Theorem ensymb 8743

Description: Symmetry of equinumerosity. Theorem 2 of [Suppes] p. 92. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ensymb	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem ensymb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 8742	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ersymb 8470	. 2 ⊢ (⊤ → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))
4	3	mptru 1546	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 205  ⊤wtru 1540  Vcvv 3422   class class class wbr 5070   Er wer 8453   ≈ cen 8688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-er 8456  df-en 8692

This theorem is referenced by:  ensym  8744  0sdomg  8842  snnen2o  8903  cantnfp1lem2  9367  cantnflem1  9377  iscard2  9665  dffin1-5  10075  pmtrsn  19042  volmeas  32099  isnumbasgrplem1  40842  rp-isfinite6  41023  ensucne0  41034  prproropen  44848