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Theorem met2ndci 24031
Description: A separable metric space (a metric space with a countable dense subset) is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
met2ndci ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ 2ndΟ‰)

Proof of Theorem met2ndci
Dummy variables 𝑛 π‘Ÿ 𝑑 𝑒 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 methaus.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
21mopntop 23946 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
32adantr 482 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
4 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
5 simplr1 1216 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
6 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
75, 6sseldd 3984 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
8 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
98nnrpd 13014 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
109rpreccld 13026 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ+)
1110rpxrd 13017 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ*)
121blopn 24009 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (1 / π‘₯) ∈ ℝ*) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ∈ 𝐽)
134, 7, 11, 12syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ∈ 𝐽)
1413ralrimivva 3201 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ∈ 𝐽)
15 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))
1615fmpo 8054 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ∈ 𝐽 ↔ (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))):(β„• Γ— 𝐴)⟢𝐽)
1714, 16sylib 217 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))):(β„• Γ— 𝐴)⟢𝐽)
1817frnd 6726 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) βŠ† 𝐽)
19 simpll 766 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
20 simprl 770 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) β†’ 𝑒 ∈ 𝐽)
21 simprr 772 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑒)
221mopni2 24002 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)
2319, 20, 21, 22syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)
24 simprl 770 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
2524rphalfcld 13028 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
26 elrp 12976 . . . . . . . 8 ((π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+ ↔ ((π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘Ÿ / 2)))
27 nnrecl 12470 . . . . . . . 8 (((π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘Ÿ / 2)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2))
2826, 27sylbi 216 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2))
2925, 28syl 17 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2))
303ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
31 simpr1 1195 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
3231ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
331mopnuni 23947 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
3433ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
3532, 34sseqtrd 4023 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽)
36 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑒)
37 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐽)
38 elunii 4914 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐽)
3936, 37, 38syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐽)
4039, 34eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
41 simpr3 1197 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)
4340, 42eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑧 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
4419adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
45 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
4645nnrpd 13014 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
4746rpreccld 13026 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
4847rpxrd 13017 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ*)
491blopn 24009 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ*) β†’ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ 𝐽)
5044, 40, 48, 49syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ 𝐽)
51 blcntr 23919 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+) β†’ 𝑧 ∈ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
5244, 40, 47, 51syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑧 ∈ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
53 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
5453clsndisj 22579 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) ∧ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))) β†’ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
5530, 35, 43, 50, 52, 54syl32anc 1379 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
56 n0 4347 . . . . . . . . 9 (((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘‘ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴))
5755, 56sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ βˆƒπ‘‘ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴))
5845adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
59 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴))
6059elin2d 4200 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
61 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
62 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (1 / π‘₯) = (1 / 𝑛))
6362oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
6463eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑛 β†’ ((𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ↔ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛))))
65 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑑 β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
6665eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑑 β†’ ((𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ↔ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛))))
6764, 66rspc2ev 3625 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))
6858, 60, 61, 67syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))
69 ovex 7442 . . . . . . . . . . 11 (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ V
70 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) β†’ (𝑧 = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ↔ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))))
71702rexbidv 3220 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))))
7215rnmpo 7542 . . . . . . . . . . 11 ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) = {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))}
7369, 71, 72elab2 3673 . . . . . . . . . 10 ((𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))
7468, 73sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))))
7559elin1d 4199 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑑 ∈ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
7644adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
7748adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ*)
7840adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
7932adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
8079, 60sseldd 3984 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑋)
81 blcom 23900 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑑 ∈ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ↔ 𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛))))
8276, 77, 78, 80, 81syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑 ∈ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ↔ 𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛))))
8375, 82mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
84 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
8584adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
8685rphalfcld 13028 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
8786rpxrd 13017 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ*)
88 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2))
8984rphalfcld 13028 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
90 rpre 12982 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 𝑛) ∈ ℝ+ β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
91 rpre 12982 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ)
92 ltle 11302 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ) β†’ ((1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2) β†’ (1 / 𝑛) ≀ (π‘Ÿ / 2)))
9390, 91, 92syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / 𝑛) ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+) β†’ ((1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2) β†’ (1 / 𝑛) ≀ (π‘Ÿ / 2)))
9447, 89, 93syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ ((1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2) β†’ (1 / 𝑛) ≀ (π‘Ÿ / 2)))
9588, 94mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (1 / 𝑛) ≀ (π‘Ÿ / 2))
9695adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (1 / 𝑛) ≀ (π‘Ÿ / 2))
97 ssbl 23929 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 ∈ 𝑋) ∧ ((1 / 𝑛) ∈ ℝ* ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ*) ∧ (1 / 𝑛) ≀ (π‘Ÿ / 2)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) βŠ† (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))
9876, 80, 77, 87, 96, 97syl221anc 1382 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) βŠ† (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))
9985rpred 13016 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
10098, 83sseldd 3984 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))
101 blhalf 23911 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) βŠ† (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
10276, 80, 99, 100, 101syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) βŠ† (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
103 simprlr 779 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)
104103adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)
105102, 104sstrd 3993 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) βŠ† 𝑒)
10698, 105sstrd 3993 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) βŠ† 𝑒)
107 eleq2 2823 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ 𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛))))
108 sseq1 4008 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) β†’ (𝑀 βŠ† 𝑒 ↔ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) βŠ† 𝑒))
109107, 108anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒) ↔ (𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∧ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) βŠ† 𝑒)))
110109rspcev 3613 . . . . . . . . 9 (((𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∧ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
11174, 83, 106, 110syl12anc 836 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
11257, 111exlimddv 1939 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
113112anassrs 469 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
11429, 113rexlimddv 3162 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
11523, 114rexlimddv 3162 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
116115ralrimivva 3201 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
117 basgen2 22492 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) βŠ† 𝐽 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))) = 𝐽)
1183, 18, 116, 117syl3anc 1372 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))) = 𝐽)
119118, 3eqeltrd 2834 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))) ∈ Top)
120 tgclb 22473 . . . 4 (ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) ∈ TopBases ↔ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))) ∈ Top)
121119, 120sylibr 233 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) ∈ TopBases)
122 omelon 9641 . . . . . 6 Ο‰ ∈ On
123 simpr2 1196 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
124 nnex 12218 . . . . . . . . 9 β„• ∈ V
125124xpdom2 9067 . . . . . . . 8 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ (β„• Γ— 𝐴) β‰Ό (β„• Γ— Ο‰))
126123, 125syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (β„• Γ— 𝐴) β‰Ό (β„• Γ— Ο‰))
127 nnenom 13945 . . . . . . . . 9 β„• β‰ˆ Ο‰
128 omex 9638 . . . . . . . . . 10 Ο‰ ∈ V
129128enref 8981 . . . . . . . . 9 Ο‰ β‰ˆ Ο‰
130 xpen 9140 . . . . . . . . 9 ((β„• β‰ˆ Ο‰ ∧ Ο‰ β‰ˆ Ο‰) β†’ (β„• Γ— Ο‰) β‰ˆ (Ο‰ Γ— Ο‰))
131127, 129, 130mp2an 691 . . . . . . . 8 (β„• Γ— Ο‰) β‰ˆ (Ο‰ Γ— Ο‰)
132 xpomen 10010 . . . . . . . 8 (Ο‰ Γ— Ο‰) β‰ˆ Ο‰
133131, 132entri 9004 . . . . . . 7 (β„• Γ— Ο‰) β‰ˆ Ο‰
134 domentr 9009 . . . . . . 7 (((β„• Γ— 𝐴) β‰Ό (β„• Γ— Ο‰) ∧ (β„• Γ— Ο‰) β‰ˆ Ο‰) β†’ (β„• Γ— 𝐴) β‰Ό Ο‰)
135126, 133, 134sylancl 587 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (β„• Γ— 𝐴) β‰Ό Ο‰)
136 ondomen 10032 . . . . . 6 ((Ο‰ ∈ On ∧ (β„• Γ— 𝐴) β‰Ό Ο‰) β†’ (β„• Γ— 𝐴) ∈ dom card)
137122, 135, 136sylancr 588 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (β„• Γ— 𝐴) ∈ dom card)
13817ffnd 6719 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) Fn (β„• Γ— 𝐴))
139 dffn4 6812 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) Fn (β„• Γ— 𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))):(β„• Γ— 𝐴)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))))
140138, 139sylib 217 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))):(β„• Γ— 𝐴)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))))
141 fodomnum 10052 . . . . 5 ((β„• Γ— 𝐴) ∈ dom card β†’ ((π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))):(β„• Γ— 𝐴)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β‰Ό (β„• Γ— 𝐴)))
142137, 140, 141sylc 65 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β‰Ό (β„• Γ— 𝐴))
143 domtr 9003 . . . 4 ((ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β‰Ό (β„• Γ— 𝐴) ∧ (β„• Γ— 𝐴) β‰Ό Ο‰) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β‰Ό Ο‰)
144142, 135, 143syl2anc 585 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β‰Ό Ο‰)
145 2ndci 22952 . . 3 ((ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) ∈ TopBases ∧ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β‰Ό Ο‰) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))) ∈ 2ndΟ‰)
146121, 144, 145syl2anc 585 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))) ∈ 2ndΟ‰)
147118, 146eqeltrrd 2835 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ 2ndΟ‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678  Oncon0 6365   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  Ο‰com 7855   β‰ˆ cen 8936   β‰Ό cdom 8937  cardccrd 9930  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„+crp 12974  topGenctg 17383  βˆžMetcxmet 20929  ballcbl 20931  MetOpencmopn 20934  Topctop 22395  TopBasesctb 22448  clsccl 22522  2ndΟ‰c2ndc 22942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-2ndc 22944
This theorem is referenced by:  met2ndc  24032
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