Theorem abvge0 20083

Description: The absolute value of a number is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvf.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvge0	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem abvge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvf.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2		abvf.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	abvfge0 20080	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞))
4	3	ffvelrnda 6958	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ (0[,)+∞))
5		elrege0 13185	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑋)))
6	5	simprbi 497	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝑋))
7	4, 6	syl 17	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  ℝcr 10871  0cc0 10872  +∞cpnf 11007   ≤ cle 11011  [,)cico 13080  Basecbs 16910  AbsValcabv 20074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-addrcl 10933  ax-rnegex 10943  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-ico 13084  df-abv 20075

This theorem is referenced by:  abvgt0  20086  abvneg  20092  abvcxp  26761  ostth2lem2  26780