Theorem dmmpo 7751

Description: Domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
fnmpoi.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
dmmpo	⊢ dom 𝐹 = (𝐴 × 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dmmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2		fnmpoi.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
3	1, 2	fnmpoi 7750	. 2 ⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)
4	3	fndmi 6426	1 ⊢ dom 𝐹 = (𝐴 × 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   × cxp 5517  dom cdm 5519   ∈ cmpo 7137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672

This theorem is referenced by:  1div0  11288  swrd00  13997  swrd0  14011  pfx00  14027  pfx0  14028  repsundef  14124  cshnz  14145  imasvscafn  16802  imasvscaval  16803  iscnp2  21844  xkococnlem  22264  ucnima  22887  ucnprima  22888  tngtopn  23256  1div0apr  28253  smatlem  31150  elunirnmbfm  31621  rrxsphere  45162