Theorem tsksdom 10794

Description: An element of a Tarski class is strictly dominated by the class. JFM CLASSES2 th. 1. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tsksdom	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐴 ≺ 𝑇)

Proof of Theorem tsksdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		canth2g 9170	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑇 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
2		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ Tarski)
3		tskpwss 10790	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝑇)
4		ssdomg 9039	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝒫 𝐴 ⊆ 𝑇 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝑇))
5	2, 3, 4	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝑇)
6		sdomdomtr 9149	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≼ 𝑇) → 𝐴 ≺ 𝑇)
7	1, 5, 6	syl2an2 686	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐴 ≺ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148   ≼ cdom 8982   ≺ csdm 8983  Tarskictsk 10786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-tsk 10787

This theorem is referenced by:  2domtsk  10804  r1tskina  10820  tskuni  10821  tskurn  10827  inaprc  10874