Theorem wdomnumr 10078

Description: Weak dominance agrees with normal for numerable right sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomnumr	⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝐴 ≼* 𝐵 ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem wdomnumr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brwdom 9581	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝐴 ≼* 𝐵 ↔ (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 𝑥:𝐵–onto→𝐴)))
2		0domg 9114	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → ∅ ≼ 𝐵)
3		breq1 5122	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∅ ≼ 𝐵))
4	2, 3	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≼ 𝐵))
5		fodomnum 10071	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝑥:𝐵–onto→𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵))
6	5	exlimdv 1933	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (∃𝑥 𝑥:𝐵–onto→𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵))
7	4, 6	jaod 859	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → ((𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 𝑥:𝐵–onto→𝐴) → 𝐴 ≼ 𝐵))
8	1, 7	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝐴 ≼* 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
9		domwdom 9588	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≼* 𝐵)
10	8, 9	impbid1 225	1 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝐴 ≼* 𝐵 ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∅c0 4308   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  –onto→wfo 6529   ≼ cdom 8957   ≼^* cwdom 9578  cardccrd 9949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-wdom 9579  df-card 9953  df-acn 9956

This theorem is referenced by:  wdomac  10541  ttac  43060  isnumbasgrplem2  43128