Theorem fsumsplit 11428

Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplit.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
fsumsplit.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
fsumsplit.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
fsumsplit.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplit	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑈,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplit

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 3310	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
2		fsumsplit.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
3	1, 2	sseqtrrid 3218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑈)
4		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	orcd 734	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
6		fsumsplit.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
7		disjel 3489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
8	7	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
9	8	con2d 625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → (𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
10	9	imp 124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
11	6, 10	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
12	11	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
13	12	olcd 735	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
14	2	eleq2d 2257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
15	14	biimpa 296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
16		elun 3288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
17	15, 16	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
18	5, 13, 17	mpjaodan 799	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
19		df-dc 836	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
20	18, 19	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
21	20	ralrimiva 2560	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
22	3	sselda 3167	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑈)
23		fsumsplit.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
24	22, 23	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
25	24	ralrimiva 2560	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
26		fsumsplit.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
27	26	olcd 735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘0)DECID 𝑥 ∈ 𝑈) ∨ 𝑈 ∈ Fin))
28	3, 21, 25, 27	isumss2 11414	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
29		ssun2 3311	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
30	29, 2	sseqtrrid 3218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑈)
31	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
32	31, 7	sylancom 420	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
33	32	olcd 735	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
34	17	orcanai 929	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
35	34	orcd 734	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
36	33, 35, 18	mpjaodan 799	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
37		df-dc 836	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
38	36, 37	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → DECID 𝑥 ∈ 𝐵)
39	38	ralrimiva 2560	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 DECID 𝑥 ∈ 𝐵)
40	30	sselda 3167	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝑈)
41	40, 23	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
42	41	ralrimiva 2560	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
43	30, 39, 42, 27	isumss2 11414	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
44	28, 43	oveq12d 5906	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
45		0cnd 7963	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 0 ∈ ℂ)
46		eleq1w 2248	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
47	46	dcbid 839	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑘 ∈ 𝐴))
48	21	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
49		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝑘 ∈ 𝑈)
50	47, 48, 49	rspcdva 2858	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
51	23, 45, 50	ifcldcd 3582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
52		eleq1w 2248	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
53	52	dcbid 839	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ DECID 𝑘 ∈ 𝐵))
54	39	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 DECID 𝑥 ∈ 𝐵)
55	53, 54, 49	rspcdva 2858	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → DECID 𝑘 ∈ 𝐵)
56	23, 45, 55	ifcldcd 3582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
57	26, 51, 56	fsumadd 11427	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
58	2	eleq2d 2257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
59		elun 3288	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
60	58, 59	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)))
61	60	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
62		iftrue 3551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
63	62	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
64		noel 3438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
65	6	eleq2d 2257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
66		elin 3330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
67	65, 66	bitr3di 195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ∅ ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
68	64, 67	mtbii 675	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
69		imnan 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
70	68, 69	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵))
71	70	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵)
72	71	iffalsed 3556	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 0)
73	63, 72	oveq12d 5906	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (𝐶 + 0))
74	24	addid1d 8119	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 + 0) = 𝐶)
75	73, 74	eqtrd 2220	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
76	70	con2d 625	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
77	76	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)
78	77	iffalsed 3556	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
79		iftrue 3551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
80	79	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
81	78, 80	oveq12d 5906	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + 𝐶))
82	41	addid2d 8120	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (0 + 𝐶) = 𝐶)
83	81, 82	eqtrd 2220	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
84	75, 83	jaodan 798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
85	61, 84	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
86	85	sumeq2dv 11389	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐶)
87	44, 57, 86	3eqtr2rd 2227	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  ∀wral 2465   ∪ cun 3139   ∩ cin 3140   ⊆ wss 3141  ∅c0 3434  ifcif 3546  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  Fincfn 6753  ℂcc 7822  0cc0 7824   + caddc 7827  ℤcz 9266  ℤ_≥cuz 9541  Σcsu 11374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-frec 6405  df-1o 6430  df-oadd 6434  df-er 6548  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-ihash 10769  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-clim 11300  df-sumdc 11375

This theorem is referenced by:  fsumsplitf  11429  sumpr  11434  sumtp  11435  fsumm1  11437  fsum1p  11439  fsumsplitsnun  11440  fsum2dlemstep  11455  fsumconst  11475  fsumlessfi  11481  fsumabs  11486  fsumiun  11498  mertenslemi1  11556  fsumcncntop  14283  cvgcmp2nlemabs  15008