Theorem 0tsk 10795

Description: The empty set is a (transitive) Tarski class. (Contributed by FL, 30-Dec-2010.)

Assertion

Ref	Expression
0tsk	⊢ ∅ ∈ Tarski

Proof of Theorem 0tsk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4513	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ (𝒫 𝑥 ⊆ ∅ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∅)
2		elsni 4643	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
3		0ex 5307	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	enref 9025	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ≈ ∅
5		breq1 5146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ ∅))
6	4, 5	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → 𝑥 ≈ ∅)
7	6	orcd 874	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → (𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))
9		pw0 4812	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
10	8, 9	eleq2s 2859	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))
11	10	rgen 3063	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∅(𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅)
12		eltsk2g 10791	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ Tarski ↔ (∀𝑥 ∈ ∅ (𝒫 𝑥 ⊆ ∅ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∅(𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅))))
13	3, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ Tarski ↔ (∀𝑥 ∈ ∅ (𝒫 𝑥 ⊆ ∅ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∅(𝑥 ≈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ∅)))
14	1, 11, 13	mpbir2an 711	1 ⊢ ∅ ∈ Tarski

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   class class class wbr 5143   ≈ cen 8982  Tarskictsk 10788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-en 8986  df-tsk 10789

This theorem is referenced by:  r1tskina  10822  grutsk  10862  tskmcl  10881