Theorem abvf 20775

Description: An absolute value is a function from the ring to the real numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvf.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvf	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:𝐵⟶ℝ)

Proof of Theorem abvf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2		abvf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	abvfge0 20774	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞))
4		rge0ssre 13473	. 2 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5		fss 6722	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:𝐵⟶ℝ)
6	3, 4, 5	sylancl 586	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:𝐵⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129  +∞cpnf 11266  [,)cico 13364  Basecbs 17228  AbsValcabv 20768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-addrcl 11190  ax-rnegex 11200  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-ico 13368  df-abv 20769

This theorem is referenced by:  abvcl  20776  abvres  20791  abvmet  24514  tngnrg  24613  ostthlem1  27590  fiabv  42559