Theorem 0tsk 10511

Description: The empty set is a (transitive) Tarski class. (Contributed by FL, 30-Dec-2010.)

Assertion

Ref	Expression
0tsk	⊢ ∅ ∈ Tarski

Proof of Theorem 0tsk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4443	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ (𝒫 𝑥 ⊆ ∅ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∅)
2		elsni 4578	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
3		0ex 5231	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	enref 8773	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ≈ ∅
5		breq1 5077	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ ∅))
6	4, 5	mpbiri 257	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → 𝑥 ≈ ∅)
7	6	orcd 870	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → (𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))
9		pw0 4745	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
10	8, 9	eleq2s 2857	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))
11	10	rgen 3074	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∅(𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅)
12		eltsk2g 10507	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ Tarski ↔ (∀𝑥 ∈ ∅ (𝒫 𝑥 ⊆ ∅ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∅(𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))))
13	3, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ Tarski ↔ (∀𝑥 ∈ ∅ (𝒫 𝑥 ⊆ ∅ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∅(𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅)))
14	1, 11, 13	mpbir2an 708	1 ⊢ ∅ ∈ Tarski

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  𝒫 cpw 4533  {csn 4561   class class class wbr 5074   ≈ cen 8730  Tarskictsk 10504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-en 8734  df-tsk 10505

This theorem is referenced by:  r1tskina  10538  grutsk  10578  tskmcl  10597