢ ¬ 1o ≈ 2o

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  suc csuc 4512  ωcom 4739  1_oc1o 6684  2_oc2o 6685   ≈ cen 7024

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027

This theorem is used by:  pm54.43  7542  pr2ne  7544  1nprm  12917  umgredgnlp  16598