Theorem ensymb 8973

Description: Symmetry of equinumerosity. Theorem 2 of [Suppes] p. 92. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ensymb	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem ensymb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 8972	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ersymb 8685	. 2 ⊢ (⊤ → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))
4	3	mptru 1547	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 206  ⊤wtru 1541  Vcvv 3447   class class class wbr 5107   Er wer 8668   ≈ cen 8915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-er 8671  df-en 8919

This theorem is referenced by:  ensym  8974  cantnfp1lem2  9632  cantnflem1  9642  iscard2  9929  dffin1-5  10341  pmtrsn  19449  volmeas  34221  isnumbasgrplem1  43090  rp-isfinite6  43507  omssrncard  43529  prproropen  47509