Theorem wdomnumr 9174

Description: Weak dominance agrees with normal for numerable right sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomnumr	⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝐴 ≼* 𝐵 ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem wdomnumr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brwdom 8715	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝐴 ≼* 𝐵 ↔ (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 𝑥:𝐵–onto→𝐴)))
2		0domg 8330	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → ∅ ≼ 𝐵)
3		breq1 4847	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∅ ≼ 𝐵))
4	2, 3	syl5ibrcom 239	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≼ 𝐵))
5		fodomnum 9167	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝑥:𝐵–onto→𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵))
6	5	exlimdv 2029	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (∃𝑥 𝑥:𝐵–onto→𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵))
7	4, 6	jaod 886	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → ((𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 𝑥:𝐵–onto→𝐴) → 𝐴 ≼ 𝐵))
8	1, 7	sylbid 232	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝐴 ≼* 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
9		domwdom 8722	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≼* 𝐵)
10	8, 9	impbid1 217	1 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝐴 ≼* 𝐵 ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∨ wo 874   = wceq 1653  ∃wex 1875   ∈ wcel 2157  ∅c0 4116   class class class wbr 4844  dom cdm 5313  –onto→wfo 6100   ≼ cdom 8194   ≼^* cwdom 8705  cardccrd 9048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-se 5273  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-isom 6111  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-er 7983  df-map 8098  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-wdom 8707  df-card 9052  df-acn 9055

This theorem is referenced by:  wdomac  9638  ttac  38383  isnumbasgrplem2  38454