Theorem grutsk 10736

Description: Grothendieck universes are the same as transitive Tarski classes. (The proof in the forward direction requires Foundation.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grutsk	⊢ Univ = {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥}

Proof of Theorem grutsk

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0tsk 10669	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ Tarski
2		eleq1 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∈ Tarski ↔ ∅ ∈ Tarski))
3	1, 2	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → 𝑦 ∈ Tarski)
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → (𝑦 = ∅ → 𝑦 ∈ Tarski))
5		vex 3434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
6		unir1 9728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
7	5, 6	eleqtrri 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
8		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∩ On) = (𝑦 ∩ On)
9	8	grur1 10734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)) → 𝑦 = (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)))
10	7, 9	mpan2 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → 𝑦 = (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)))
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 = (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)))
12	8	gruina 10732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑦 ∩ On) ∈ Inacc)
13		inatsk 10692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∩ On) ∈ Inacc → (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)) ∈ Tarski)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)) ∈ Tarski)
15	11, 14	eqeltrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ∈ Tarski)
16	15	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → (𝑦 ≠ ∅ → 𝑦 ∈ Tarski))
17	4, 16	pm2.61dne 3019	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → 𝑦 ∈ Tarski)
18		grutr 10707	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → Tr 𝑦)
19	17, 18	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → (𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦))
20		grutsk1 10735	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ Univ)
21	19, 20	impbii 209	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ Univ ↔ (𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦))
22		treq 5200	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Tr 𝑥 ↔ Tr 𝑦))
23	22	elrab 3635	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦))
24	21, 23	bitr4i 278	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ Univ ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥})
25	24	eqriv 2734	1 ⊢ Univ = {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥}

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3390  Vcvv 3430   ∩ cin 3889  ∅c0 4274  ∪ cuni 4851  Tr wtr 5193   “ cima 5627  Oncon0 6317  ‘cfv 6492  𝑅₁cr1 9677  Inacccina 10597  Tarskictsk 10662  Univcgru 10704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-reg 9500  ax-inf2 9553  ax-ac2 10376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-smo 8279  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-oi 9418  df-har 9465  df-tc 9647  df-r1 9679  df-rank 9680  df-card 9854  df-aleph 9855  df-cf 9856  df-acn 9857  df-ac 10029  df-wina 10598  df-ina 10599  df-tsk 10663  df-gru 10705

This theorem is referenced by: (None)