Theorem ennnfonelemss 13279

Description: Lemma for ennnfone 13294. We only add elements to 𝐻 as the index increases. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfonelemss.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemss	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑃 + 1)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁,𝑦   𝑃,𝑗,𝑥,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝑃(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2		ennnfonelemh.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
4		ennnfonelemh.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
5		ennnfonelemh.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
6		ennnfonelemh.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
7		ennnfonelemh.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
8		ennnfonelemss.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemp1 13275	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)), (𝐻‘𝑃), ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩})))
10	9	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)), (𝐻‘𝑃), ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩})))
11		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)))
12	11	iftrued 3644	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)), (𝐻‘𝑃), ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩})) = (𝐻‘𝑃))
13	10, 12	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = (𝐻‘𝑃))
14		eqimss2 3303	. . 3 ⊢ ((𝐻‘(𝑃 + 1)) = (𝐻‘𝑃) → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑃 + 1)))
15	13, 14	syl 14	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑃 + 1)))
16		ssun1 3392	. . 3 ⊢ (𝐻‘𝑃) ⊆ ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩})
17	9	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)), (𝐻‘𝑃), ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩})))
18		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)))
19	18	iffalsed 3647	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)), (𝐻‘𝑃), ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩})) = ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩}))
20	17, 19	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩}))
21	16, 20	sseqtrrid 3299	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑃 + 1)))
22	5	frechashgf1o 10843	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0
23		f1ocnv 5647	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0 → ◡𝑁:ℕ0–1-1-onto→ω)
24		f1of 5634	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝑁:ℕ0–1-1-onto→ω → ◡𝑁:ℕ0⟶ω)
25	22, 23, 24	mp2b 8	. . . . . 6 ⊢ ◡𝑁:ℕ0⟶ω
26	25	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡𝑁:ℕ0⟶ω)
27	26, 8	ffvelcdmd 5835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑁‘𝑃) ∈ ω)
28	1, 2, 27	ennnfonelemdc 13268	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)))
29		exmiddc 848	. . 3 ⊢ (DECID (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)) → ((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)) ∨ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))))
30	28, 29	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)) ∨ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))))
31	15, 21, 30	mpjaodan 810	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑃 + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  ifcif 3635  {csn 3705  ⟨cop 3708   ↦ cmpt 4187  suc csuc 4505  ωcom 4732  ^◡ccnv 4768  dom cdm 4769   “ cima 4772  ⟶wf 5368  –onto→wfo 5370  –1-1-onto→wf1o 5371  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075   ∈ cmpo 6077  freccfrec 6651   ↑_pm cpm 6913  0cc0 8169  1c1 8170   + caddc 8172   − cmin 8487  ℕ₀cn0 9542  ℤcz 9623  seqcseq 10862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pm 6915  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-seqfrec 10863

This theorem is referenced by:  ennnfoneleminc  13280