Theorem ufildom1 23905

Description: An ultrafilter is generated by at most one element (because free ultrafilters have no generators and fixed ultrafilters have exactly one). (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ufildom1	⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∩ 𝐹 ≼ 1o)

Proof of Theorem ufildom1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5089	. 2 ⊢ (∩ 𝐹 = ∅ → (∩ 𝐹 ≼ 1o ↔ ∅ ≼ 1o))
2		uffixsn 23904	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐹) → {𝑥} ∈ 𝐹)
3		intss1 4906	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝐹 → ∩ 𝐹 ⊆ {𝑥})
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐹) → ∩ 𝐹 ⊆ {𝑥})
5		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐹) → 𝑥 ∈ ∩ 𝐹)
6	5	snssd 4753	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐹) → {𝑥} ⊆ ∩ 𝐹)
7	4, 6	eqssd 3940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐹) → ∩ 𝐹 = {𝑥})
8	7	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 ∈ ∩ 𝐹 → ∩ 𝐹 = {𝑥}))
9	8	eximdv 1919	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (∃𝑥 𝑥 ∈ ∩ 𝐹 → ∃𝑥∩ 𝐹 = {𝑥}))
10		n0 4294	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ∩ 𝐹)
11		en1 8966	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝐹 ≈ 1o ↔ ∃𝑥∩ 𝐹 = {𝑥})
12	9, 10, 11	3imtr4g 296	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (∩ 𝐹 ≠ ∅ → ∩ 𝐹 ≈ 1o))
13	12	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ ∩ 𝐹 ≠ ∅) → ∩ 𝐹 ≈ 1o)
14		endom 8921	. . 3 ⊢ (∩ 𝐹 ≈ 1o → ∩ 𝐹 ≼ 1o)
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ ∩ 𝐹 ≠ ∅) → ∩ 𝐹 ≼ 1o)
16		1on 8412	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
17		0domg 9037	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → ∅ ≼ 1o)
18	16, 17	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∅ ≼ 1o)
19	1, 15, 18	pm2.61ne 3018	1 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∩ 𝐹 ≼ 1o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568  ∩ cint 4890   class class class wbr 5086  Oncon0 6319  ‘cfv 6494  1_oc1o 8393   ≈ cen 8885   ≼ cdom 8886  UFilcufil 23878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-ord 6322  df-on 6323  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1o 8400  df-en 8889  df-dom 8890  df-fbas 21345  df-fg 21346  df-fil 23825  df-ufil 23880

This theorem is referenced by: (None)