Theorem ensymb 9023

Description: Symmetry of equinumerosity. Theorem 2 of [Suppes] p. 92. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ensymb	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem ensymb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 9022	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ersymb 8739	. 2 ⊢ (⊤ → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))
4	3	mptru 1541	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 205  ⊤wtru 1535  Vcvv 3471   class class class wbr 5148   Er wer 8722   ≈ cen 8961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-er 8725  df-en 8965

This theorem is referenced by:  ensym  9024  0sdomgOLD  9130  snnen2oOLD  9252  cantnfp1lem2  9703  cantnflem1  9713  iscard2  10000  dffin1-5  10412  pmtrsn  19474  volmeas  33850  isnumbasgrplem1  42525  rp-isfinite6  42948  omssrncard  42970  prproropen  46848