Theorem 0ngrp 30992

Description: The empty set is not a group. (Contributed by NM, 25-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0ngrp	⊢ ¬ ∅ ∈ GrpOp

Proof of Theorem 0ngrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 2964	. 2 ⊢ ¬ ∅ ≠ ∅
2		rn0 5910	. . . 4 ⊢ ran ∅ = ∅
3	2	eqcomi 2769	. . 3 ⊢ ∅ = ran ∅
4	3	grpon0 30983	. 2 ⊢ (∅ ∈ GrpOp → ∅ ≠ ∅)
5	1, 4	mto 200	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ GrpOp

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∅c0 4279  ran crn 5656  GrpOpcgr 30970

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fo 6539  df-fv 6541  df-ov 7416  df-grpo 30974

This theorem is used by:  vsfval  31114  zrdivrng  38703