Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelemss GIF version

Theorem ennnfonelemss 12111
 Description: Lemma for ennnfone 12126. We only add elements to 𝐻 as the index increases. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
ennnfonelemh.ne (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
ennnfonelemh.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfonelemss.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemss (𝜑 → (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑃 + 1)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁,𝑦   𝑃,𝑗,𝑥,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝑃(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemss
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemh.dceq . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2 ennnfonelemh.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
3 ennnfonelemh.ne . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
4 ennnfonelemh.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
5 ennnfonelemh.n . . . . . 6 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
6 ennnfonelemh.j . . . . . 6 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
7 ennnfonelemh.h . . . . . 6 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
8 ennnfonelemss.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ennnfonelemp1 12107 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = if((𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃)), (𝐻𝑃), ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩})))
109adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃))) → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = if((𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃)), (𝐻𝑃), ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩})))
11 simpr 109 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃))) → (𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃)))
1211iftrued 3512 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃))) → if((𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃)), (𝐻𝑃), ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩})) = (𝐻𝑃))
1310, 12eqtrd 2190 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃))) → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = (𝐻𝑃))
14 eqimss2 3183 . . 3 ((𝐻‘(𝑃 + 1)) = (𝐻𝑃) → (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑃 + 1)))
1513, 14syl 14 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃))) → (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑃 + 1)))
16 ssun1 3270 . . 3 (𝐻𝑃) ⊆ ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩})
179adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃))) → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = if((𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃)), (𝐻𝑃), ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩})))
18 simpr 109 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃))) → ¬ (𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃)))
1918iffalsed 3515 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃))) → if((𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃)), (𝐻𝑃), ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩})) = ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩}))
2017, 19eqtrd 2190 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃))) → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩}))
2116, 20sseqtrrid 3179 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃))) → (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑃 + 1)))
225frechashgf1o 10309 . . . . . . 7 𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0
23 f1ocnv 5424 . . . . . . 7 (𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0𝑁:ℕ01-1-onto→ω)
24 f1of 5411 . . . . . . 7 (𝑁:ℕ01-1-onto→ω → 𝑁:ℕ0⟶ω)
2522, 23, 24mp2b 8 . . . . . 6 𝑁:ℕ0⟶ω
2625a1i 9 . . . . 5 (𝜑𝑁:ℕ0⟶ω)
2726, 8ffvelrnd 5600 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑃) ∈ ω)
281, 2, 27ennnfonelemdc 12100 . . 3 (𝜑DECID (𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃)))
29 exmiddc 822 . . 3 (DECID (𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃)) → ((𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃)) ∨ ¬ (𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃))))
3028, 29syl 14 . 2 (𝜑 → ((𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃)) ∨ ¬ (𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃))))
3115, 21, 30mpjaodan 788 1 (𝜑 → (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑃 + 1)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   ≠ wne 2327  ∀wral 2435  ∃wrex 2436   ∪ cun 3100   ⊆ wss 3102  ∅c0 3394  ifcif 3505  {csn 3560  ⟨cop 3563   ↦ cmpt 4025  suc csuc 4324  ωcom 4547  ◡ccnv 4582  dom cdm 4583   “ cima 4586  ⟶wf 5163  –onto→wfo 5165  –1-1-onto→wf1o 5166  ‘cfv 5167  (class class class)co 5818   ∈ cmpo 5820  freccfrec 6331   ↑pm cpm 6587  0cc0 7715  1c1 7716   + caddc 7718   − cmin 8029  ℕ0cn0 9073  ℤcz 9150  seqcseq 10326 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-addcom 7815  ax-addass 7817  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-ltadd 7831 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-pm 6589  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-inn 8817  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-seqfrec 10327 This theorem is referenced by:  ennnfoneleminc  12112
 Copyright terms: Public domain W3C validator