Theorem wdomnumr 10070

Description: Weak dominance agrees with normal for numerable right sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomnumr	⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝐴 ≼* 𝐵 ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem wdomnumr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brwdom 9573	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝐴 ≼* 𝐵 ↔ (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 𝑥:𝐵–onto→𝐴)))
2		0domg 9108	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → ∅ ≼ 𝐵)
3		breq1 5119	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∅ ≼ 𝐵))
4	2, 3	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≼ 𝐵))
5		fodomnum 10063	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝑥:𝐵–onto→𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵))
6	5	exlimdv 1932	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (∃𝑥 𝑥:𝐵–onto→𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵))
7	4, 6	jaod 859	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → ((𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 𝑥:𝐵–onto→𝐴) → 𝐴 ≼ 𝐵))
8	1, 7	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝐴 ≼* 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
9		domwdom 9580	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≼* 𝐵)
10	8, 9	impbid1 225	1 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (𝐴 ≼* 𝐵 ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107  ∅c0 4306   class class class wbr 5116  dom cdm 5651  –onto→wfo 6525   ≼ cdom 8951   ≼^* cwdom 9570  cardccrd 9941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-int 4920  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-er 8713  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-wdom 9571  df-card 9945  df-acn 9948

This theorem is referenced by:  wdomac  10533  ttac  42985  isnumbasgrplem2  43053