Theorem 0ngrp 29751

Description: The empty set is not a group. (Contributed by NM, 25-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0ngrp	⊢ ¬ ∅ ∈ GrpOp

Proof of Theorem 0ngrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 2949	. 2 ⊢ ¬ ∅ ≠ ∅
2		rn0 5923	. . . 4 ⊢ ran ∅ = ∅
3	2	eqcomi 2741	. . 3 ⊢ ∅ = ran ∅
4	3	grpon0 29742	. 2 ⊢ (∅ ∈ GrpOp → ∅ ≠ ∅)
5	1, 4	mto 196	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ GrpOp

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∅c0 4321  ran crn 5676  GrpOpcgr 29729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fo 6546  df-fv 6548  df-ov 7408  df-grpo 29733

This theorem is referenced by:  vsfval  29873  zrdivrng  36809