Theorem fsumsplit 11414

Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplit.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
fsumsplit.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
fsumsplit.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
fsumsplit.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplit	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑈,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplit

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 3298	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
2		fsumsplit.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
3	1, 2	sseqtrrid 3206	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑈)
4		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	orcd 733	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
6		fsumsplit.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
7		disjel 3477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
8	7	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
9	8	con2d 624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → (𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
10	9	imp 124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
11	6, 10	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
12	11	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
13	12	olcd 734	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
14	2	eleq2d 2247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
15	14	biimpa 296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
16		elun 3276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
17	15, 16	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
18	5, 13, 17	mpjaodan 798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
19		df-dc 835	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
20	18, 19	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
21	20	ralrimiva 2550	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
22	3	sselda 3155	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑈)
23		fsumsplit.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
24	22, 23	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
25	24	ralrimiva 2550	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
26		fsumsplit.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
27	26	olcd 734	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘0)DECID 𝑥 ∈ 𝑈) ∨ 𝑈 ∈ Fin))
28	3, 21, 25, 27	isumss2 11400	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
29		ssun2 3299	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
30	29, 2	sseqtrrid 3206	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑈)
31	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
32	31, 7	sylancom 420	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
33	32	olcd 734	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
34	17	orcanai 928	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
35	34	orcd 733	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
36	33, 35, 18	mpjaodan 798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
37		df-dc 835	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
38	36, 37	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → DECID 𝑥 ∈ 𝐵)
39	38	ralrimiva 2550	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 DECID 𝑥 ∈ 𝐵)
40	30	sselda 3155	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝑈)
41	40, 23	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
42	41	ralrimiva 2550	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
43	30, 39, 42, 27	isumss2 11400	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
44	28, 43	oveq12d 5892	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
45		0cnd 7949	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 0 ∈ ℂ)
46		eleq1w 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
47	46	dcbid 838	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑘 ∈ 𝐴))
48	21	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
49		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝑘 ∈ 𝑈)
50	47, 48, 49	rspcdva 2846	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
51	23, 45, 50	ifcldcd 3570	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
52		eleq1w 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
53	52	dcbid 838	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ DECID 𝑘 ∈ 𝐵))
54	39	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 DECID 𝑥 ∈ 𝐵)
55	53, 54, 49	rspcdva 2846	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → DECID 𝑘 ∈ 𝐵)
56	23, 45, 55	ifcldcd 3570	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
57	26, 51, 56	fsumadd 11413	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
58	2	eleq2d 2247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
59		elun 3276	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
60	58, 59	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)))
61	60	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
62		iftrue 3539	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
63	62	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
64		noel 3426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
65	6	eleq2d 2247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
66		elin 3318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
67	65, 66	bitr3di 195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ∅ ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
68	64, 67	mtbii 674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
69		imnan 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
70	68, 69	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵))
71	70	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵)
72	71	iffalsed 3544	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 0)
73	63, 72	oveq12d 5892	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (𝐶 + 0))
74	24	addid1d 8105	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 + 0) = 𝐶)
75	73, 74	eqtrd 2210	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
76	70	con2d 624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
77	76	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)
78	77	iffalsed 3544	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
79		iftrue 3539	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
80	79	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
81	78, 80	oveq12d 5892	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + 𝐶))
82	41	addid2d 8106	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (0 + 𝐶) = 𝐶)
83	81, 82	eqtrd 2210	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
84	75, 83	jaodan 797	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
85	61, 84	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
86	85	sumeq2dv 11375	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐶)
87	44, 57, 86	3eqtr2rd 2217	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708  DECID wdc 834   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455   ∪ cun 3127   ∩ cin 3128   ⊆ wss 3129  ∅c0 3422  ifcif 3534  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  Fincfn 6739  ℂcc 7808  0cc0 7810   + caddc 7813  ℤcz 9252  ℤ_≥cuz 9527  Σcsu 11360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-ihash 10755  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-sumdc 11361

This theorem is referenced by:  fsumsplitf  11415  sumpr  11420  sumtp  11421  fsumm1  11423  fsum1p  11425  fsumsplitsnun  11426  fsum2dlemstep  11441  fsumconst  11461  fsumlessfi  11467  fsumabs  11472  fsumiun  11484  mertenslemi1  11542  fsumcncntop  13992  cvgcmp2nlemabs  14716