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Theorem met2ndci 24418
Description: A separable metric space (a metric space with a countable dense subset) is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
met2ndci ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ 2ndΟ‰)

Proof of Theorem met2ndci
Dummy variables 𝑛 π‘Ÿ 𝑑 𝑒 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 methaus.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
21mopntop 24333 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
32adantr 480 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
4 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
5 simplr1 1213 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
6 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
75, 6sseldd 3979 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
8 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
98nnrpd 13038 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
109rpreccld 13050 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ+)
1110rpxrd 13041 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ*)
121blopn 24396 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (1 / π‘₯) ∈ ℝ*) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ∈ 𝐽)
134, 7, 11, 12syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ∈ 𝐽)
1413ralrimivva 3195 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ∈ 𝐽)
15 eqid 2727 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))
1615fmpo 8066 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ∈ 𝐽 ↔ (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))):(β„• Γ— 𝐴)⟢𝐽)
1714, 16sylib 217 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))):(β„• Γ— 𝐴)⟢𝐽)
1817frnd 6724 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) βŠ† 𝐽)
19 simpll 766 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
20 simprl 770 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) β†’ 𝑒 ∈ 𝐽)
21 simprr 772 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑒)
221mopni2 24389 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)
2319, 20, 21, 22syl3anc 1369 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)
24 simprl 770 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
2524rphalfcld 13052 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
26 elrp 13000 . . . . . . . 8 ((π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+ ↔ ((π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘Ÿ / 2)))
27 nnrecl 12492 . . . . . . . 8 (((π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘Ÿ / 2)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2))
2826, 27sylbi 216 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2))
2925, 28syl 17 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2))
303ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
31 simpr1 1192 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
3231ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
331mopnuni 24334 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
3433ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
3532, 34sseqtrd 4018 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽)
36 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑒)
37 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐽)
38 elunii 4908 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐽)
3936, 37, 38syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐽)
4039, 34eleqtrrd 2831 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
41 simpr3 1194 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)
4340, 42eleqtrrd 2831 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑧 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
4419adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
45 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
4645nnrpd 13038 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
4746rpreccld 13050 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
4847rpxrd 13041 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ*)
491blopn 24396 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ*) β†’ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ 𝐽)
5044, 40, 48, 49syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ 𝐽)
51 blcntr 24306 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+) β†’ 𝑧 ∈ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
5244, 40, 47, 51syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑧 ∈ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
53 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
5453clsndisj 22966 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) ∧ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))) β†’ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
5530, 35, 43, 50, 52, 54syl32anc 1376 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
56 n0 4342 . . . . . . . . 9 (((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘‘ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴))
5755, 56sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ βˆƒπ‘‘ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴))
5845adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
59 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴))
6059elin2d 4195 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
61 eqidd 2728 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
62 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (1 / π‘₯) = (1 / 𝑛))
6362oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
6463eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑛 β†’ ((𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ↔ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛))))
65 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑑 β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
6665eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑑 β†’ ((𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ↔ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛))))
6764, 66rspc2ev 3620 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))
6858, 60, 61, 67syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))
69 ovex 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ V
70 eqeq1 2731 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) β†’ (𝑧 = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ↔ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))))
71702rexbidv 3214 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))))
7215rnmpo 7548 . . . . . . . . . . 11 ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) = {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))}
7369, 71, 72elab2 3669 . . . . . . . . . 10 ((𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))
7468, 73sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))))
7559elin1d 4194 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑑 ∈ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
7644adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
7748adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ*)
7840adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
7932adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
8079, 60sseldd 3979 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑋)
81 blcom 24287 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑑 ∈ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ↔ 𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛))))
8276, 77, 78, 80, 81syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑 ∈ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ↔ 𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛))))
