Theorem basgen2 22964

Description: Given a topology 𝐽, show that a subset 𝐵 satisfying the third antecedent is a basis for it. Lemma 2.3 of [Munkres] p. 81. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
basgen2	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥)) → (topGen‘𝐵) = 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥,𝐽,𝑦,𝑧

Proof of Theorem basgen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss3 3911	. . . 4 ⊢ (𝐽 ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵))
2		ssexg 5260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐽 ∈ Top) → 𝐵 ∈ V)
3	2	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽) → 𝐵 ∈ V)
4		eltg2b 22934	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥)))
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥)))
6	5	ralbidv 3161	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽) → (∀𝑥 ∈ 𝐽 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥)))
7	1, 6	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽) → (𝐽 ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥)))
8	7	biimp3ar 1473	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥)) → 𝐽 ⊆ (topGen‘𝐵))
9		basgen 22963	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐽 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) = 𝐽)
10	8, 9	syld3an3 1412	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥)) → (topGen‘𝐵) = 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  topGenctg 17391  Topctop 22868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-topgen 17397  df-top 22869

This theorem is referenced by:  pptbas  22983  2ndcctbss  23430  2ndcomap  23433  dis2ndc  23435  met2ndci  24497