Theorem zdivmul 8935

Description: Property of divisibility: if 𝐷 divides 𝐴 then it divides 𝐵 · 𝐴. (Contributed by NM, 3-Oct-2008.)

Assertion

Ref	Expression
zdivmul	⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 / 𝐷) ∈ ℤ) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐷) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zdivmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 8853	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant2 968	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		zcn 8853	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	3ad2ant1 967	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		nncn 8528	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
6		nnap0 8549	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 # 0)
7	5, 6	jca 301	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))
8	7	3ad2ant3 969	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))
9		divassap 8254	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐷) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐷)))
10	2, 4, 8, 9	syl3anc 1181	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐷) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐷)))
11	10	3comr 1154	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐷) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐷)))
12	11	adantr 271	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 / 𝐷) ∈ ℤ) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐷) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐷)))
13		zmulcl 8901	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 𝐷) ∈ ℤ) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
14	13	3ad2antl3 1110	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 / 𝐷) ∈ ℤ) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
15	12, 14	eqeltrd 2171	1 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 / 𝐷) ∈ ℤ) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐷) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 927   = wceq 1296   ∈ wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690  ℂcc 7445  0cc0 7447   · cmul 7452   # cap 8155   / cdiv 8236  ℕcn 8520  ℤcz 8848

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849

This theorem is referenced by: (None)