Theorem dmmpo 8104

Description: Domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
fnmpoi.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
dmmpo	⊢ dom 𝐹 = (𝐴 × 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem dmmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2		fnmpoi.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
3	1, 2	fnmpoi 8103	. 2 ⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)
4	3	fndmi 6662	1 ⊢ dom 𝐹 = (𝐴 × 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   × cxp 5653  dom cdm 5655   ∈ cmpo 7442

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-fv 6563  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-1st 8022  df-2nd 8023

This theorem is used by:  1div0  11999  swrd00  14817  swrd0  14833  pfx00  14849  pfx0  14850  repsundef  14947  cshnz  14968  imasvscafn  17735  imasvscaval  17736  iscnp2  23584  xkococnlem  24005  ucnima  24626  ucnprima  24627  tngtopn  24996  1div0apr  31096  smatlem  34496  elunirnmbfm  34952  rrxsphere  50063