Theorem abvge0 20782

Description: The absolute value of a number is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvf.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvge0	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem abvge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvf.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2		abvf.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	abvfge0 20779	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞))
4	3	ffvelcdmda 7079	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ (0[,)+∞))
5		elrege0 13476	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑋)))
6	5	simprbi 496	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝑋))
7	4, 6	syl 17	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  0cc0 11134  +∞cpnf 11271   ≤ cle 11275  [,)cico 13369  Basecbs 17233  AbsValcabv 20773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-addrcl 11195  ax-rnegex 11205  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-ico 13373  df-abv 20774

This theorem is referenced by:  abvgt0  20785  abvneg  20791  abvcxp  27583  ostth2lem2  27602  fiabv  42526