Theorem 0ngrp 30438

Description: The empty set is not a group. (Contributed by NM, 25-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0ngrp	⊢ ¬ ∅ ∈ GrpOp

Proof of Theorem 0ngrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 2939	. 2 ⊢ ¬ ∅ ≠ ∅
2		rn0 5922	. . . 4 ⊢ ran ∅ = ∅
3	2	eqcomi 2735	. . 3 ⊢ ∅ = ran ∅
4	3	grpon0 30429	. 2 ⊢ (∅ ∈ GrpOp → ∅ ≠ ∅)
5	1, 4	mto 196	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ GrpOp

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∅c0 4322  ran crn 5673  GrpOpcgr 30416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fo 6549  df-fv 6551  df-ov 7416  df-grpo 30420

This theorem is referenced by:  vsfval  30560  zrdivrng  37664