Theorem wdomnumr 10054

Description: Weak dominance agrees with normal for numerable right sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomnumr	⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝐴 ≼* 𝐵 ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem wdomnumr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brwdom 9557	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝐴 ≼* 𝐵 ↔ (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 𝑥:𝐵–onto→𝐴)))
2		0domg 9095	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → ∅ ≼ 𝐵)
3		breq1 5141	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∅ ≼ 𝐵))
4	2, 3	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≼ 𝐵))
5		fodomnum 10047	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝑥:𝐵–onto→𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵))
6	5	exlimdv 1928	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (∃𝑥 𝑥:𝐵–onto→𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵))
7	4, 6	jaod 856	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → ((𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 𝑥:𝐵–onto→𝐴) → 𝐴 ≼ 𝐵))
8	1, 7	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝐴 ≼* 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
9		domwdom 9564	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≼* 𝐵)
10	8, 9	impbid1 224	1 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝐴 ≼* 𝐵 ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 844   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  ∅c0 4314   class class class wbr 5138  dom cdm 5666  –onto→wfo 6531   ≼ cdom 8932   ≼^* cwdom 9554  cardccrd 9925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-wdom 9555  df-card 9929  df-acn 9932

This theorem is referenced by:  wdomac  10517  ttac  42230  isnumbasgrplem2  42301