Theorem tsksdom 10796

Description: An element of a Tarski class is strictly dominated by the class. JFM CLASSES2 th. 1. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tsksdom	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐴 ≺ 𝑇)

Proof of Theorem tsksdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		canth2g 9171	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑇 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
2		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ Tarski)
3		tskpwss 10792	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝑇)
4		ssdomg 9040	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝒫 𝐴 ⊆ 𝑇 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝑇))
5	2, 3, 4	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝑇)
6		sdomdomtr 9150	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≼ 𝑇) → 𝐴 ≺ 𝑇)
7	1, 5, 6	syl2an2 686	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐴 ≺ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143   ≼ cdom 8983   ≺ csdm 8984  Tarskictsk 10788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-tsk 10789

This theorem is referenced by:  2domtsk  10806  r1tskina  10822  tskuni  10823  tskurn  10829  inaprc  10876