Theorem cnfldbas 14126

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 8005	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 14124	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		baseslid 12745	. . 3 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
4		snsstp1 3773	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩}
5		ssun1 3327	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 3327	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7	5, 6	sstri 3193	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8		df-cnfld 14123	. . . . 5 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
9	7, 8	sseqtrri 3219	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3193	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strslfv 12733	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∪ cun 3155  {csn 3623  {ctp 3625  ⟨cop 3626   ∘ ccom 4668  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923   ∈ cmpo 5925  ℂcc 7879  1c1 7882   + caddc 7884   · cmul 7886   ≤ cle 8064   − cmin 8199  3c3 9044  ;cdc 9459  ∗ccj 11006  abscabs 11164  ndxcnx 12685  Basecbs 12688  +_gcplusg 12765  ._rcmulr 12766  *_𝑟cstv 12767  TopSetcts 12771  lecple 12772  distcds 12774  UnifSetcunif 12775  MetOpencmopn 14107  metUnifcmetu 14108  ℂ_fldccnfld 14122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-5 9054  df-6 9055  df-7 9056  df-8 9057  df-9 9058  df-n0 9252  df-z 9329  df-dec 9460  df-uz 9604  df-rp 9731  df-fz 10086  df-cj 11009  df-abs 11166  df-struct 12690  df-ndx 12691  df-slot 12692  df-base 12694  df-plusg 12778  df-mulr 12779  df-starv 12780  df-tset 12784  df-ple 12785  df-ds 12787  df-unif 12788  df-topgen 12941  df-bl 14112  df-mopn 14113  df-fg 14115  df-metu 14116  df-cnfld 14123

This theorem is referenced by:  cncrng  14135  cnfld0  14137  cnfld1  14138  cnfldneg  14139  cnfldplusf  14140  cnfldsub  14141  cnfldmulg  14142  cnfldexp  14143  cnsubmlem  14144  cnsubglem  14145  cnsubrglem  14146  gsumfzfsumlemm  14153  cnfldui  14155  zringbas  14162  zring0  14166  expghmap  14173  cnfldms  14782  cnfldtopn  14785  cnfldtopon  14786  dvply2g  15012  dvply2  15013