Theorem grutsk 10860

Description: Grothendieck universes are the same as transitive Tarski classes. (The proof in the forward direction requires Foundation.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grutsk	⊢ Univ = {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥}

Proof of Theorem grutsk

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0tsk 10793	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ Tarski
2		eleq1 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∈ Tarski ↔ ∅ ∈ Tarski))
3	1, 2	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → 𝑦 ∈ Tarski)
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → (𝑦 = ∅ → 𝑦 ∈ Tarski))
5		vex 3482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
6		unir1 9851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
7	5, 6	eleqtrri 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
8		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∩ On) = (𝑦 ∩ On)
9	8	grur1 10858	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)) → 𝑦 = (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)))
10	7, 9	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → 𝑦 = (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)))
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 = (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)))
12	8	gruina 10856	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑦 ∩ On) ∈ Inacc)
13		inatsk 10816	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∩ On) ∈ Inacc → (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)) ∈ Tarski)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)) ∈ Tarski)
15	11, 14	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ∈ Tarski)
16	15	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → (𝑦 ≠ ∅ → 𝑦 ∈ Tarski))
17	4, 16	pm2.61dne 3026	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → 𝑦 ∈ Tarski)
18		grutr 10831	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → Tr 𝑦)
19	17, 18	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → (𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦))
20		grutsk1 10859	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ Univ)
21	19, 20	impbii 209	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ Univ ↔ (𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦))
22		treq 5273	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Tr 𝑥 ↔ Tr 𝑦))
23	22	elrab 3695	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦))
24	21, 23	bitr4i 278	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ Univ ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥})
25	24	eqriv 2732	1 ⊢ Univ = {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥}

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  {crab 3433  Vcvv 3478   ∩ cin 3962  ∅c0 4339  ∪ cuni 4912  Tr wtr 5265   “ cima 5692  Oncon0 6386  ‘cfv 6563  𝑅₁cr1 9800  Inacccina 10721  Tarskictsk 10786  Univcgru 10828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-reg 9630  ax-inf2 9679  ax-ac2 10501

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-smo 8385  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-oi 9548  df-har 9595  df-tc 9775  df-r1 9802  df-rank 9803  df-card 9977  df-aleph 9978  df-cf 9979  df-acn 9980  df-ac 10154  df-wina 10722  df-ina 10723  df-tsk 10787  df-gru 10829

This theorem is referenced by: (None)