Theorem grutsk 10847

Description: Grothendieck universes are the same as transitive Tarski classes. (The proof in the forward direction requires Foundation.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grutsk	⊢ Univ = {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥}

Proof of Theorem grutsk

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0tsk 10780	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ Tarski
2		eleq1 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∈ Tarski ↔ ∅ ∈ Tarski))
3	1, 2	mpbiri 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → 𝑦 ∈ Tarski)
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → (𝑦 = ∅ → 𝑦 ∈ Tarski))
5		vex 3465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
6		unir1 9838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
7	5, 6	eleqtrri 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
8		eqid 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∩ On) = (𝑦 ∩ On)
9	8	grur1 10845	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)) → 𝑦 = (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)))
10	7, 9	mpan2 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → 𝑦 = (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)))
11	10	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 = (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)))
12	8	gruina 10843	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑦 ∩ On) ∈ Inacc)
13		inatsk 10803	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∩ On) ∈ Inacc → (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)) ∈ Tarski)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)) ∈ Tarski)
15	11, 14	eqeltrd 2825	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ∈ Tarski)
16	15	ex 411	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → (𝑦 ≠ ∅ → 𝑦 ∈ Tarski))
17	4, 16	pm2.61dne 3017	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → 𝑦 ∈ Tarski)
18		grutr 10818	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → Tr 𝑦)
19	17, 18	jca 510	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → (𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦))
20		grutsk1 10846	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ Univ)
21	19, 20	impbii 208	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ Univ ↔ (𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦))
22		treq 5274	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Tr 𝑥 ↔ Tr 𝑦))
23	22	elrab 3679	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦))
24	21, 23	bitr4i 277	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ Univ ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥})
25	24	eqriv 2722	1 ⊢ Univ = {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥}

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  {crab 3418  Vcvv 3461   ∩ cin 3943  ∅c0 4322  ∪ cuni 4909  Tr wtr 5266   “ cima 5681  Oncon0 6371  ‘cfv 6549  𝑅₁cr1 9787  Inacccina 10708  Tarskictsk 10773  Univcgru 10815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-reg 9617  ax-inf2 9666  ax-ac2 10488

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-smo 8367  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-oi 9535  df-har 9582  df-tc 9762  df-r1 9789  df-rank 9790  df-card 9964  df-aleph 9965  df-cf 9966  df-acn 9967  df-ac 10141  df-wina 10709  df-ina 10710  df-tsk 10774  df-gru 10816

This theorem is referenced by: (None)