Theorem abvf 21099

Description: An absolute value is a function from the ring to the real numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvf.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvf	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:𝐵⟶ℝ)

Proof of Theorem abvf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2		abvf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	abvfge0 21098	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞))
4		rge0ssre 13611	. 2 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5		fss 6745	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:𝐵⟶ℝ)
6	3, 4, 5	sylancl 598	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:𝐵⟶ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℝcr 11223  0cc0 11224  +∞cpnf 11364  [,)cico 13502  Basecbs 17413  AbsValcabv 21092

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-addrcl 11285  ax-rnegex 11295  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-ico 13506  df-abv 21093

This theorem is used by:  abvcl  21100  abvres  21115  abvmet  24921  tngnrg  25020  ostthlem1  27981  fiabv  43791