Theorem 0tsk 10793

Description: The empty set is a (transitive) Tarski class. (Contributed by FL, 30-Dec-2010.)

Assertion

Ref	Expression
0tsk	⊢ ∅ ∈ Tarski

Proof of Theorem 0tsk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4519	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ (𝒫 𝑥 ⊆ ∅ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∅)
2		elsni 4648	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
3		0ex 5313	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	enref 9024	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ≈ ∅
5		breq1 5151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ ∅))
6	4, 5	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → 𝑥 ≈ ∅)
7	6	orcd 873	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → (𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))
9		pw0 4817	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
10	8, 9	eleq2s 2857	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))
11	10	rgen 3061	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∅(𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅)
12		eltsk2g 10789	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ Tarski ↔ (∀𝑥 ∈ ∅ (𝒫 𝑥 ⊆ ∅ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∅(𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))))
13	3, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ Tarski ↔ (∀𝑥 ∈ ∅ (𝒫 𝑥 ⊆ ∅ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∅(𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅)))
14	1, 11, 13	mpbir2an 711	1 ⊢ ∅ ∈ Tarski

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   class class class wbr 5148   ≈ cen 8981  Tarskictsk 10786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-en 8985  df-tsk 10787

This theorem is referenced by:  r1tskina  10820  grutsk  10860  tskmcl  10879