Theorem fsumsplit 12118

Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplit.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
fsumsplit.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
fsumsplit.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
fsumsplit.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplit	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑈,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplit

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 3386	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
2		fsumsplit.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
3	1, 2	sseqtrrid 3293	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑈)
4		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	orcd 741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
6		fsumsplit.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
7		disjel 3567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
8	7	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
9	8	con2d 629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → (𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
10	9	imp 124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
11	6, 10	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
12	11	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
13	12	olcd 742	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
14	2	eleq2d 2304	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
15	14	biimpa 296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
16		elun 3364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
17	15, 16	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
18	5, 13, 17	mpjaodan 806	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
19		df-dc 843	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
20	18, 19	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
21	20	ralrimiva 2617	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
22	3	sselda 3242	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑈)
23		fsumsplit.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
24	22, 23	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
25	24	ralrimiva 2617	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
26		fsumsplit.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
27	26	olcd 742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘0)DECID 𝑥 ∈ 𝑈) ∨ 𝑈 ∈ Fin))
28	3, 21, 25, 27	isumss2 12104	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
29		ssun2 3387	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
30	29, 2	sseqtrrid 3293	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑈)
31	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
32	31, 7	sylancom 420	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
33	32	olcd 742	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
34	17	orcanai 936	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
35	34	orcd 741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
36	33, 35, 18	mpjaodan 806	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
37		df-dc 843	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
38	36, 37	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → DECID 𝑥 ∈ 𝐵)
39	38	ralrimiva 2617	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 DECID 𝑥 ∈ 𝐵)
40	30	sselda 3242	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝑈)
41	40, 23	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
42	41	ralrimiva 2617	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
43	30, 39, 42, 27	isumss2 12104	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
44	28, 43	oveq12d 6076	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
45		0cnd 8283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 0 ∈ ℂ)
46		eleq1w 2295	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
47	46	dcbid 846	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑘 ∈ 𝐴))
48	21	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
49		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝑘 ∈ 𝑈)
50	47, 48, 49	rspcdva 2928	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
51	23, 45, 50	ifcldcd 3664	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
52		eleq1w 2295	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
53	52	dcbid 846	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ DECID 𝑘 ∈ 𝐵))
54	39	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 DECID 𝑥 ∈ 𝐵)
55	53, 54, 49	rspcdva 2928	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → DECID 𝑘 ∈ 𝐵)
56	23, 45, 55	ifcldcd 3664	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
57	26, 51, 56	fsumadd 12117	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
58	2	eleq2d 2304	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
59		elun 3364	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
60	58, 59	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)))
61	60	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
62		iftrue 3631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
63	62	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
64		noel 3516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
65	6	eleq2d 2304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
66		elin 3406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
67	65, 66	bitr3di 195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ∅ ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
68	64, 67	mtbii 681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
69		imnan 697	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
70	68, 69	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵))
71	70	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵)
72	71	iffalsed 3636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 0)
73	63, 72	oveq12d 6076	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (𝐶 + 0))
74	24	addridd 8438	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 + 0) = 𝐶)
75	73, 74	eqtrd 2267	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
76	70	con2d 629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
77	76	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)
78	77	iffalsed 3636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
79		iftrue 3631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
80	79	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
81	78, 80	oveq12d 6076	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + 𝐶))
82	41	addlidd 8439	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (0 + 𝐶) = 𝐶)
83	81, 82	eqtrd 2267	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
84	75, 83	jaodan 805	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
85	61, 84	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
86	85	sumeq2dv 12078	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐶)
87	44, 57, 86	3eqtr2rd 2274	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716  DECID wdc 842   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522   ∪ cun 3212   ∩ cin 3213   ⊆ wss 3214  ∅c0 3512  ifcif 3624  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Fincfn 6988  ℂcc 8141  0cc0 8143   + caddc 8146  ℤcz 9594  ℤ_≥cuz 9871  Σcsu 12063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-ihash 11164  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-sumdc 12064

This theorem is referenced by:  fsumsplitf  12119  sumpr  12124  sumtp  12125  fsumm1  12127  fsum1p  12129  fsumsplitsnun  12130  fsum2dlemstep  12145  fsumconst  12165  fsumlessfi  12171  fsumabs  12176  fsumiun  12188  mertenslemi1  12246  bitsinv1  12673  fsumcncntop  15544  dvmptfsum  15702  perfectlem2  15980  lgsquadlem2  16063  cvgcmp2nlemabs  16928