Theorem zextlt 9376

Description: An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zextlt	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 < 𝑀 ↔ 𝑘 < 𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem zextlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zltlem1 9341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ (𝑀 − 1)))
2	1	adantrr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑘 < 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ (𝑀 − 1)))
3		zltlem1 9341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
4	3	adantrl 478	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
5	2, 4	bibi12d 235	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑘 < 𝑀 ↔ 𝑘 < 𝑁) ↔ (𝑘 ≤ (𝑀 − 1) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
6	5	ancoms 268	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 < 𝑀 ↔ 𝑘 < 𝑁) ↔ (𝑘 ≤ (𝑀 − 1) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
7	6	ralbidva 2486	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 < 𝑀 ↔ 𝑘 < 𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ (𝑀 − 1) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
8		peano2zm 9322	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
9		peano2zm 9322	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
10		zextle 9375	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ (𝑀 − 1) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))) → (𝑀 − 1) = (𝑁 − 1))
11	10	3expia 1207	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ (𝑀 − 1) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)) → (𝑀 − 1) = (𝑁 − 1)))
12	8, 9, 11	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ (𝑀 − 1) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)) → (𝑀 − 1) = (𝑁 − 1)))
13		zcn 9289	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
14		zcn 9289	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
15		ax-1cn 7935	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		subcan2 8213	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 1) = (𝑁 − 1) ↔ 𝑀 = 𝑁))
17	15, 16	mp3an3 1337	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 1) = (𝑁 − 1) ↔ 𝑀 = 𝑁))
18	13, 14, 17	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) = (𝑁 − 1) ↔ 𝑀 = 𝑁))
19	12, 18	sylibd 149	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ (𝑀 − 1) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)) → 𝑀 = 𝑁))
20	7, 19	sylbid 150	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 < 𝑀 ↔ 𝑘 < 𝑁) → 𝑀 = 𝑁))
21	20	3impia 1202	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 < 𝑀 ↔ 𝑘 < 𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897  ℂcc 7840  1c1 7843   < clt 8023   ≤ cle 8024   − cmin 8159  ℤcz 9284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285

This theorem is referenced by: (None)