Theorem 0ngrp 31118

Description: The empty set is not a group. (Contributed by NM, 25-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0ngrp	⊢ ¬ ∅ ∈ GrpOp

Proof of Theorem 0ngrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 2964	. 2 ⊢ ¬ ∅ ≠ ∅
2		rn0 5907	. . . 4 ⊢ ran ∅ = ∅
3	2	eqcomi 2769	. . 3 ⊢ ∅ = ran ∅
4	3	grpon0 31109	. 2 ⊢ (∅ ∈ GrpOp → ∅ ≠ ∅)
5	1, 4	mto 200	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ GrpOp

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4278  ran crn 5651  GrpOpcgr 31096

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fo 6544  df-fv 6546  df-ov 7423  df-grpo 31100

This theorem is used by:  vsfval  31240  zrdivrng  38980