MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1div0apr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1div0apr 29454
Description: Division by zero is forbidden! If we try, we encounter the DO NOT ENTER sign, which in mathematics means it is foolhardy to venture any further, possibly putting the underlying fabric of reality at risk. Based on a dare by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1div0apr (1 / 0) = โˆ…

Proof of Theorem 1div0apr
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-div 11820 . . 3 / = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„‚ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) = ๐‘ฅ))
2 riotaex 7322 . . 3 (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„‚ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) = ๐‘ฅ) โˆˆ V
31, 2dmmpo 8008 . 2 dom / = (โ„‚ ร— (โ„‚ โˆ– {0}))
4 eqid 2737 . . 3 0 = 0
5 eldifsni 4755 . . . . 5 (0 โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ 0 โ‰  0)
65adantl 483 . . . 4 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ 0 โ‰  0)
76necon2bi 2975 . . 3 (0 = 0 โ†’ ยฌ (1 โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})))
84, 7ax-mp 5 . 2 ยฌ (1 โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
9 ndmovg 7542 . 2 ((dom / = (โ„‚ ร— (โ„‚ โˆ– {0})) โˆง ยฌ (1 โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))) โ†’ (1 / 0) = โˆ…)
103, 8, 9mp2an 691 1 (1 / 0) = โˆ…
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   โˆ– cdif 3912  โˆ…c0 4287  {csn 4591   ร— cxp 5636  dom cdm 5638  โ„ฉcrio 7317  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   ยท cmul 11063   / cdiv 11819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-div 11820
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator