Theorem 0domg 9088

Description: Any set dominates the empty set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) Avoid ax-pow 5336, ax-un 7732. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0domg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ≼ 𝐴)

Proof of Theorem 0domg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5270	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		f1eq1 6769	. . 3 ⊢ (𝑓 = ∅ → (𝑓:∅–1-1→𝐴 ↔ ∅:∅–1-1→𝐴))
3		f10 6854	. . 3 ⊢ ∅:∅–1-1→𝐴
4	1, 2, 3	ceqsexv2d 3504	. 2 ⊢ ∃𝑓 𝑓:∅–1-1→𝐴
5		brdom2g 8950	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∅ ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:∅–1-1→𝐴))
6	1, 5	mpan 702	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅ ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:∅–1-1→𝐴))
7	4, 6	mpbiri 261	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ≼ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ∅c0 4286   class class class wbr 5109  –1-1→wf1 6533   ≼ cdom 8937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-dom 8941

This theorem is referenced by:  0sdomg  9090  0dom  9091  carddomi2  9952  wdomfil  10041  wdomnumr  10044  hashge0  14419  ufildom1  24083  harn0  43849  safesnsupfidom1o  44163  sn1dom  44272