Theorem grutsk 10782

Description: Grothendieck universes are the same as transitive Tarski classes. (The proof in the forward direction requires Foundation.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grutsk	⊢ Univ = {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥}

Proof of Theorem grutsk

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0tsk 10715	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ Tarski
2		eleq1 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∈ Tarski ↔ ∅ ∈ Tarski))
3	1, 2	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → 𝑦 ∈ Tarski)
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → (𝑦 = ∅ → 𝑦 ∈ Tarski))
5		vex 3454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
6		unir1 9773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
7	5, 6	eleqtrri 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
8		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∩ On) = (𝑦 ∩ On)
9	8	grur1 10780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)) → 𝑦 = (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)))
10	7, 9	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → 𝑦 = (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)))
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 = (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)))
12	8	gruina 10778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑦 ∩ On) ∈ Inacc)
13		inatsk 10738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∩ On) ∈ Inacc → (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)) ∈ Tarski)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)) ∈ Tarski)
15	11, 14	eqeltrd 2829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ∈ Tarski)
16	15	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → (𝑦 ≠ ∅ → 𝑦 ∈ Tarski))
17	4, 16	pm2.61dne 3012	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → 𝑦 ∈ Tarski)
18		grutr 10753	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → Tr 𝑦)
19	17, 18	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ Univ → (𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦))
20		grutsk1 10781	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ Univ)
21	19, 20	impbii 209	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ Univ ↔ (𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦))
22		treq 5225	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Tr 𝑥 ↔ Tr 𝑦))
23	22	elrab 3662	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦))
24	21, 23	bitr4i 278	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ Univ ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥})
25	24	eqriv 2727	1 ⊢ Univ = {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥}

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  {crab 3408  Vcvv 3450   ∩ cin 3916  ∅c0 4299  ∪ cuni 4874  Tr wtr 5217   “ cima 5644  Oncon0 6335  ‘cfv 6514  𝑅₁cr1 9722  Inacccina 10643  Tarskictsk 10708  Univcgru 10750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-reg 9552  ax-inf2 9601  ax-ac2 10423

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-smo 8318  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-oi 9470  df-har 9517  df-tc 9697  df-r1 9724  df-rank 9725  df-card 9899  df-aleph 9900  df-cf 9901  df-acn 9902  df-ac 10076  df-wina 10644  df-ina 10645  df-tsk 10709  df-gru 10751

This theorem is referenced by: (None)