Theorem ennnfonelemss 12365

Description: Lemma for ennnfone 12380. We only add elements to 𝐻 as the index increases. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfonelemss.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemss	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑃 + 1)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁,𝑦   𝑃,𝑗,𝑥,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝑃(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2		ennnfonelemh.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
4		ennnfonelemh.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
5		ennnfonelemh.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
6		ennnfonelemh.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
7		ennnfonelemh.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
8		ennnfonelemss.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemp1 12361	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)), (𝐻‘𝑃), ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩})))
10	9	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)), (𝐻‘𝑃), ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩})))
11		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)))
12	11	iftrued 3533	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)), (𝐻‘𝑃), ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩})) = (𝐻‘𝑃))
13	10, 12	eqtrd 2203	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = (𝐻‘𝑃))
14		eqimss2 3202	. . 3 ⊢ ((𝐻‘(𝑃 + 1)) = (𝐻‘𝑃) → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑃 + 1)))
15	13, 14	syl 14	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑃 + 1)))
16		ssun1 3290	. . 3 ⊢ (𝐻‘𝑃) ⊆ ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩})
17	9	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)), (𝐻‘𝑃), ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩})))
18		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)))
19	18	iffalsed 3536	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)), (𝐻‘𝑃), ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩})) = ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩}))
20	17, 19	eqtrd 2203	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩}))
21	16, 20	sseqtrrid 3198	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑃 + 1)))
22	5	frechashgf1o 10384	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0
23		f1ocnv 5455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0 → ◡𝑁:ℕ0–1-1-onto→ω)
24		f1of 5442	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝑁:ℕ0–1-1-onto→ω → ◡𝑁:ℕ0⟶ω)
25	22, 23, 24	mp2b 8	. . . . . 6 ⊢ ◡𝑁:ℕ0⟶ω
26	25	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡𝑁:ℕ0⟶ω)
27	26, 8	ffvelrnd 5632	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑁‘𝑃) ∈ ω)
28	1, 2, 27	ennnfonelemdc 12354	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)))
29		exmiddc 831	. . 3 ⊢ (DECID (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)) → ((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)) ∨ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))))
30	28, 29	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)) ∨ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))))
31	15, 21, 30	mpjaodan 793	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑃 + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  ∀wral 2448  ∃wrex 2449   ∪ cun 3119   ⊆ wss 3121  ∅c0 3414  ifcif 3526  {csn 3583  ⟨cop 3586   ↦ cmpt 4050  suc csuc 4350  ωcom 4574  ^◡ccnv 4610  dom cdm 4611   “ cima 4614  ⟶wf 5194  –onto→wfo 5196  –1-1-onto→wf1o 5197  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853   ∈ cmpo 5855  freccfrec 6369   ↑_pm cpm 6627  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   − cmin 8090  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212  seqcseq 10401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pm 6629  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-seqfrec 10402

This theorem is referenced by:  ennnfoneleminc  12366