Theorem 0domg 9137

Description: Any set dominates the empty set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) Avoid ax-pow 5331, ax-un 7761. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0domg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ≼ 𝐴)

Proof of Theorem 0domg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5264	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		f1eq1 6784	. . 3 ⊢ (𝑓 = ∅ → (𝑓:∅–1-1→𝐴 ↔ ∅:∅–1-1→𝐴))
3		f10 6869	. . 3 ⊢ ∅:∅–1-1→𝐴
4	1, 2, 3	ceqsexv2d 3503	. 2 ⊢ ∃𝑓 𝑓:∅–1-1→𝐴
5		brdom2g 8998	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∅ ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:∅–1-1→𝐴))
6	1, 5	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅ ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:∅–1-1→𝐴))
7	4, 6	mpbiri 261	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ≼ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209  ∃wex 1811   ∈ wcel 2146  Vcvv 3454  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  –1-1→wf1 6544   ≼ cdom 8985

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2101  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5171  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-dom 8989

This theorem is used by:  0sdomg  9139  0dom  9140  carddomi2  10064  wdomfil  10153  wdomnumr  10156  hashge0  14544  ufildom1  24260  harn0  44247  safesnsupfidom1o  44561  sn1dom  44670