MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grutsk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grutsk 10863
Description: Grothendieck universes are the same as transitive Tarski classes. (The proof in the forward direction requires Foundation.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
grutsk Univ = {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥}

Proof of Theorem grutsk
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0tsk 10796 . . . . . . . 8 ∅ ∈ Tarski
2 eleq1 2828 . . . . . . . 8 (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∈ Tarski ↔ ∅ ∈ Tarski))
31, 2mpbiri 258 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → 𝑦 ∈ Tarski)
43a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Univ → (𝑦 = ∅ → 𝑦 ∈ Tarski))
5 vex 3483 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
6 unir1 9854 . . . . . . . . . . 11 (𝑅1 “ On) = V
75, 6eleqtrri 2839 . . . . . . . . . 10 𝑦 (𝑅1 “ On)
8 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∩ On) = (𝑦 ∩ On)
98grur1 10861 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 (𝑅1 “ On)) → 𝑦 = (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)))
107, 9mpan2 691 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Univ → 𝑦 = (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)))
1110adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 = (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)))
128gruina 10859 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑦 ∩ On) ∈ Inacc)
13 inatsk 10819 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∩ On) ∈ Inacc → (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)) ∈ Tarski)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)) ∈ Tarski)
1511, 14eqeltrd 2840 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ∈ Tarski)
1615ex 412 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Univ → (𝑦 ≠ ∅ → 𝑦 ∈ Tarski))
174, 16pm2.61dne 3027 . . . . 5 (𝑦 ∈ Univ → 𝑦 ∈ Tarski)
18 grutr 10834 . . . . 5 (𝑦 ∈ Univ → Tr 𝑦)
1917, 18jca 511 . . . 4 (𝑦 ∈ Univ → (𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦))
20 grutsk1 10862 . . . 4 ((𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ Univ)
2119, 20impbii 209 . . 3 (𝑦 ∈ Univ ↔ (𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦))
22 treq 5266 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (Tr 𝑥 ↔ Tr 𝑦))
2322elrab 3691 . . 3 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦))
2421, 23bitr4i 278 . 2 (𝑦 ∈ Univ ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥})
2524eqriv 2733 1 Univ = {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  {crab 3435  Vcvv 3479  cin 3949  c0 4332   cuni 4906  Tr wtr 5258  cima 5687  Oncon0 6383  cfv 6560  𝑅1cr1 9803  Inacccina 10724  Tarskictsk 10789  Univcgru 10831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-reg 9633  ax-inf2 9682  ax-ac2 10504
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-smo 8387  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-oi 9551  df-har 9598  df-tc 9778  df-r1 9805  df-rank 9806  df-card 9980  df-aleph 9981  df-cf 9982  df-acn 9983  df-ac 10157  df-wina 10725  df-ina 10726  df-tsk 10790  df-gru 10832
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator