Theorem 0sdomgOLD 9107

Description: Obsolete version of 0sdomg 9106 as of 29-Nov-2024. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0sdomgOLD	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem 0sdomgOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0domg 9102	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ≼ 𝐴)
2		brsdom 8973	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ (∅ ≼ 𝐴 ∧ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
3	2	baib 535	. . 3 ⊢ (∅ ≼ 𝐴 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
5		ensymb 9000	. . . 4 ⊢ (∅ ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ ∅)
6		en0 9015	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
7	5, 6	bitri 275	. . 3 ⊢ (∅ ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 = ∅)
8	7	necon3bbii 2982	. 2 ⊢ (¬ ∅ ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)
9	4, 8	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∅c0 4317   class class class wbr 5141   ≈ cen 8938   ≼ cdom 8939   ≺ csdm 8940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944

This theorem is referenced by: (None)