ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumsplit GIF version

Theorem fsumsplit 11370
Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplit.1 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
fsumsplit.2 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
fsumsplit.3 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
fsumsplit.4 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumsplit (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑈,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplit
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssun1 3290 . . . . 5 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
2 fsumsplit.2 . . . . 5 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
31, 2sseqtrrid 3198 . . . 4 (𝜑𝐴𝑈)
4 simpr 109 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
54orcd 728 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐴 ∨ ¬ 𝑥𝐴))
6 fsumsplit.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
7 disjel 3469 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑥𝐵)
87ex 114 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐵) = ∅ → (𝑥𝐴 → ¬ 𝑥𝐵))
98con2d 619 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵) = ∅ → (𝑥𝐵 → ¬ 𝑥𝐴))
109imp 123 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝑥𝐵) → ¬ 𝑥𝐴)
116, 10sylan 281 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → ¬ 𝑥𝐴)
1211adantlr 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → ¬ 𝑥𝐴)
1312olcd 729 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝐴 ∨ ¬ 𝑥𝐴))
142eleq2d 2240 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝐴𝐵)))
1514biimpa 294 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
16 elun 3268 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
1715, 16sylib 121 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑈) → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
185, 13, 17mpjaodan 793 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑈) → (𝑥𝐴 ∨ ¬ 𝑥𝐴))
19 df-dc 830 . . . . . 6 (DECID 𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝐴 ∨ ¬ 𝑥𝐴))
2018, 19sylibr 133 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑈) → DECID 𝑥𝐴)
2120ralrimiva 2543 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑈 DECID 𝑥𝐴)
223sselda 3147 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝑈)
23 fsumsplit.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
2422, 23syldan 280 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2524ralrimiva 2543 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
26 fsumsplit.3 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
2726olcd 729 . . . 4 (𝜑 → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ⊆ (ℤ‘0) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ‘0)DECID 𝑥𝑈) ∨ 𝑈 ∈ Fin))
283, 21, 25, 27isumss2 11356 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
29 ssun2 3291 . . . . 5 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
3029, 2sseqtrrid 3198 . . . 4 (𝜑𝐵𝑈)
316ad2antrr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐴𝐵) = ∅)
3231, 7sylancom 418 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑥𝐵)
3332olcd 729 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐵 ∨ ¬ 𝑥𝐵))
3417orcanai 923 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
3534orcd 728 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐵 ∨ ¬ 𝑥𝐵))
3633, 35, 18mpjaodan 793 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑈) → (𝑥𝐵 ∨ ¬ 𝑥𝐵))
37 df-dc 830 . . . . . 6 (DECID 𝑥𝐵 ↔ (𝑥𝐵 ∨ ¬ 𝑥𝐵))
3836, 37sylibr 133 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑈) → DECID 𝑥𝐵)
3938ralrimiva 2543 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑈 DECID 𝑥𝐵)
4030sselda 3147 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑘𝑈)
4140, 23syldan 280 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
4241ralrimiva 2543 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
4330, 39, 42, 27isumss2 11356 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
4428, 43oveq12d 5871 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶) = (Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
45 0cnd 7913 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → 0 ∈ ℂ)
46 eleq1w 2231 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝑥𝐴𝑘𝐴))
4746dcbid 833 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (DECID 𝑥𝐴DECID 𝑘𝐴))
4821adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑈) → ∀𝑥𝑈 DECID 𝑥𝐴)
49 simpr 109 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝑈)
5047, 48, 49rspcdva 2839 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → DECID 𝑘𝐴)
5123, 45, 50ifcldcd 3561 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
52 eleq1w 2231 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝑥𝐵𝑘𝐵))
5352dcbid 833 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (DECID 𝑥𝐵DECID 𝑘𝐵))
5439adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑈) → ∀𝑥𝑈 DECID 𝑥𝐵)
5553, 54, 49rspcdva 2839 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → DECID 𝑘𝐵)
5623, 45, 55ifcldcd 3561 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
5726, 51, 56fsumadd 11369 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
582eleq2d 2240 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝑈𝑘 ∈ (𝐴𝐵)))
59 elun 3268 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
6058, 59bitrdi 195 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑈 ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
6160biimpa 294 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑘𝐴𝑘𝐵))
62 iftrue 3531 . . . . . . . 8 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
6362adantl 275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
64 noel 3418 . . . . . . . . . . 11 ¬ 𝑘 ∈ ∅
656eleq2d 2240 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
66 elin 3310 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
6765, 66bitr3di 194 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘 ∈ ∅ ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
6864, 67mtbii 669 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
69 imnan 685 . . . . . . . . . 10 ((𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵) ↔ ¬ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
7068, 69sylibr 133 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵))
7170imp 123 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝑘𝐵)
7271iffalsed 3536 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 0)
7363, 72oveq12d 5871 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (𝐶 + 0))
7424addid1d 8068 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶 + 0) = 𝐶)
7573, 74eqtrd 2203 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
7670con2d 619 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐵 → ¬ 𝑘𝐴))
7776imp 123 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → ¬ 𝑘𝐴)
7877iffalsed 3536 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 0)
79 iftrue 3531 . . . . . . . 8 (𝑘𝐵 → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
8079adantl 275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
8178, 80oveq12d 5871 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + 𝐶))
8241addid2d 8069 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → (0 + 𝐶) = 𝐶)
8381, 82eqtrd 2203 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
8475, 83jaodan 792 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑘𝐵)) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
8561, 84syldan 280 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
8685sumeq2dv 11331 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = Σ𝑘𝑈 𝐶)
8744, 57, 863eqtr2rd 2210 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 703  DECID wdc 829  w3a 973   = wceq 1348  wcel 2141  wral 2448  cun 3119  cin 3120  wss 3121  c0 3414  ifcif 3526  cfv 5198  (class class class)co 5853  Fincfn 6718  cc 7772  0cc0 7774   + caddc 7777  cz 9212  cuz 9487  Σcsu 11316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317
This theorem is referenced by:  fsumsplitf  11371  sumpr  11376  sumtp  11377  fsumm1  11379  fsum1p  11381  fsumsplitsnun  11382  fsum2dlemstep  11397  fsumconst  11417  fsumlessfi  11423  fsumabs  11428  fsumiun  11440  mertenslemi1  11498  fsumcncntop  13350  cvgcmp2nlemabs  14064
  Copyright terms: Public domain W3C validator