Theorem 0sdomgOLD 9104

Description: Obsolete version of 0sdomg 9103 as of 29-Nov-2024. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0sdomgOLD	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem 0sdomgOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0domg 9099	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ≼ 𝐴)
2		brsdom 8970	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ (∅ ≼ 𝐴 ∧ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
3	2	baib 536	. . 3 ⊢ (∅ ≼ 𝐴 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
5		ensymb 8997	. . . 4 ⊢ (∅ ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ ∅)
6		en0 9012	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
7	5, 6	bitri 274	. . 3 ⊢ (∅ ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 = ∅)
8	7	necon3bbii 2988	. 2 ⊢ (¬ ∅ ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)
9	4, 8	bitrdi 286	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∅c0 4322   class class class wbr 5148   ≈ cen 8935   ≼ cdom 8936   ≺ csdm 8937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941

This theorem is referenced by: (None)