MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  met2ndci Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem met2ndci 24038
Description: A separable metric space (a metric space with a countable dense subset) is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
met2ndci ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ 2ndΟ‰)

Proof of Theorem met2ndci
Dummy variables 𝑛 π‘Ÿ 𝑑 𝑒 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 methaus.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
21mopntop 23953 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
32adantr 481 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
4 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
5 simplr1 1215 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
6 simprr 771 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
75, 6sseldd 3983 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
8 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
98nnrpd 13016 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
109rpreccld 13028 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ+)
1110rpxrd 13019 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ*)
121blopn 24016 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (1 / π‘₯) ∈ ℝ*) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ∈ 𝐽)
134, 7, 11, 12syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ∈ 𝐽)
1413ralrimivva 3200 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ∈ 𝐽)
15 eqid 2732 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))
1615fmpo 8056 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ∈ 𝐽 ↔ (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))):(β„• Γ— 𝐴)⟢𝐽)
1714, 16sylib 217 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))):(β„• Γ— 𝐴)⟢𝐽)
1817frnd 6725 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) βŠ† 𝐽)
19 simpll 765 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
20 simprl 769 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) β†’ 𝑒 ∈ 𝐽)
21 simprr 771 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑒)
221mopni2 24009 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)
2319, 20, 21, 22syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)
24 simprl 769 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
2524rphalfcld 13030 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
26 elrp 12978 . . . . . . . 8 ((π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+ ↔ ((π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘Ÿ / 2)))
27 nnrecl 12472 . . . . . . . 8 (((π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘Ÿ / 2)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2))
2826, 27sylbi 216 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2))
2925, 28syl 17 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2))
303ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
31 simpr1 1194 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
3231ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
331mopnuni 23954 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
3433ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
3532, 34sseqtrd 4022 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽)
36 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑒)
37 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐽)
38 elunii 4913 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐽)
3936, 37, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐽)
4039, 34eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
41 simpr3 1196 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)
4241ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)
4340, 42eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑧 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
4419adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
45 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
4645nnrpd 13016 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
4746rpreccld 13028 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
4847rpxrd 13019 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ*)
491blopn 24016 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ*) β†’ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ 𝐽)
5044, 40, 48, 49syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ 𝐽)
51 blcntr 23926 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+) β†’ 𝑧 ∈ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
5244, 40, 47, 51syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑧 ∈ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
53 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
5453clsndisj 22586 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) ∧ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))) β†’ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
5530, 35, 43, 50, 52, 54syl32anc 1378 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
56 n0 4346 . . . . . . . . 9 (((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘‘ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴))
5755, 56sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ βˆƒπ‘‘ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴))
5845adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
59 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴))
6059elin2d 4199 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
61 eqidd 2733 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
62 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (1 / π‘₯) = (1 / 𝑛))
6362oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
6463eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑛 β†’ ((𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ↔ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛))))
65 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑑 β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
6665eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑑 β†’ ((𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ↔ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛))))
6764, 66rspc2ev 3624 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))
6858, 60, 61, 67syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))
69 ovex 7444 . . . . . . . . . . 11 (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ V
70 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) β†’ (𝑧 = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ↔ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))))
71702rexbidv 3219 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))))
7215rnmpo 7544 . . . . . . . . . . 11 ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) = {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))}
7369, 71, 72elab2 3672 . . . . . . . . . 10 ((𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))
7468, 73sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))))
7559elin1d 4198 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑑 ∈ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
7644adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
7748adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ*)
7840adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
7932adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
8079, 60sseldd 3983 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑋)
81 blcom 23907 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑑 ∈ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ↔ 𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛))))
8276, 77, 78, 80, 81syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑 ∈ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ↔ 𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛))))
8375, 82mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
84 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
8584adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
8685rphalfcld 13030 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
8786rpxrd 13019 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ*)
88 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2))
8984rphalfcld 13030 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
90 rpre 12984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 𝑛) ∈ ℝ+ β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
91 rpre 12984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ)
92 ltle 11304 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ) β†’ ((1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2) β†’ (1 / 𝑛) ≀ (π‘Ÿ / 2)))
9390, 91, 92syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / 𝑛) ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+) β†’ ((1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2) β†’ (1 / 𝑛) ≀ (π‘Ÿ / 2)))
9447, 89, 93syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ ((1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2) β†’ (1 / 𝑛) ≀ (π‘Ÿ / 2)))
9588, 94mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (1 / 𝑛) ≀ (π‘Ÿ / 2))
9695adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (1 / 𝑛) ≀ (π‘Ÿ / 2))
97 ssbl 23936 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 ∈ 𝑋) ∧ ((1 / 𝑛) ∈ ℝ* ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ*) ∧ (1 / 𝑛) ≀ (π‘Ÿ / 2)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) βŠ† (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))
9876, 80, 77, 87, 96, 97syl221anc 1381 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) βŠ† (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))
9985rpred 13018 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
10098, 83sseldd 3983 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))
101 blhalf 23918 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) βŠ† (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
10276, 80, 99, 100, 101syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) βŠ† (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
103 simprlr 778 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)
104103adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)
105102, 104sstrd 3992 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) βŠ† 𝑒)
10698, 105sstrd 3992 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) βŠ† 𝑒)
107 eleq2 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ 𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛))))
108 sseq1 4007 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) β†’ (𝑀 βŠ† 𝑒 ↔ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) βŠ† 𝑒))
109107, 108anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒) ↔ (𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∧ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) βŠ† 𝑒)))
110109rspcev 3612 . . . . . . . . 9 (((𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∧ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
11174, 83, 106, 110syl12anc 835 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
11257, 111exlimddv 1938 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
113112anassrs 468 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
11429, 113rexlimddv 3161 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
11523, 114rexlimddv 3161 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
116115ralrimivva 3200 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
117 basgen2 22499 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) βŠ† 𝐽 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))) = 𝐽)
1183, 18, 116, 117syl3anc 1371 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))) = 𝐽)
119118, 3eqeltrd 2833 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))) ∈ Top)
120 tgclb 22480 . . . 4 (ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) ∈ TopBases ↔ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))) ∈ Top)
121119, 120sylibr 233 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) ∈ TopBases)
122 omelon 9643 . . . . . 6 Ο‰ ∈ On
123 simpr2 1195 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
124 nnex 12220 . . . . . . . . 9 β„• ∈ V
125124xpdom2 9069 . . . . . . . 8 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ (β„• Γ— 𝐴) β‰Ό (β„• Γ— Ο‰))
126123, 125syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (β„• Γ— 𝐴) β‰Ό (β„• Γ— Ο‰))
127 nnenom 13947 . . . . . . . . 9 β„• β‰ˆ Ο‰
128 omex 9640 . . . . . . . . . 10 Ο‰ ∈ V
129128enref 8983 . . . . . . . . 9 Ο‰ β‰ˆ Ο‰
130 xpen 9142 . . . . . . . . 9 ((β„• β‰ˆ Ο‰ ∧ Ο‰ β‰ˆ Ο‰) β†’ (β„• Γ— Ο‰) β‰ˆ (Ο‰ Γ— Ο‰))
131127, 129, 130mp2an 690 . . . . . . . 8 (β„• Γ— Ο‰) β‰ˆ (Ο‰ Γ— Ο‰)
132 xpomen 10012 . . . . . . . 8 (Ο‰ Γ— Ο‰) β‰ˆ Ο‰
133131, 132entri 9006 . . . . . . 7 (β„• Γ— Ο‰) β‰ˆ Ο‰
134 domentr 9011 . . . . . . 7 (((β„• Γ— 𝐴) β‰Ό (β„• Γ— Ο‰) ∧ (β„• Γ— Ο‰) β‰ˆ Ο‰) β†’ (β„• Γ— 𝐴) β‰Ό Ο‰)
135126, 133, 134sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (β„• Γ— 𝐴) β‰Ό Ο‰)
136 ondomen 10034 . . . . . 6 ((Ο‰ ∈ On ∧ (β„• Γ— 𝐴) β‰Ό Ο‰) β†’ (β„• Γ— 𝐴) ∈ dom card)
137122, 135, 136sylancr 587 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (β„• Γ— 𝐴) ∈ dom card)
13817ffnd 6718 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) Fn (β„• Γ— 𝐴))
139 dffn4 6811 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) Fn (β„• Γ— 𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))):(β„• Γ— 𝐴)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))))
140138, 139sylib 217 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))):(β„• Γ— 𝐴)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))))
141 fodomnum 10054 . . . . 5 ((β„• Γ— 𝐴) ∈ dom card β†’ ((π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))):(β„• Γ— 𝐴)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β‰Ό (β„• Γ— 𝐴)))
142137, 140, 141sylc 65 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β‰Ό (β„• Γ— 𝐴))
143 domtr 9005 . . . 4 ((ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β‰Ό (β„• Γ— 𝐴) ∧ (β„• Γ— 𝐴) β‰Ό Ο‰) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β‰Ό Ο‰)
144142, 135, 143syl2anc 584 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β‰Ό Ο‰)
145 2ndci 22959 . . 3 ((ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) ∈ TopBases ∧ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β‰Ό Ο‰) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))) ∈ 2ndΟ‰)
146121, 144, 145syl2anc 584 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))) ∈ 2ndΟ‰)
147118, 146eqeltrrd 2834 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ 2ndΟ‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677  Oncon0 6364   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  Ο‰com 7857   β‰ˆ cen 8938   β‰Ό cdom 8939  cardccrd 9932  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251   / cdiv 11873  β„•cn 12214  2c2 12269  β„+crp 12976  topGenctg 17385  βˆžMetcxmet 20935  ballcbl 20937  MetOpencmopn 20940  Topctop 22402  TopBasesctb 22455  clsccl 22529  2ndΟ‰c2ndc 22949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-2ndc 22951
This theorem is referenced by:  met2ndc  24039
  Copyright terms: Public domain W3C validator