Theorem ensymb 9041

Description: Symmetry of equinumerosity. Theorem 2 of [Suppes] p. 92. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ensymb	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem ensymb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 9040	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ersymb 8758	. 2 ⊢ (⊤ → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))
4	3	mptru 1544	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 206  ⊤wtru 1538  Vcvv 3478   class class class wbr 5148   Er wer 8741   ≈ cen 8981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-er 8744  df-en 8985

This theorem is referenced by:  ensym  9042  0sdomgOLD  9144  snnen2oOLD  9262  cantnfp1lem2  9717  cantnflem1  9727  iscard2  10014  dffin1-5  10426  pmtrsn  19552  volmeas  34212  isnumbasgrplem1  43090  rp-isfinite6  43508  omssrncard  43530  prproropen  47433