Theorem 1nen2 6507

Description: One and two are not equinumerous. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
1nen2	⊢ ¬ 1𝑜 ≈ 2𝑜

Proof of Theorem 1nen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6209	. . 3 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
2		php5 6504	. . 3 ⊢ (1𝑜 ∈ ω → ¬ 1𝑜 ≈ suc 1𝑜)
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 ⊢ ¬ 1𝑜 ≈ suc 1𝑜
4		df-2o 6114	. . 3 ⊢ 2𝑜 = suc 1𝑜
5	4	breq2i 3819	. 2 ⊢ (1𝑜 ≈ 2𝑜 ↔ 1𝑜 ≈ suc 1𝑜)
6	3, 5	mtbir 629	1 ⊢ ¬ 1𝑜 ≈ 2𝑜

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 1434   class class class wbr 3811  suc csuc 4156  ωcom 4368  1_𝑜c1o 6106  2_𝑜c2o 6107   ≈ cen 6385

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-1o 6113  df-2o 6114  df-er 6222  df-en 6388

This theorem is referenced by:  pm54.43  6721  pr2ne  6723  1nprm  10876