Theorem zextlt 9571

Description: An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zextlt	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 < 𝑀 ↔ 𝑘 < 𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem zextlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zltlem1 9536	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ (𝑀 − 1)))
2	1	adantrr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑘 < 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ (𝑀 − 1)))
3		zltlem1 9536	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
4	3	adantrl 478	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
5	2, 4	bibi12d 235	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑘 < 𝑀 ↔ 𝑘 < 𝑁) ↔ (𝑘 ≤ (𝑀 − 1) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
6	5	ancoms 268	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 < 𝑀 ↔ 𝑘 < 𝑁) ↔ (𝑘 ≤ (𝑀 − 1) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
7	6	ralbidva 2528	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 < 𝑀 ↔ 𝑘 < 𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ (𝑀 − 1) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
8		peano2zm 9516	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
9		peano2zm 9516	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
10		zextle 9570	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ (𝑀 − 1) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))) → (𝑀 − 1) = (𝑁 − 1))
11	10	3expia 1231	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ (𝑀 − 1) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)) → (𝑀 − 1) = (𝑁 − 1)))
12	8, 9, 11	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ (𝑀 − 1) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)) → (𝑀 − 1) = (𝑁 − 1)))
13		zcn 9483	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
14		zcn 9483	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
15		ax-1cn 8124	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		subcan2 8403	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 1) = (𝑁 − 1) ↔ 𝑀 = 𝑁))
17	15, 16	mp3an3 1362	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 1) = (𝑁 − 1) ↔ 𝑀 = 𝑁))
18	13, 14, 17	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) = (𝑁 − 1) ↔ 𝑀 = 𝑁))
19	12, 18	sylibd 149	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ (𝑀 − 1) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)) → 𝑀 = 𝑁))
20	7, 19	sylbid 150	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 < 𝑀 ↔ 𝑘 < 𝑁) → 𝑀 = 𝑁))
21	20	3impia 1226	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 < 𝑀 ↔ 𝑘 < 𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  1c1 8032   < clt 8213   ≤ cle 8214   − cmin 8349  ℤcz 9478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479

This theorem is referenced by: (None)