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Theorem met2ndci 23894
Description: A separable metric space (a metric space with a countable dense subset) is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
met2ndci ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ 2ndΟ‰)

Proof of Theorem met2ndci
Dummy variables 𝑛 π‘Ÿ 𝑑 𝑒 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 methaus.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
21mopntop 23809 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
32adantr 482 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
4 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
5 simplr1 1216 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
6 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
75, 6sseldd 3946 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
8 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
98nnrpd 12960 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
109rpreccld 12972 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ+)
1110rpxrd 12963 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ*)
121blopn 23872 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (1 / π‘₯) ∈ ℝ*) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ∈ 𝐽)
134, 7, 11, 12syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ∈ 𝐽)
1413ralrimivva 3194 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ∈ 𝐽)
15 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))
1615fmpo 8001 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ∈ 𝐽 ↔ (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))):(β„• Γ— 𝐴)⟢𝐽)
1714, 16sylib 217 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))):(β„• Γ— 𝐴)⟢𝐽)
1817frnd 6677 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) βŠ† 𝐽)
19 simpll 766 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
20 simprl 770 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) β†’ 𝑒 ∈ 𝐽)
21 simprr 772 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑒)
221mopni2 23865 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)
2319, 20, 21, 22syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)
24 simprl 770 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
2524rphalfcld 12974 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
26 elrp 12922 . . . . . . . 8 ((π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+ ↔ ((π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘Ÿ / 2)))
27 nnrecl 12416 . . . . . . . 8 (((π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘Ÿ / 2)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2))
2826, 27sylbi 216 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2))
2925, 28syl 17 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2))
303ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
31 simpr1 1195 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
3231ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
331mopnuni 23810 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
3433ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
3532, 34sseqtrd 3985 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽)
36 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑒)
37 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐽)
38 elunii 4871 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐽)
3936, 37, 38syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐽)
4039, 34eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
41 simpr3 1197 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)
4340, 42eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑧 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
4419adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
45 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
4645nnrpd 12960 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
4746rpreccld 12972 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
4847rpxrd 12963 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ*)
491blopn 23872 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ*) β†’ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ 𝐽)
5044, 40, 48, 49syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ 𝐽)
51 blcntr 23782 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+) β†’ 𝑧 ∈ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
5244, 40, 47, 51syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ 𝑧 ∈ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
53 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
5453clsndisj 22442 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) ∧ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))) β†’ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
5530, 35, 43, 50, 52, 54syl32anc 1379 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
56 n0 4307 . . . . . . . . 9 (((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘‘ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴))
5755, 56sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ βˆƒπ‘‘ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴))
5845adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
59 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴))
6059elin2d 4160 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
61 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
62 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (1 / π‘₯) = (1 / 𝑛))
6362oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
6463eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑛 β†’ ((𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ↔ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛))))
65 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑑 β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
6665eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑑 β†’ ((𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ↔ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛))))
6764, 66rspc2ev 3591 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))
6858, 60, 61, 67syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))
69 ovex 7391 . . . . . . . . . . 11 (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ V
70 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) β†’ (𝑧 = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ↔ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))))
71702rexbidv 3210 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))))
7215rnmpo 7490 . . . . . . . . . . 11 ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) = {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))}
7369, 71, 72elab2 3635 . . . . . . . . . 10 ((𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) = (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))
7468, 73sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))))
7559elin1d 4159 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑑 ∈ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
7644adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
7748adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ*)
7840adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
7932adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
8079, 60sseldd 3946 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑋)
81 blcom 23763 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑑 ∈ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ↔ 𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛))))
8276, 77, 78, 80, 81syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑 ∈ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ↔ 𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛))))
8375, 82mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)))
84 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
