MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0tsk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0tsk 10687
Description: The empty set is a (transitive) Tarski class. (Contributed by FL, 30-Dec-2010.)
Assertion
Ref Expression
0tsk ∅ ∈ Tarski

Proof of Theorem 0tsk
StepHypRef Expression
1 ral0 4468 . 2 𝑥 ∈ ∅ (𝒫 𝑥 ⊆ ∅ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∅)
2 elsni 4601 . . . . 5 (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
3 0ex 5262 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
43enref 8921 . . . . . . 7 ∅ ≈ ∅
5 breq1 5106 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ ∅))
64, 5mpbiri 257 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → 𝑥 ≈ ∅)
76orcd 871 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))
82, 7syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ {∅} → (𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))
9 pw0 4770 . . . 4 𝒫 ∅ = {∅}
108, 9eleq2s 2856 . . 3 (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))
1110rgen 3064 . 2 𝑥 ∈ 𝒫 ∅(𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅)
12 eltsk2g 10683 . . 3 (∅ ∈ V → (∅ ∈ Tarski ↔ (∀𝑥 ∈ ∅ (𝒫 𝑥 ⊆ ∅ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∅(𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))))
133, 12ax-mp 5 . 2 (∅ ∈ Tarski ↔ (∀𝑥 ∈ ∅ (𝒫 𝑥 ⊆ ∅ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∅(𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅)))
141, 11, 13mpbir2an 709 1 ∅ ∈ Tarski
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  Vcvv 3443  wss 3908  c0 4280  𝒫 cpw 4558  {csn 4584   class class class wbr 5103  cen 8876  Tarskictsk 10680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-en 8880  df-tsk 10681
This theorem is referenced by:  r1tskina  10714  grutsk  10754  tskmcl  10773
  Copyright terms: Public domain W3C validator