Theorem 0sdomgOLD 9145

Description: Obsolete version of 0sdomg 9144 as of 29-Nov-2024. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0sdomgOLD	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem 0sdomgOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0domg 9140	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ≼ 𝐴)
2		brsdom 9015	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ (∅ ≼ 𝐴 ∧ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
3	2	baib 535	. . 3 ⊢ (∅ ≼ 𝐴 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
5		ensymb 9042	. . . 4 ⊢ (∅ ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ ∅)
6		en0 9058	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
7	5, 6	bitri 275	. . 3 ⊢ (∅ ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 = ∅)
8	7	necon3bbii 2988	. 2 ⊢ (¬ ∅ ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)
9	4, 8	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∅c0 4333   class class class wbr 5143   ≈ cen 8982   ≼ cdom 8983   ≺ csdm 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988

This theorem is referenced by: (None)