8584adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
8685rphalfcld 12974 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
8786rpxrd 12963 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ*)
88 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2))
8984rphalfcld 12974 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
90 rpre 12928 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 𝑛) ∈ ℝ+ β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
91 rpre 12928 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ)
92 ltle 11248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ) β†’ ((1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2) β†’ (1 / 𝑛) ≀ (π‘Ÿ / 2)))
9390, 91, 92syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / 𝑛) ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+) β†’ ((1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2) β†’ (1 / 𝑛) ≀ (π‘Ÿ / 2)))
9447, 89, 93syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ ((1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2) β†’ (1 / 𝑛) ≀ (π‘Ÿ / 2)))
9588, 94mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (1 / 𝑛) ≀ (π‘Ÿ / 2))
9695adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (1 / 𝑛) ≀ (π‘Ÿ / 2))
97 ssbl 23792 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 ∈ 𝑋) ∧ ((1 / 𝑛) ∈ ℝ* ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ*) ∧ (1 / 𝑛) ≀ (π‘Ÿ / 2)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) βŠ† (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))
9876, 80, 77, 87, 96, 97syl221anc 1382 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) βŠ† (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))
9985rpred 12962 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
10098, 83sseldd 3946 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))
101 blhalf 23774 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) βŠ† (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
10276, 80, 99, 100, 101syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) βŠ† (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
103 simprlr 779 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)
104103adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)
105102, 104sstrd 3955 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) βŠ† 𝑒)
10698, 105sstrd 3955 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) βŠ† 𝑒)
107 eleq2 2823 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ 𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛))))
108 sseq1 3970 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) β†’ (𝑀 βŠ† 𝑒 ↔ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) βŠ† 𝑒))
109107, 108anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒) ↔ (𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∧ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) βŠ† 𝑒)))
110109rspcev 3580 . . . . . . . . 9 (((𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∧ (𝑑(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
11174, 83, 106, 110syl12anc 836 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑧(ballβ€˜π·)(1 / 𝑛)) ∩ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
11257, 111exlimddv 1939 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2)))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
113112anassrs 469 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) < (π‘Ÿ / 2))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
11429, 113rexlimddv 3155 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑧(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
11523, 114rexlimddv 3155 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
116115ralrimivva 3194 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
117 basgen2 22355 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) βŠ† 𝐽 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))) = 𝐽)
1183, 18, 116, 117syl3anc 1372 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))) = 𝐽)
119118, 3eqeltrd 2834 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))) ∈ Top)
120 tgclb 22336 . . . 4 (ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) ∈ TopBases ↔ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))) ∈ Top)
121119, 120sylibr 233 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) ∈ TopBases)
122 omelon 9587 . . . . . 6 Ο‰ ∈ On
123 simpr2 1196 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
124 nnex 12164 . . . . . . . . 9 β„• ∈ V
125124xpdom2 9014 . . . . . . . 8 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ (β„• Γ— 𝐴) β‰Ό (β„• Γ— Ο‰))
126123, 125syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (β„• Γ— 𝐴) β‰Ό (β„• Γ— Ο‰))
127 nnenom 13891 . . . . . . . . 9 β„• β‰ˆ Ο‰
128 omex 9584 . . . . . . . . . 10 Ο‰ ∈ V
129128enref 8928 . . . . . . . . 9 Ο‰ β‰ˆ Ο‰
130 xpen 9087 . . . . . . . . 9 ((β„• β‰ˆ Ο‰ ∧ Ο‰ β‰ˆ Ο‰) β†’ (β„• Γ— Ο‰) β‰ˆ (Ο‰ Γ— Ο‰))
131127, 129, 130mp2an 691 . . . . . . . 8 (β„• Γ— Ο‰) β‰ˆ (Ο‰ Γ— Ο‰)
132 xpomen 9956 . . . . . . . 8 (Ο‰ Γ— Ο‰) β‰ˆ Ο‰
133131, 132entri 8951 . . . . . . 7 (β„• Γ— Ο‰) β‰ˆ Ο‰
134 domentr 8956 . . . . . . 7 (((β„• Γ— 𝐴) β‰Ό (β„• Γ— Ο‰) ∧ (β„• Γ— Ο‰) β‰ˆ Ο‰) β†’ (β„• Γ— 𝐴) β‰Ό Ο‰)
135126, 133, 134sylancl 587 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (β„• Γ— 𝐴) β‰Ό Ο‰)
136 ondomen 9978 . . . . . 6 ((Ο‰ ∈ On ∧ (β„• Γ— 𝐴) β‰Ό Ο‰) β†’ (β„• Γ— 𝐴) ∈ dom card)
137122, 135, 136sylancr 588 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (β„• Γ— 𝐴) ∈ dom card)
13817ffnd 6670 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) Fn (β„• Γ— 𝐴))
139 dffn4 6763 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) Fn (β„• Γ— 𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))):(β„• Γ— 𝐴)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))))
140138, 139sylib 217 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))):(β„• Γ— 𝐴)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))))
141 fodomnum 9998 . . . . 5 ((β„• Γ— 𝐴) ∈ dom card β†’ ((π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))):(β„• Γ— 𝐴)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β‰Ό (β„• Γ— 𝐴)))
142137, 140, 141sylc 65 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β‰Ό (β„• Γ— 𝐴))
143 domtr 8950 . . . 4 ((ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β‰Ό (β„• Γ— 𝐴) ∧ (β„• Γ— 𝐴) β‰Ό Ο‰) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β‰Ό Ο‰)
144142, 135, 143syl2anc 585 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β‰Ό Ο‰)
145 2ndci 22815 . . 3 ((ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) ∈ TopBases ∧ ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯))) β‰Ό Ο‰) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))) ∈ 2ndΟ‰)
146121, 144, 145syl2anc 585 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ β„•, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦(ballβ€˜π·)(1 / π‘₯)))) ∈ 2ndΟ‰)
147118, 146eqeltrrd 2835 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ 2ndΟ‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106   Γ— cxp 5632  dom cdm 5634  ran crn 5635  Oncon0 6318   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  Ο‰com 7803   β‰ˆ cen 8883   β‰Ό cdom 8884  cardccrd 9876  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195   / cdiv 11817  β„•cn 12158  2c2 12213  β„+crp 12920  topGenctg 17324  βˆžMetcxmet 20797  ballcbl 20799  MetOpencmopn 20802  Topctop 22258  TopBasesctb 22311  clsccl 22385  2ndΟ‰c2ndc 22805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-acn 9883  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-topgen 17330  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-2ndc 22807
This theorem is referenced by:  met2ndc  23895
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