Theorem abvf 20794

Description: An absolute value is a function from the ring to the real numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvf.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvf	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:𝐵⟶ℝ)

Proof of Theorem abvf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2		abvf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	abvfge0 20793	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞))
4		rge0ssre 13411	. 2 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5		fss 6686	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:𝐵⟶ℝ)
6	3, 4, 5	sylancl 587	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:𝐵⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7369  ℝcr 11039  0cc0 11040  +∞cpnf 11178  [,)cico 13302  Basecbs 17181  AbsValcabv 20787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7691  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-addrcl 11101  ax-rnegex 11111  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11183  df-mnf 11184  df-xr 11185  df-ltxr 11186  df-le 11187  df-ico 13306  df-abv 20788

This theorem is referenced by:  abvcl  20795  abvres  20810  abvmet  24542  tngnrg  24641  ostthlem1  27592  fiabv  42983