8375, 82mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
84 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
8584adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
8685rphalfcld 13052 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
8786rpxrd 13041 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ*)
88 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2))
8984rphalfcld 13052 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
90 rpre 13006 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 𝑛) ∈ ℝ+ β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
91 rpre 13006 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ)
92 ltle 11324 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ) β†’ ((1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2) β†’ (1 / 𝑛) ≀ (π‘Ÿ / 2)))
9390, 91, 92syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / 𝑛) ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+) β†’ ((1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2) β†’ (1 / 𝑛) ≀ (π‘Ÿ / 2)))
9447, 89, 93syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ ((1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2) β†’ (1 / 𝑛) ≀ (π‘Ÿ / 2)))
9588, 94mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (1 / 𝑛) ≀ (π‘Ÿ / 2))
9695adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (1 / 𝑛) ≀ (π‘Ÿ / 2))
97 ssbl 24316 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 ∈ 𝑋) ∧ ((1 / 𝑛) ∈ ℝ* ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ*) ∧ (1 / 𝑛) ≀ (π‘Ÿ / 2)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) βŠ† (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))
9876, 80, 77, 87, 96, 97syl221anc 1379 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) βŠ† (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))
9985rpred 13040 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
10098, 83sseldd 3979 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))
101 blhalf 24298 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) βŠ† (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
10276, 80, 99, 100, 101syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) βŠ† (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
103 simprlr 779 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)
104103adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)
105102, 104sstrd 3988 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) βŠ† 𝑒)
10698, 105sstrd 3988 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) βŠ† 𝑒)
107 eleq2 2817 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ 𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛))))
108 sseq1 4003 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) β†’ (𝑀 βŠ† 𝑒 ↔ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) βŠ† 𝑒))
109107, 108anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒) ↔ (𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∧ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) βŠ† 𝑒)))
110109rspcev 3607 . . . . . . . . 9 (((𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∧ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
11174, 83, 106, 110syl12anc 836 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
11257, 111exlimddv 1931 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
113112anassrs 467 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
11429, 113rexlimddv 3156 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
11523, 114rexlimddv 3156 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
116115ralrimivva 3195 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
117 basgen2 22879 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) βŠ† 𝐽 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))) = 𝐽)
1183, 18, 116, 117syl3anc 1369 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))) = 𝐽)
119118, 3eqeltrd 2828 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))) ∈ Top)
120 tgclb 22860 . . . 4 (ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) ∈ TopBases ↔ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))) ∈ Top)
121119, 120sylibr 233 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) ∈ TopBases)
122 omelon 9661 . . . . . 6 Ο‰ ∈ On
123 simpr2 1193 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
124 nnex 12240 . . . . . . . . 9 β„• ∈ V
125124xpdom2 9083 . . . . . . . 8 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ (β„• Γ— 𝐴) β‰Ό (β„• Γ— Ο‰))
126123, 125syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (β„• Γ— 𝐴) β‰Ό (β„• Γ— Ο‰))
127 nnenom 13969 . . . . . . . . 9 β„• β‰ˆ Ο‰
128 omex 9658 . . . . . . . . . 10 Ο‰ ∈ V
129128enref 8997 . . . . . . . . 9 Ο‰ β‰ˆ Ο‰
130 xpen 9156 . . . . . . . . 9 ((β„• β‰ˆ Ο‰ ∧ Ο‰ β‰ˆ Ο‰) β†’ (β„• Γ— Ο‰) β‰ˆ (Ο‰ Γ— Ο‰))
131127, 129, 130mp2an 691 . . . . . . . 8 (β„• Γ— Ο‰) β‰ˆ (Ο‰ Γ— Ο‰)
132 xpomen 10030 . . . . . . . 8 (Ο‰ Γ— Ο‰) β‰ˆ Ο‰
133131, 132entri 9020 . . . . . . 7 (β„• Γ— Ο‰) β‰ˆ Ο‰
134 domentr 9025 . . . . . . 7 (((β„• Γ— 𝐴) β‰Ό (β„• Γ— Ο‰) ∧ (β„• Γ— Ο‰) β‰ˆ Ο‰) β†’ (β„• Γ— 𝐴) β‰Ό Ο‰)
135126, 133, 134sylancl 585 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (β„• Γ— 𝐴) β‰Ό Ο‰)
136 ondomen 10052 . . . . . 6 ((Ο‰ ∈ On ∧ (β„• Γ— 𝐴) β‰Ό Ο‰) β†’ (β„• Γ— 𝐴) ∈ dom card)
137122, 135, 136sylancr 586 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (β„• Γ— 𝐴) ∈ dom card)
13817ffnd 6717 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) Fn (β„• Γ— 𝐴))
139 dffn4 6811 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) Fn (β„• Γ— 𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))):(β„• Γ— 𝐴)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))))
140138, 139sylib 217 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))):(β„• Γ— 𝐴)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))))
141 fodomnum 10072 . . . . 5 ((β„• Γ— 𝐴) ∈ dom card β†’ ((π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))):(β„• Γ— 𝐴)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β‰Ό (β„• Γ— 𝐴)))
142137, 140, 141sylc 65 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β‰Ό (β„• Γ— 𝐴))
143 domtr 9019 . . . 4 ((ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β‰Ό (β„• Γ— 𝐴) ∧ (β„• Γ— 𝐴) β‰Ό Ο‰) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β‰Ό Ο‰)
144142, 135, 143syl2anc 583 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β‰Ό Ο‰)
145 2ndci 23339 . . 3 ((ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) ∈ TopBases ∧ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β‰Ό Ο‰) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))) ∈ 2ndΟ‰)
146121, 144, 145syl2anc 583 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))) ∈ 2ndΟ‰)
147118, 146eqeltrrd 2829 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ 2ndΟ‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  βˆͺ cuni 4903   class class class wbr 5142   Γ— cxp 5670  dom cdm 5672  ran crn 5673  Oncon0 6363   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  Ο‰com 7864   β‰ˆ cen 8952   β‰Ό cdom 8953  cardccrd 9950  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131  β„*cxr 11269   < clt 11270   ≀ cle 11271   / cdiv 11893  β„•cn 12234  2c2 12289  β„+crp 12998  topGenctg 17410  βˆžMetcxmet 21251  ballcbl 21253  MetOpencmopn 21256  Topctop 22782  TopBasesctb 22835  clsccl 22909  2ndΟ‰c2ndc 23329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-acn 9957  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-topgen 17416  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-top 22783  df-topon 22800  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-2ndc 23331
This theorem is referenced by:  met2ndc  24419
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