Theorem cnfldcj 14018

Description: The conjugation operation of the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldcj	⊢ ∗ = (*𝑟‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldcj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjf 10965	. . 3 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
2		cnex 7982	. . 3 ⊢ ℂ ∈ V
3		fex 5775	. . 3 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ∈ V) → ∗ ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 426	. 2 ⊢ ∗ ∈ V
5		cnfldstr 14013	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
6		starvslid 12732	. . 3 ⊢ (*𝑟 = Slot (*𝑟‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ∈ ℕ)
7		ssun2 3319	. . . 4 ⊢ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
8		df-icnfld 14012	. . . 4 ⊢ ℂfld = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
9	7, 8	sseqtrri 3210	. . 3 ⊢ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ⊆ ℂfld
10	5, 6, 9	strslfv 12637	. 2 ⊢ (∗ ∈ V → ∗ = (*𝑟‘ℂfld))
11	4, 10	ax-mp 5	1 ⊢ ∗ = (*𝑟‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  Vcvv 2756   ∪ cun 3147  {csn 3614  {ctp 3616  ⟨cop 3617  ⟶wf 5238  ‘cfv 5242  ℂcc 7856  1c1 7859   + caddc 7861   · cmul 7863  3c3 9020  ;cdc 9434  ∗ccj 10957  ndxcnx 12589  Basecbs 12592  +_gcplusg 12669  ._rcmulr 12670  *_𝑟cstv 12671  ℂ_fldccnfld 14011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4140  ax-sep 4143  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-cnex 7949  ax-resscn 7950  ax-1cn 7951  ax-1re 7952  ax-icn 7953  ax-addcl 7954  ax-addrcl 7955  ax-mulcl 7956  ax-mulrcl 7957  ax-addcom 7958  ax-mulcom 7959  ax-addass 7960  ax-mulass 7961  ax-distr 7962  ax-i2m1 7963  ax-0lt1 7964  ax-1rid 7965  ax-0id 7966  ax-rnegex 7967  ax-precex 7968  ax-cnre 7969  ax-pre-ltirr 7970  ax-pre-ltwlin 7971  ax-pre-lttrn 7972  ax-pre-apti 7973  ax-pre-ltadd 7974  ax-pre-mulgt0 7975  ax-addf 7980  ax-mulf 7981

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-nul 3443  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-iun 3910  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-id 4318  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-f1 5247  df-fo 5248  df-f1o 5249  df-fv 5250  df-riota 5861  df-ov 5909  df-oprab 5910  df-mpo 5911  df-pnf 8042  df-mnf 8043  df-xr 8044  df-ltxr 8045  df-le 8046  df-sub 8178  df-neg 8179  df-reap 8580  df-inn 8969  df-2 9027  df-3 9028  df-4 9029  df-5 9030  df-6 9031  df-7 9032  df-8 9033  df-9 9034  df-n0 9227  df-z 9304  df-dec 9435  df-uz 9579  df-fz 10061  df-cj 10960  df-struct 12594  df-ndx 12595  df-slot 12596  df-base 12598  df-plusg 12682  df-mulr 12683  df-starv 12684  df-icnfld 14012

This theorem is referenced by: (None)