Theorem tsksdom 10854

Description: An element of a Tarski class is strictly dominated by the class. JFM CLASSES2 th. 1. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tsksdom	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐴 ≺ 𝑇)

Proof of Theorem tsksdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		canth2g 9164	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑇 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
2		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ Tarski)
3		tskpwss 10850	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝑇)
4		ssdomg 9041	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝒫 𝐴 ⊆ 𝑇 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝑇))
5	2, 3, 4	sylc 66	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝑇)
6		sdomdomtr 9143	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≼ 𝑇) → 𝐴 ≺ 𝑇)
7	1, 5, 6	syl2an2 699	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐴 ≺ 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5106   ≼ cdom 8985   ≺ csdm 8986  Tarskictsk 10846

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-tsk 10847

This theorem is used by:  2domtsk  10864  r1tskina  10880  tskuni  10881  tskurn  10887  inaprc  10934