Theorem 0tsk 10824

Description: The empty set is a (transitive) Tarski class. (Contributed by FL, 30-Dec-2010.)

Assertion

Ref	Expression
0tsk	⊢ ∅ ∈ Tarski

Proof of Theorem 0tsk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4536	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ (𝒫 𝑥 ⊆ ∅ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∅)
2		elsni 4665	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
3		0ex 5325	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	enref 9045	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ≈ ∅
5		breq1 5169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ ∅))
6	4, 5	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → 𝑥 ≈ ∅)
7	6	orcd 872	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → (𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))
9		pw0 4837	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
10	8, 9	eleq2s 2862	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))
11	10	rgen 3069	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∅(𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅)
12		eltsk2g 10820	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ Tarski ↔ (∀𝑥 ∈ ∅ (𝒫 𝑥 ⊆ ∅ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∅(𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))))
13	3, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ Tarski ↔ (∀𝑥 ∈ ∅ (𝒫 𝑥 ⊆ ∅ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∅(𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅)))
14	1, 11, 13	mpbir2an 710	1 ⊢ ∅ ∈ Tarski

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  {csn 4648   class class class wbr 5166   ≈ cen 9000  Tarskictsk 10817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-en 9004  df-tsk 10818

This theorem is referenced by:  r1tskina  10851  grutsk  10891  tskmcl  10910