Theorem fsumsplit 11574

Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplit.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
fsumsplit.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
fsumsplit.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
fsumsplit.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplit	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑈,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplit

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 3327	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
2		fsumsplit.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
3	1, 2	sseqtrrid 3235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑈)
4		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	orcd 734	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
6		fsumsplit.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
7		disjel 3506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
8	7	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
9	8	con2d 625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → (𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
10	9	imp 124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
11	6, 10	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
12	11	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
13	12	olcd 735	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
14	2	eleq2d 2266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
15	14	biimpa 296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
16		elun 3305	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
17	15, 16	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
18	5, 13, 17	mpjaodan 799	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
19		df-dc 836	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
20	18, 19	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
21	20	ralrimiva 2570	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
22	3	sselda 3184	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑈)
23		fsumsplit.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
24	22, 23	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
25	24	ralrimiva 2570	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
26		fsumsplit.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
27	26	olcd 735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘0)DECID 𝑥 ∈ 𝑈) ∨ 𝑈 ∈ Fin))
28	3, 21, 25, 27	isumss2 11560	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
29		ssun2 3328	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
30	29, 2	sseqtrrid 3235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑈)
31	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
32	31, 7	sylancom 420	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
33	32	olcd 735	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
34	17	orcanai 929	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
35	34	orcd 734	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
36	33, 35, 18	mpjaodan 799	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
37		df-dc 836	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
38	36, 37	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → DECID 𝑥 ∈ 𝐵)
39	38	ralrimiva 2570	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 DECID 𝑥 ∈ 𝐵)
40	30	sselda 3184	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝑈)
41	40, 23	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
42	41	ralrimiva 2570	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
43	30, 39, 42, 27	isumss2 11560	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
44	28, 43	oveq12d 5941	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
45		0cnd 8021	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 0 ∈ ℂ)
46		eleq1w 2257	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
47	46	dcbid 839	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑘 ∈ 𝐴))
48	21	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
49		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝑘 ∈ 𝑈)
50	47, 48, 49	rspcdva 2873	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
51	23, 45, 50	ifcldcd 3598	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
52		eleq1w 2257	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
53	52	dcbid 839	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ DECID 𝑘 ∈ 𝐵))
54	39	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 DECID 𝑥 ∈ 𝐵)
55	53, 54, 49	rspcdva 2873	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → DECID 𝑘 ∈ 𝐵)
56	23, 45, 55	ifcldcd 3598	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
57	26, 51, 56	fsumadd 11573	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
58	2	eleq2d 2266	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
59		elun 3305	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
60	58, 59	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)))
61	60	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
62		iftrue 3567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
63	62	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
64		noel 3455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
65	6	eleq2d 2266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
66		elin 3347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
67	65, 66	bitr3di 195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ∅ ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
68	64, 67	mtbii 675	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
69		imnan 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
70	68, 69	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵))
71	70	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵)
72	71	iffalsed 3572	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 0)
73	63, 72	oveq12d 5941	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (𝐶 + 0))
74	24	addridd 8177	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 + 0) = 𝐶)
75	73, 74	eqtrd 2229	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
76	70	con2d 625	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
77	76	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)
78	77	iffalsed 3572	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
79		iftrue 3567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
80	79	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
81	78, 80	oveq12d 5941	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + 𝐶))
82	41	addlidd 8178	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (0 + 𝐶) = 𝐶)
83	81, 82	eqtrd 2229	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
84	75, 83	jaodan 798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
85	61, 84	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
86	85	sumeq2dv 11535	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐶)
87	44, 57, 86	3eqtr2rd 2236	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   ∪ cun 3155   ∩ cin 3156   ⊆ wss 3157  ∅c0 3451  ifcif 3562  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923  Fincfn 6800  ℂcc 7879  0cc0 7881   + caddc 7884  ℤcz 9328  ℤ_≥cuz 9603  Σcsu 11520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000  ax-caucvg 8001

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-irdg 6429  df-frec 6450  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6593  df-en 6801  df-dom 6802  df-fin 6803  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-q 9696  df-rp 9731  df-fz 10086  df-fzo 10220  df-seqfrec 10542  df-exp 10633  df-ihash 10870  df-cj 11009  df-re 11010  df-im 11011  df-rsqrt 11165  df-abs 11166  df-clim 11446  df-sumdc 11521

This theorem is referenced by:  fsumsplitf  11575  sumpr  11580  sumtp  11581  fsumm1  11583  fsum1p  11585  fsumsplitsnun  11586  fsum2dlemstep  11601  fsumconst  11621  fsumlessfi  11627  fsumabs  11632  fsumiun  11644  mertenslemi1  11702  bitsinv1  12129  fsumcncntop  14813  dvmptfsum  14971  perfectlem2  15246  lgsquadlem2  15329  cvgcmp2nlemabs  15686