Theorem 0tsk 10678

Description: The empty set is a (transitive) Tarski class. (Contributed by FL, 30-Dec-2010.)

Assertion

Ref	Expression
0tsk	⊢ ∅ ∈ Tarski

Proof of Theorem 0tsk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4453	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ (𝒫 𝑥 ⊆ ∅ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∅)
2		elsni 4599	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
3		0ex 5254	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	enref 8934	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ≈ ∅
5		breq1 5103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ ∅))
6	4, 5	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → 𝑥 ≈ ∅)
7	6	orcd 874	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → (𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))
9		pw0 4770	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
10	8, 9	eleq2s 2855	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))
11	10	rgen 3054	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∅(𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅)
12		eltsk2g 10674	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ Tarski ↔ (∀𝑥 ∈ ∅ (𝒫 𝑥 ⊆ ∅ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∅(𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))))
13	3, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ Tarski ↔ (∀𝑥 ∈ ∅ (𝒫 𝑥 ⊆ ∅ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∅(𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅)))
14	1, 11, 13	mpbir2an 712	1 ⊢ ∅ ∈ Tarski

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556  {csn 4582   class class class wbr 5100   ≈ cen 8892  Tarskictsk 10671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-en 8896  df-tsk 10672

This theorem is referenced by:  r1tskina  10705  grutsk  10745  tskmcl  10764