Theorem fsumsplit 11904

Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplit.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
fsumsplit.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
fsumsplit.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
fsumsplit.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplit	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑈,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplit

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 3367	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
2		fsumsplit.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
3	1, 2	sseqtrrid 3275	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑈)
4		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	orcd 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
6		fsumsplit.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
7		disjel 3546	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
8	7	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
9	8	con2d 627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → (𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
10	9	imp 124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
11	6, 10	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
12	11	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
13	12	olcd 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
14	2	eleq2d 2299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
15	14	biimpa 296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
16		elun 3345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
17	15, 16	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
18	5, 13, 17	mpjaodan 803	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
19		df-dc 840	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
20	18, 19	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
21	20	ralrimiva 2603	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
22	3	sselda 3224	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑈)
23		fsumsplit.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
24	22, 23	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
25	24	ralrimiva 2603	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
26		fsumsplit.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
27	26	olcd 739	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘0)DECID 𝑥 ∈ 𝑈) ∨ 𝑈 ∈ Fin))
28	3, 21, 25, 27	isumss2 11890	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
29		ssun2 3368	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
30	29, 2	sseqtrrid 3275	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑈)
31	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
32	31, 7	sylancom 420	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
33	32	olcd 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
34	17	orcanai 933	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
35	34	orcd 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
36	33, 35, 18	mpjaodan 803	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
37		df-dc 840	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
38	36, 37	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → DECID 𝑥 ∈ 𝐵)
39	38	ralrimiva 2603	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 DECID 𝑥 ∈ 𝐵)
40	30	sselda 3224	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝑈)
41	40, 23	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
42	41	ralrimiva 2603	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
43	30, 39, 42, 27	isumss2 11890	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
44	28, 43	oveq12d 6012	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
45		0cnd 8127	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 0 ∈ ℂ)
46		eleq1w 2290	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
47	46	dcbid 843	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑘 ∈ 𝐴))
48	21	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
49		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝑘 ∈ 𝑈)
50	47, 48, 49	rspcdva 2912	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
51	23, 45, 50	ifcldcd 3640	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
52		eleq1w 2290	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
53	52	dcbid 843	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ DECID 𝑘 ∈ 𝐵))
54	39	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 DECID 𝑥 ∈ 𝐵)
55	53, 54, 49	rspcdva 2912	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → DECID 𝑘 ∈ 𝐵)
56	23, 45, 55	ifcldcd 3640	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
57	26, 51, 56	fsumadd 11903	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
58	2	eleq2d 2299	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
59		elun 3345	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
60	58, 59	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)))
61	60	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
62		iftrue 3607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
63	62	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
64		noel 3495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
65	6	eleq2d 2299	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
66		elin 3387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
67	65, 66	bitr3di 195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ∅ ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
68	64, 67	mtbii 678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
69		imnan 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
70	68, 69	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵))
71	70	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵)
72	71	iffalsed 3612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 0)
73	63, 72	oveq12d 6012	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (𝐶 + 0))
74	24	addridd 8283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 + 0) = 𝐶)
75	73, 74	eqtrd 2262	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
76	70	con2d 627	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
77	76	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)
78	77	iffalsed 3612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
79		iftrue 3607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
80	79	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
81	78, 80	oveq12d 6012	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + 𝐶))
82	41	addlidd 8284	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (0 + 𝐶) = 𝐶)
83	81, 82	eqtrd 2262	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
84	75, 83	jaodan 802	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
85	61, 84	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
86	85	sumeq2dv 11865	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐶)
87	44, 57, 86	3eqtr2rd 2269	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713  DECID wdc 839   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ∪ cun 3195   ∩ cin 3196   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491  ifcif 3602  ‘cfv 5314  (class class class)co 5994  Fincfn 6877  ℂcc 7985  0cc0 7987   + caddc 7990  ℤcz 9434  ℤ_≥cuz 9710  Σcsu 11850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-isom 5323  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-irdg 6506  df-frec 6527  df-1o 6552  df-oadd 6556  df-er 6670  df-en 6878  df-dom 6879  df-fin 6880  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-ihash 10985  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-clim 11776  df-sumdc 11851

This theorem is referenced by:  fsumsplitf  11905  sumpr  11910  sumtp  11911  fsumm1  11913  fsum1p  11915  fsumsplitsnun  11916  fsum2dlemstep  11931  fsumconst  11951  fsumlessfi  11957  fsumabs  11962  fsumiun  11974  mertenslemi1  12032  bitsinv1  12459  fsumcncntop  15226  dvmptfsum  15384  perfectlem2  15659  lgsquadlem2  15742  cvgcmp2nlemabs  16331