MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0tsk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0tsk 10795
Description: The empty set is a (transitive) Tarski class. (Contributed by FL, 30-Dec-2010.)
Assertion
Ref Expression
0tsk ∅ ∈ Tarski

Proof of Theorem 0tsk
StepHypRef Expression
1 ral0 4513 . 2 𝑥 ∈ ∅ (𝒫 𝑥 ⊆ ∅ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∅)
2 elsni 4643 . . . . 5 (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
3 0ex 5307 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
43enref 9025 . . . . . . 7 ∅ ≈ ∅
5 breq1 5146 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ ∅))
64, 5mpbiri 258 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → 𝑥 ≈ ∅)
76orcd 874 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))
82, 7syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ {∅} → (𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))
9 pw0 4812 . . . 4 𝒫 ∅ = {∅}
108, 9eleq2s 2859 . . 3 (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))
1110rgen 3063 . 2 𝑥 ∈ 𝒫 ∅(𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅)
12 eltsk2g 10791 . . 3 (∅ ∈ V → (∅ ∈ Tarski ↔ (∀𝑥 ∈ ∅ (𝒫 𝑥 ⊆ ∅ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∅(𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))))
133, 12ax-mp 5 . 2 (∅ ∈ Tarski ↔ (∀𝑥 ∈ ∅ (𝒫 𝑥 ⊆ ∅ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∅(𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅)))
141, 11, 13mpbir2an 711 1 ∅ ∈ Tarski
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   class class class wbr 5143  cen 8982  Tarskictsk 10788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-en 8986  df-tsk 10789
This theorem is referenced by:  r1tskina  10822  grutsk  10862  tskmcl  10881
  Copyright terms: Public domain W3C validator