Theorem 0domg 9099

Description: Any set dominates the empty set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) Avoid ax-pow 5338, ax-un 7742. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0domg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ≼ 𝐴)

Proof of Theorem 0domg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5272	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		f1eq1 6773	. . 3 ⊢ (𝑓 = ∅ → (𝑓:∅–1-1→𝐴 ↔ ∅:∅–1-1→𝐴))
3		f10 6858	. . 3 ⊢ ∅:∅–1-1→𝐴
4	1, 2, 3	ceqsexv2d 3506	. 2 ⊢ ∃𝑓 𝑓:∅–1-1→𝐴
5		brdom2g 8960	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∅ ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:∅–1-1→𝐴))
6	1, 5	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅ ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:∅–1-1→𝐴))
7	4, 6	mpbiri 261	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ≼ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  ∅c0 4286   class class class wbr 5111  –1-1→wf1 6537   ≼ cdom 8947

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2569  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-dom 8951

This theorem is used by:  0sdomg  9101  0dom  9102  carddomi2  9972  wdomfil  10061  wdomnumr  10064  hashge0  14445  ufildom1  24138  harn0  43906  safesnsupfidom1o  44220  sn1dom  44329