Theorem grutsk 10743

Description: Grothendieck universes are the same as transitive Tarski classes. (The proof in the forward direction requires Foundation.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grutsk	⊢ Univ = {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥}

Proof of Theorem grutsk

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0tsk 10676	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ Tarski
2		eleq1 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∈ Tarski ↔ ∅ ∈ Tarski))
3	1, 2	mpbiri 259	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → 𝑦 ∈ Tarski)
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → (𝑦 = ∅ → 𝑦 ∈ Tarski))
5		vex 3436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
6		unir1 9735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
7	5, 6	eleqtrri 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
8		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∩ On) = (𝑦 ∩ On)
9	8	grur1 10741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)) → 𝑦 = (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)))
10	7, 9	mpan2 697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → 𝑦 = (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)))
11	10	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 = (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)))
12	8	gruina 10739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑦 ∩ On) ∈ Inacc)
13		inatsk 10699	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∩ On) ∈ Inacc → (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)) ∈ Tarski)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)) ∈ Tarski)
15	11, 14	eqeltrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ∈ Tarski)
16	15	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → (𝑦 ≠ ∅ → 𝑦 ∈ Tarski))
17	4, 16	pm2.61dne 3021	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → 𝑦 ∈ Tarski)
18		grutr 10714	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → Tr 𝑦)
19	17, 18	jca 516	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → (𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦))
20		grutsk1 10742	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ Univ)
21	19, 20	impbii 210	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ Univ ↔ (𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦))
22		treq 5193	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Tr 𝑥 ↔ Tr 𝑦))
23	22	elrab 3636	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦))
24	21, 23	bitr4i 279	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ Univ ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥})
25	24	eqriv 2737	1 ⊢ Univ = {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥}

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  {crab 3392  Vcvv 3432   ∩ cin 3889  ∅c0 4268  ∪ cuni 4845  Tr wtr 5186   “ cima 5628  Oncon0 6317  ‘cfv 6492  𝑅₁cr1 9684  Inacccina 10604  Tarskictsk 10669  Univcgru 10711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-reg 9504  ax-inf2 9560  ax-ac2 10383

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-smo 8283  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-oi 9422  df-har 9469  df-tc 9654  df-r1 9686  df-rank 9687  df-card 9861  df-aleph 9862  df-cf 9863  df-acn 9864  df-ac 10036  df-wina 10605  df-ina 10606  df-tsk 10670  df-gru 10712

This theorem is referenced by: (None)