Theorem tsksdom 10841

Description: An element of a Tarski class is strictly dominated by the class. JFM CLASSES2 th. 1. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tsksdom	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐴 ≺ 𝑇)

Proof of Theorem tsksdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		canth2g 9150	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑇 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
2		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ Tarski)
3		tskpwss 10837	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝑇)
4		ssdomg 9027	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝒫 𝐴 ⊆ 𝑇 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝑇))
5	2, 3, 4	sylc 66	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝑇)
6		sdomdomtr 9129	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≼ 𝑇) → 𝐴 ≺ 𝑇)
7	1, 5, 6	syl2an2 699	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐴 ≺ 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103   ≼ cdom 8971   ≺ csdm 8972  Tarskictsk 10833

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-tsk 10834

This theorem is used by:  2domtsk  10851  r1tskina  10867  tskuni  10868  tskurn  10874  inaprc  10921