Theorem 0domg 9105

Description: Any set dominates the empty set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) Avoid ax-pow 5330, ax-un 7737. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0domg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ≼ 𝐴)

Proof of Theorem 0domg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5264	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		f1eq1 6767	. . 3 ⊢ (𝑓 = ∅ → (𝑓:∅–1-1→𝐴 ↔ ∅:∅–1-1→𝐴))
3		f10 6852	. . 3 ⊢ ∅:∅–1-1→𝐴
4	1, 2, 3	ceqsexv2d 3499	. 2 ⊢ ∃𝑓 𝑓:∅–1-1→𝐴
5		brdom2g 8966	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∅ ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:∅–1-1→𝐴))
6	1, 5	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅ ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:∅–1-1→𝐴))
7	4, 6	mpbiri 261	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ≼ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  –1-1→wf1 6530   ≼ cdom 8953

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2564  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-dom 8957

This theorem is used by:  0sdomg  9107  0dom  9108  carddomi2  9978  wdomfil  10067  wdomnumr  10070  hashge0  14454  ufildom1  24155  harn0  43946  safesnsupfidom1o  44260  sn1dom  44369