MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0tsk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0tsk 10170
Description: The empty set is a (transitive) Tarski class. (Contributed by FL, 30-Dec-2010.)
Assertion
Ref Expression
0tsk ∅ ∈ Tarski

Proof of Theorem 0tsk
StepHypRef Expression
1 ral0 4417 . 2 𝑥 ∈ ∅ (𝒫 𝑥 ⊆ ∅ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∅)
2 elsni 4545 . . . . 5 (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
3 0ex 5178 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
43enref 8529 . . . . . . 7 ∅ ≈ ∅
5 breq1 5036 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ ∅))
64, 5mpbiri 261 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → 𝑥 ≈ ∅)
76orcd 870 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))
82, 7syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ {∅} → (𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))
9 pw0 4708 . . . 4 𝒫 ∅ = {∅}
108, 9eleq2s 2911 . . 3 (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))
1110rgen 3119 . 2 𝑥 ∈ 𝒫 ∅(𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅)
12 eltsk2g 10166 . . 3 (∅ ∈ V → (∅ ∈ Tarski ↔ (∀𝑥 ∈ ∅ (𝒫 𝑥 ⊆ ∅ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∅(𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))))
133, 12ax-mp 5 . 2 (∅ ∈ Tarski ↔ (∀𝑥 ∈ ∅ (𝒫 𝑥 ⊆ ∅ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∅(𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅)))
141, 11, 13mpbir2an 710 1 ∅ ∈ Tarski
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  Vcvv 3444  wss 3884  c0 4246  𝒫 cpw 4500  {csn 4528   class class class wbr 5033  cen 8493  Tarskictsk 10163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-en 8497  df-tsk 10164
This theorem is referenced by:  r1tskina  10197  grutsk  10237  tskmcl  10256
  Copyright terms: Public domain W3C validator