Theorem 0sdomgOLD 9171

Description: Obsolete version of 0sdomg 9170 as of 29-Nov-2024. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0sdomgOLD	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem 0sdomgOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0domg 9166	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ≼ 𝐴)
2		brsdom 9035	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ (∅ ≼ 𝐴 ∧ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
3	2	baib 535	. . 3 ⊢ (∅ ≼ 𝐴 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
5		ensymb 9062	. . . 4 ⊢ (∅ ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ ∅)
6		en0 9078	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
7	5, 6	bitri 275	. . 3 ⊢ (∅ ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 = ∅)
8	7	necon3bbii 2994	. 2 ⊢ (¬ ∅ ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)
9	4, 8	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∅c0 4352   class class class wbr 5166   ≈ cen 9000   ≼ cdom 9001   ≺ csdm 9002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006

This theorem is referenced by: (None)