MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0sdomgOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0sdomgOLD 9128
Description: Obsolete version of 0sdomg 9127 as of 29-Nov-2024. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0sdomgOLD (𝐴𝑉 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem 0sdomgOLD
StepHypRef Expression
1 0domg 9123 . . 3 (𝐴𝑉 → ∅ ≼ 𝐴)
2 brsdom 8994 . . . 4 (∅ ≺ 𝐴 ↔ (∅ ≼ 𝐴 ∧ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
32baib 534 . . 3 (∅ ≼ 𝐴 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
41, 3syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
5 ensymb 9021 . . . 4 (∅ ≈ 𝐴𝐴 ≈ ∅)
6 en0 9036 . . . 4 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
75, 6bitri 274 . . 3 (∅ ≈ 𝐴𝐴 = ∅)
87necon3bbii 2978 . 2 (¬ ∅ ≈ 𝐴𝐴 ≠ ∅)
94, 8bitrdi 286 1 (𝐴𝑉 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2930  c0 4318   class class class wbr 5143  cen 8959  cdom 8960  csdm 8961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator