Theorem wdomnumr 10013

Description: Weak dominance agrees with normal for numerable right sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomnumr	⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝐴 ≼* 𝐵 ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem wdomnumr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brwdom 9508	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝐴 ≼* 𝐵 ↔ (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 𝑥:𝐵–onto→𝐴)))
2		0domg 9069	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → ∅ ≼ 𝐵)
3		breq1 5100	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∅ ≼ 𝐵))
4	2, 3	syl5ibrcom 249	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≼ 𝐵))
5		fodomnum 10006	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝑥:𝐵–onto→𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵))
6	5	exlimdv 1952	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (∃𝑥 𝑥:𝐵–onto→𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵))
7	4, 6	jaod 870	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → ((𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 𝑥:𝐵–onto→𝐴) → 𝐴 ≼ 𝐵))
8	1, 7	sylbid 242	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝐴 ≼* 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
9		domwdom 9515	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≼* 𝐵)
10	8, 9	impbid1 227	1 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝐴 ≼* 𝐵 ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∨ wo 858   = wceq 1559  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141  ∅c0 4283   class class class wbr 5097  dom cdm 5643  –onto→wfo 6513   ≼ cdom 8918   ≼^* cwdom 9505  cardccrd 9886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-er 8671  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-wdom 9506  df-card 9890  df-acn 9893

This theorem is referenced by:  wdomac  10477  ttac  43573  isnumbasgrplem2  43641