Theorem 0ngrp 27910

Description: The empty set is not a group. (Contributed by NM, 25-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0ngrp	⊢ ¬ ∅ ∈ GrpOp

Proof of Theorem 0ngrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 3008	. 2 ⊢ ¬ ∅ ≠ ∅
2		rn0 5610	. . . 4 ⊢ ran ∅ = ∅
3	2	eqcomi 2834	. . 3 ⊢ ∅ = ran ∅
4	3	grpon0 27901	. 2 ⊢ (∅ ∈ GrpOp → ∅ ≠ ∅)
5	1, 4	mto 189	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ GrpOp

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∅c0 4144  ran crn 5343  GrpOpcgr 27888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pr 5127  ax-un 7209

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-fo 6129  df-fv 6131  df-ov 6908  df-grpo 27892

This theorem is referenced by:  vsfval  28032  zrdivrng  34287