Theorem ac4c 10386

Description: Equivalent of Axiom of Choice (class version). (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)

Hypothesis

Ref	Expression
ac4c.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ac4c	⊢ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐴

Proof of Theorem ac4c

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac4c.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		raleq 3293	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
3	2	exbidv 1922	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
4		ac4 10385	. 2 ⊢ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
5	1, 3, 4	vtocl 3515	1 ⊢ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  Vcvv 3440  ∅c0 4285  ‘cfv 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-ac2 10373

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ac 10026

This theorem is referenced by:  axdclem2  10430