Theorem 0domg 8887

Description: Any set dominates the empty set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) Avoid ax-pow 5288, ax-un 7588. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0domg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ≼ 𝐴)

Proof of Theorem 0domg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5231	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		f1eq1 6665	. . 3 ⊢ (𝑓 = ∅ → (𝑓:∅–1-1→𝐴 ↔ ∅:∅–1-1→𝐴))
3		f10 6749	. . 3 ⊢ ∅:∅–1-1→𝐴
4	1, 2, 3	ceqsexv2d 3481	. 2 ⊢ ∃𝑓 𝑓:∅–1-1→𝐴
5		brdom2g 8745	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∅ ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:∅–1-1→𝐴))
6	1, 5	mpan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅ ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:∅–1-1→𝐴))
7	4, 6	mpbiri 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ≼ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  ∅c0 4256   class class class wbr 5074  –1-1→wf1 6430   ≼ cdom 8731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-dom 8735

This theorem is referenced by:  dom0OLD  8890  0sdomg  8891  0sdomgOLD  8892  0dom  8893  sdom0OLD  8896  carddomi2  9728  wdomfil  9817  wdomnumr  9820  hashge0  14102  ufildom1  23077  harn0  40927  sn1dom  41133