MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvf 20325
Description: An absolute value is a function from the ring to the real numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvf.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
abvf.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
abvf (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„)

Proof of Theorem abvf
StepHypRef Expression
1 abvf.a . . 3 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
2 abvf.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
31, 2abvfge0 20324 . 2 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝐹:𝐡⟢(0[,)+∞))
4 rge0ssre 13382 . 2 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
5 fss 6689 . 2 ((𝐹:𝐡⟢(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„)
63, 4, 5sylancl 587 1 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  0cc0 11059  +∞cpnf 11194  [,)cico 13275  Basecbs 17091  AbsValcabv 20318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-addrcl 11120  ax-rnegex 11130  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-ico 13279  df-abv 20319
This theorem is referenced by:  abvcl  20326  abvres  20341  abvmet  23954  tngnrg  24061  ostthlem1  26998
  Copyright terms: Public domain W3C validator