Theorem tsksdom 10622

Description: An element of a Tarski class is strictly dominated by the class. JFM CLASSES2 th. 1. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tsksdom	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐴 ≺ 𝑇)

Proof of Theorem tsksdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		canth2g 9005	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑇 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
2		simpl 484	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ Tarski)
3		tskpwss 10618	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝑇)
4		ssdomg 8870	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝒫 𝐴 ⊆ 𝑇 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝑇))
5	2, 3, 4	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝑇)
6		sdomdomtr 8984	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≼ 𝑇) → 𝐴 ≺ 𝑇)
7	1, 5, 6	syl2an2 684	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐴 ≺ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4555   class class class wbr 5100   ≼ cdom 8811   ≺ csdm 8812  Tarskictsk 10614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-id 5525  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-er 8578  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-tsk 10615

This theorem is referenced by:  2domtsk  10632  r1tskina  10648  tskuni  10649  tskurn  10655  inaprc  10702