MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvge0 19525
Description: The absolute value of a number is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvf.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvf.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvge0 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → 0 ≤ (𝐹𝑋))

Proof of Theorem abvge0
StepHypRef Expression
1 abvf.a . . . 4 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2 abvf.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
31, 2abvfge0 19522 . . 3 (𝐹𝐴𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞))
43ffvelrnda 6843 . 2 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ (0[,)+∞))
5 elrege0 12830 . . 3 ((𝐹𝑋) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑋)))
65simprbi 497 . 2 ((𝐹𝑋) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝐹𝑋))
74, 6syl 17 1 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → 0 ≤ (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  +∞cpnf 10660  cle 10664  [,)cico 12728  Basecbs 16471  AbsValcabv 19516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-addrcl 10586  ax-rnegex 10596  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-ico 12732  df-abv 19517
This theorem is referenced by:  abvgt0  19528  abvneg  19534  abvcxp  26118  ostth2lem2  26137
  Copyright terms: Public domain W3C validator