MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grutsk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grutsk 10847
Description: Grothendieck universes are the same as transitive Tarski classes. (The proof in the forward direction requires Foundation.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
grutsk Univ = {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥}

Proof of Theorem grutsk
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0tsk 10780 . . . . . . . 8 ∅ ∈ Tarski
2 eleq1 2813 . . . . . . . 8 (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∈ Tarski ↔ ∅ ∈ Tarski))
31, 2mpbiri 257 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → 𝑦 ∈ Tarski)
43a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Univ → (𝑦 = ∅ → 𝑦 ∈ Tarski))
5 vex 3465 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
6 unir1 9838 . . . . . . . . . . 11 (𝑅1 “ On) = V
75, 6eleqtrri 2824 . . . . . . . . . 10 𝑦 (𝑅1 “ On)
8 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∩ On) = (𝑦 ∩ On)
98grur1 10845 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 (𝑅1 “ On)) → 𝑦 = (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)))
107, 9mpan2 689 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Univ → 𝑦 = (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)))
1110adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 = (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)))
128gruina 10843 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑦 ∩ On) ∈ Inacc)
13 inatsk 10803 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∩ On) ∈ Inacc → (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)) ∈ Tarski)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)) ∈ Tarski)
1511, 14eqeltrd 2825 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ∈ Tarski)
1615ex 411 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Univ → (𝑦 ≠ ∅ → 𝑦 ∈ Tarski))
174, 16pm2.61dne 3017 . . . . 5 (𝑦 ∈ Univ → 𝑦 ∈ Tarski)
18 grutr 10818 . . . . 5 (𝑦 ∈ Univ → Tr 𝑦)
1917, 18jca 510 . . . 4 (𝑦 ∈ Univ → (𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦))
20 grutsk1 10846 . . . 4 ((𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ Univ)
2119, 20impbii 208 . . 3 (𝑦 ∈ Univ ↔ (𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦))
22 treq 5274 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (Tr 𝑥 ↔ Tr 𝑦))
2322elrab 3679 . . 3 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦))
2421, 23bitr4i 277 . 2 (𝑦 ∈ Univ ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥})
2524eqriv 2722 1 Univ = {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  {crab 3418  Vcvv 3461  cin 3943  c0 4322   cuni 4909  Tr wtr 5266  cima 5681  Oncon0 6371  cfv 6549  𝑅1cr1 9787  Inacccina 10708  Tarskictsk 10773  Univcgru 10815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-reg 9617  ax-inf2 9666  ax-ac2 10488
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-smo 8367  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-oi 9535  df-har 9582  df-tc 9762  df-r1 9789  df-rank 9790  df-card 9964  df-aleph 9965  df-cf 9966  df-acn 9967  df-ac 10141  df-wina 10709  df-ina 10710  df-tsk 10774  df-gru 10816
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator