ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumsplit GIF version

Theorem fsumsplit 11116
Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplit.1 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
fsumsplit.2 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
fsumsplit.3 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
fsumsplit.4 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumsplit (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑈,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplit
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssun1 3207 . . . . 5 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
2 fsumsplit.2 . . . . 5 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
31, 2sseqtrrid 3116 . . . 4 (𝜑𝐴𝑈)
4 simpr 109 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
54orcd 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐴 ∨ ¬ 𝑥𝐴))
6 fsumsplit.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
7 disjel 3385 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑥𝐵)
87ex 114 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐵) = ∅ → (𝑥𝐴 → ¬ 𝑥𝐵))
98con2d 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵) = ∅ → (𝑥𝐵 → ¬ 𝑥𝐴))
109imp 123 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝑥𝐵) → ¬ 𝑥𝐴)
116, 10sylan 279 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → ¬ 𝑥𝐴)
1211adantlr 466 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → ¬ 𝑥𝐴)
1312olcd 706 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝐴 ∨ ¬ 𝑥𝐴))
142eleq2d 2185 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝐴𝐵)))
1514biimpa 292 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
16 elun 3185 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
1715, 16sylib 121 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑈) → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
185, 13, 17mpjaodan 770 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑈) → (𝑥𝐴 ∨ ¬ 𝑥𝐴))
19 df-dc 803 . . . . . 6 (DECID 𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝐴 ∨ ¬ 𝑥𝐴))
2018, 19sylibr 133 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑈) → DECID 𝑥𝐴)
2120ralrimiva 2480 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑈 DECID 𝑥𝐴)
223sselda 3065 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝑈)
23 fsumsplit.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
2422, 23syldan 278 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2524ralrimiva 2480 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
26 fsumsplit.3 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
2726olcd 706 . . . 4 (𝜑 → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ⊆ (ℤ‘0) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ‘0)DECID 𝑥𝑈) ∨ 𝑈 ∈ Fin))
283, 21, 25, 27isumss2 11102 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
29 ssun2 3208 . . . . 5 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
3029, 2sseqtrrid 3116 . . . 4 (𝜑𝐵𝑈)
316ad2antrr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐴𝐵) = ∅)
3231, 7sylancom 414 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑥𝐵)
3332olcd 706 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐵 ∨ ¬ 𝑥𝐵))
3417orcanai 896 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
3534orcd 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐵 ∨ ¬ 𝑥𝐵))
3633, 35, 18mpjaodan 770 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑈) → (𝑥𝐵 ∨ ¬ 𝑥𝐵))
37 df-dc 803 . . . . . 6 (DECID 𝑥𝐵 ↔ (𝑥𝐵 ∨ ¬ 𝑥𝐵))
3836, 37sylibr 133 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑈) → DECID 𝑥𝐵)
3938ralrimiva 2480 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑈 DECID 𝑥𝐵)
4030sselda 3065 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑘𝑈)
4140, 23syldan 278 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
4241ralrimiva 2480 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
4330, 39, 42, 27isumss2 11102 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
4428, 43oveq12d 5758 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶) = (Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
45 0cnd 7723 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → 0 ∈ ℂ)
46 eleq1w 2176 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝑥𝐴𝑘𝐴))
4746dcbid 806 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (DECID 𝑥𝐴DECID 𝑘𝐴))
4821adantr 272 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑈) → ∀𝑥𝑈 DECID 𝑥𝐴)
49 simpr 109 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝑈)
5047, 48, 49rspcdva 2766 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → DECID 𝑘𝐴)
5123, 45, 50ifcldcd 3475 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
52 eleq1w 2176 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝑥𝐵𝑘𝐵))
5352dcbid 806 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (DECID 𝑥𝐵DECID 𝑘𝐵))
5439adantr 272 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑈) → ∀𝑥𝑈 DECID 𝑥𝐵)
5553, 54, 49rspcdva 2766 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → DECID 𝑘𝐵)
5623, 45, 55ifcldcd 3475 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
5726, 51, 56fsumadd 11115 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
582eleq2d 2185 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝑈𝑘 ∈ (𝐴𝐵)))
59 elun 3185 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
6058, 59syl6bb 195 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑈 ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
6160biimpa 292 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑘𝐴𝑘𝐵))
62 iftrue 3447 . . . . . . . 8 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
6362adantl 273 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
64 noel 3335 . . . . . . . . . . 11 ¬ 𝑘 ∈ ∅
65 elin 3227 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
666eleq2d 2185 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
6765, 66syl5rbbr 194 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘 ∈ ∅ ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
6864, 67mtbii 646 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
69 imnan 662 . . . . . . . . . 10 ((𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵) ↔ ¬ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
7068, 69sylibr 133 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵))
7170imp 123 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝑘𝐵)
7271iffalsed 3452 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 0)
7363, 72oveq12d 5758 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (𝐶 + 0))
7424addid1d 7875 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶 + 0) = 𝐶)
7573, 74eqtrd 2148 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
7670con2d 596 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐵 → ¬ 𝑘𝐴))
7776imp 123 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → ¬ 𝑘𝐴)
7877iffalsed 3452 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 0)
79 iftrue 3447 . . . . . . . 8 (𝑘𝐵 → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
8079adantl 273 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
8178, 80oveq12d 5758 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + 𝐶))
8241addid2d 7876 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → (0 + 𝐶) = 𝐶)
8381, 82eqtrd 2148 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
8475, 83jaodan 769 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑘𝐵)) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
8561, 84syldan 278 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
8685sumeq2dv 11077 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = Σ𝑘𝑈 𝐶)
8744, 57, 863eqtr2rd 2155 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 680  DECID wdc 802  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463  wral 2391  cun 3037  cin 3038  wss 3039  c0 3331  ifcif 3442  cfv 5091  (class class class)co 5740  Fincfn 6600  cc 7582  0cc0 7584   + caddc 7587  cz 9005  cuz 9275  Σcsu 11062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-ihash 10462  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-clim 10988  df-sumdc 11063
This theorem is referenced by:  fsumsplitf  11117  sumpr  11122  sumtp  11123  fsumm1  11125  fsum1p  11127  fsumsplitsnun  11128  fsum2dlemstep  11143  fsumconst  11163  fsumlessfi  11169  fsumabs  11174  fsumiun  11186  mertenslemi1  11244  fsumcncntop  12620  cvgcmp2nlemabs  13029
  Copyright terms: Public domain W3C validator