Theorem dmmpo 8053

Description: Domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
fnmpoi.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
dmmpo	⊢ dom 𝐹 = (𝐴 × 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dmmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2		fnmpoi.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
3	1, 2	fnmpoi 8052	. 2 ⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)
4	3	fndmi 6650	1 ⊢ dom 𝐹 = (𝐴 × 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   × cxp 5673  dom cdm 5675   ∈ cmpo 7407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972

This theorem is referenced by:  1div0  11869  swrd00  14590  swrd0  14604  pfx00  14620  pfx0  14621  repsundef  14717  cshnz  14738  imasvscafn  17479  imasvscaval  17480  iscnp2  22734  xkococnlem  23154  ucnima  23777  ucnprima  23778  tngtopn  24158  1div0apr  29710  smatlem  32765  elunirnmbfm  33238  rrxsphere  47387