ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumsplit GIF version

Theorem fsumsplit 11399
Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplit.1 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
fsumsplit.2 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
fsumsplit.3 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
fsumsplit.4 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumsplit (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑈,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplit
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssun1 3298 . . . . 5 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
2 fsumsplit.2 . . . . 5 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
31, 2sseqtrrid 3206 . . . 4 (𝜑𝐴𝑈)
4 simpr 110 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
54orcd 733 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐴 ∨ ¬ 𝑥𝐴))
6 fsumsplit.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
7 disjel 3477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑥𝐵)
87ex 115 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐵) = ∅ → (𝑥𝐴 → ¬ 𝑥𝐵))
98con2d 624 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵) = ∅ → (𝑥𝐵 → ¬ 𝑥𝐴))
109imp 124 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝑥𝐵) → ¬ 𝑥𝐴)
116, 10sylan 283 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → ¬ 𝑥𝐴)
1211adantlr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → ¬ 𝑥𝐴)
1312olcd 734 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝐴 ∨ ¬ 𝑥𝐴))
142eleq2d 2247 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝐴𝐵)))
1514biimpa 296 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
16 elun 3276 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
1715, 16sylib 122 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑈) → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
185, 13, 17mpjaodan 798 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑈) → (𝑥𝐴 ∨ ¬ 𝑥𝐴))
19 df-dc 835 . . . . . 6 (DECID 𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝐴 ∨ ¬ 𝑥𝐴))
2018, 19sylibr 134 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑈) → DECID 𝑥𝐴)
2120ralrimiva 2550 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑈 DECID 𝑥𝐴)
223sselda 3155 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝑈)
23 fsumsplit.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
2422, 23syldan 282 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2524ralrimiva 2550 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
26 fsumsplit.3 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
2726olcd 734 . . . 4 (𝜑 → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ⊆ (ℤ‘0) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ‘0)DECID 𝑥𝑈) ∨ 𝑈 ∈ Fin))
283, 21, 25, 27isumss2 11385 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
29 ssun2 3299 . . . . 5 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
3029, 2sseqtrrid 3206 . . . 4 (𝜑𝐵𝑈)
316ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐴𝐵) = ∅)
3231, 7sylancom 420 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑥𝐵)
3332olcd 734 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐵 ∨ ¬ 𝑥𝐵))
3417orcanai 928 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
3534orcd 733 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐵 ∨ ¬ 𝑥𝐵))
3633, 35, 18mpjaodan 798 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑈) → (𝑥𝐵 ∨ ¬ 𝑥𝐵))
37 df-dc 835 . . . . . 6 (DECID 𝑥𝐵 ↔ (𝑥𝐵 ∨ ¬ 𝑥𝐵))
3836, 37sylibr 134 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑈) → DECID 𝑥𝐵)
3938ralrimiva 2550 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑈 DECID 𝑥𝐵)
4030sselda 3155 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑘𝑈)
4140, 23syldan 282 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
4241ralrimiva 2550 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
4330, 39, 42, 27isumss2 11385 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
4428, 43oveq12d 5887 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶) = (Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
45 0cnd 7941 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → 0 ∈ ℂ)
46 eleq1w 2238 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝑥𝐴𝑘𝐴))
4746dcbid 838 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (DECID 𝑥𝐴DECID 𝑘𝐴))
4821adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑈) → ∀𝑥𝑈 DECID 𝑥𝐴)
49 simpr 110 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝑈)
5047, 48, 49rspcdva 2846 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → DECID 𝑘𝐴)
5123, 45, 50ifcldcd 3569 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
52 eleq1w 2238 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝑥𝐵𝑘𝐵))
5352dcbid 838 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (DECID 𝑥𝐵DECID 𝑘𝐵))
5439adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑈) → ∀𝑥𝑈 DECID 𝑥𝐵)
5553, 54, 49rspcdva 2846 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → DECID 𝑘𝐵)
5623, 45, 55ifcldcd 3569 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
5726, 51, 56fsumadd 11398 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
582eleq2d 2247 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝑈𝑘 ∈ (𝐴𝐵)))
59 elun 3276 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
6058, 59bitrdi 196 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑈 ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
6160biimpa 296 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑘𝐴𝑘𝐵))
62 iftrue 3539 . . . . . . . 8 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
6362adantl 277 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
64 noel 3426 . . . . . . . . . . 11 ¬ 𝑘 ∈ ∅
656eleq2d 2247 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
66 elin 3318 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
6765, 66bitr3di 195 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘 ∈ ∅ ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
6864, 67mtbii 674 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
69 imnan 690 . . . . . . . . . 10 ((𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵) ↔ ¬ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
7068, 69sylibr 134 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵))
7170imp 124 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝑘𝐵)
7271iffalsed 3544 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 0)
7363, 72oveq12d 5887 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (𝐶 + 0))
7424addid1d 8096 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶 + 0) = 𝐶)
7573, 74eqtrd 2210 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
7670con2d 624 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐵 → ¬ 𝑘𝐴))
7776imp 124 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → ¬ 𝑘𝐴)
7877iffalsed 3544 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 0)
79 iftrue 3539 . . . . . . . 8 (𝑘𝐵 → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
8079adantl 277 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
8178, 80oveq12d 5887 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + 𝐶))
8241addid2d 8097 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → (0 + 𝐶) = 𝐶)
8381, 82eqtrd 2210 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
8475, 83jaodan 797 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑘𝐵)) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
8561, 84syldan 282 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
8685sumeq2dv 11360 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = Σ𝑘𝑈 𝐶)
8744, 57, 863eqtr2rd 2217 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wo 708  DECID wdc 834  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  cun 3127  cin 3128  wss 3129  c0 3422  ifcif 3534  cfv 5212  (class class class)co 5869  Fincfn 6734  cc 7800  0cc0 7802   + caddc 7805  cz 9242  cuz 9517  Σcsu 11345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346
This theorem is referenced by:  fsumsplitf  11400  sumpr  11405  sumtp  11406  fsumm1  11408  fsum1p  11410  fsumsplitsnun  11411  fsum2dlemstep  11426  fsumconst  11446  fsumlessfi  11452  fsumabs  11457  fsumiun  11469  mertenslemi1  11527  fsumcncntop  13723  cvgcmp2nlemabs  14436
  Copyright terms: Public domain W3C validator